专题01 利用基本不等式求最值的十一种常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题01 利用基本不等式求最值的十一种常考题型 题型一：直接法求最值 题型二：配凑法求最值 题型三：分式分离法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：换元法求最值 题型六：常值代换求最值 题型七：条件等式求最值求最值 题型八：多次使用基本不等式求最值 题型九：利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 题型十：利用基本不等式在有解问题中求参数的范围 题型十一：利用基本不等式求最值在实际问题中的应用 题型一：直接法求最值 1．已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知正数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4.已知a，b都是正数，则的最小值为 ． 题型二：配凑法求最值 5．已知  ，则 的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．当时，函数的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D．9 7．已知实数，则的（    ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 8.已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 9.已知，且，则的最大值为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 题型三：分式分离法求最值 10．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 11．已知，则函数的最大值为（    ） A． B．7 C． D． 12.函数y＝(x＞－1)的最小值为________. 题型四：消参法求最值 13．负实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．已知，且，则的最小值是 ． 15．已知实数，，满足（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16.已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 17.已知，，且，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．19 D．22 题型五：换元法求最值 18．若实数 满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 20．设，，且，则的最小值是 ． 21.已知实数、满足，则的最小值为 ． 22.已知正实数满足且，则的最小值为 23.设m，n为正数，且，则的最小值为 . 题型六：常值代换求最值 24．已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 25．若a，b都是正数，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 26．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 27.已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 28.若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 题型七：条件等式求最值求最值 29．设正数，满足，则的最小值为 ． 30．（多选）已知，，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为16 31．（多选）若a， b均为正数，且满足，则（    ） A. ab的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是4 D. 的最小值为 32.（多选）已知为正实数，且，则（    ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为12 C. 的最小值为 D. 的最小值为 题型八：多次使用基本不等式求最值 33．若，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D． 34．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 35．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 36.已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为 ． 题型九：利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 37．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 38．已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 39．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40.已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41.已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 42.不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 43.若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 题型十：利用基本不等式在有解问题中求参数的范围 44．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．知，且，若有解，则实数m的取值范围为（    ） A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9） 46．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 题型十一：利用基本不等式求最值在实际问题中的应用 47．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（    ） A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 48．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（    ）”的几何解释. A．如果，那么 B．如果，那么 C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立 49．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积，一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买克黄金，售货员先将克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（    ） A．大于克 B．小于克 C．等于克 D．当时，大于克；当时，小于克 50.某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元，该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 51.某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 52.已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. （1）某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； （2）一快递员以速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 利用基本不等式求最值的十一种常考题型 题型一：直接法求最值 题型二：配凑法求最值 题型三：分式分离法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：换元法求最值 题型六：常值代换求最值 题型七：条件等式求最值求最值 题型八：多次使用基本不等式求最值 题型九：利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 题型十：利用基本不等式在有解问题中求参数的范围 题型十一：利用基本不等式求最值在实际问题中的应用 题型一：直接法求最值 1．已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求得的最大值，进而求解即可. 【解析】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以的最大值为2. 故选：D. 2．已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用基本不等式求出最小值即得. 【解析】由，得，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：C 3．已知正数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式求出最小值即得. 【解析】因为正数满足，所以， 当且仅当即时，等号成立. 故选：A 4.已知a，b都是正数，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【解析】a，b都是正数，故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为3. 故答案为：3 题型二：配凑法求最值 5．已知  ，则 的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形后利用基本不等式求出最大值. 【解析】因为，所以， ， 当且仅当时取等号， 所以最大值为. 故选：A 6．当时，函数的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D．9 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求解. 【解析】∵，∴，, ∴， 当且仅当，即时取等号． 故选：A 7．已知实数，则的（    ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 【答案】D 【分析】变形后利用基本不等式求出最大值. 【解析】因为， 当且仅当即时取等号； 故最大值为， 故选：D 8.已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】变形后利用基本不等式求出最大值. 【解析】因为，，，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：A. 9.已知，且，则的最大值为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 【答案】B 【分析】由，得，再利用基本不等式即可得解. 【解析】由，得， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 题型三：分式分离法求最值 10．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【解析】因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最小值为.故选：C 11．已知，则函数的最大值为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】A 【分析】变形后利用基本不等式求出最大值. 【解析】因为，所以，设，则， ， 当且仅当即相当于时取等号， 所以函数的最大值为是. 故选：A 12.函数y＝(x＞－1)的最小值为________. 【答案】9 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【解析】因为x＞－1，则x＋1＞0， 所以y＝ ＝＝(x＋1)＋＋5 ≥2＋5＝9， 当且仅当x＋1＝， 即x＝1时等号成立， 所以函数的最小值为9 故答案为：9 题型四：消参法求最值 13．负实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【解析】因为负实数、满足，则，可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 14．已知，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】变形后得使用基本不等式求解即可 【解析】因为，所以，则，当且仅当，即时，取等号． 故答案为： 15．已知实数，，满足（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变形后得使用基本不等式求解即可 【解析】根据已知，可得， 则， 因为，所以，所以上式， 当且仅当，即时等号成立， 所以的取值范围是. 故选：D 16.已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】变形后得使用基本不等式求解即可 【解析】由，，，得， 故，故； 所以， 当且仅当，结合，即时等号成立． 即的最小值为2， 故选：A 17.已知，，且，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．19 D．22 【答案】C 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为， 故选：C. 题型五：换元法求最值 18．若实数 满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设得使用基本不等式求解即可 【解析】法1由实数 满足，，设，解得， 则，当且仅当，及时等号成立，所以的最大值为 法2令，则， 由得， 故， 当且仅当即即时，取“=”， 故选：D. 19．已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】设，得到，，由基本不等式求出，即，求出答案. 【解析】正数x，y满足， 设，则，故， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为8. 故答案为：8 20．设，，且，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】设得，使用基本不等式求解即可 【解析】设，则，， ， 当且仅当即，时等号成立， 故当，时，取最小值. 故答案为： 21.已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，得，，使用基本不等式求解即可 【解析】因为实数，满足，化为， 令，，则． 联立可得，， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为： 22.已知正实数满足且，则的最小值为 【答案】 【分析】设得使用基本不等式求解即可 【解析】设，则， 当且仅当且，即，时等号成立. 故答案为： 23.设m，n为正数，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，则，可化为，利用基本不等式可求的最小值，从而可得所求的最小值. 【解析】令，则，且，， 又， 而， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 题型六：常值代换求最值 24．已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】C 【分析】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值． 【解析】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 25．若a，b都是正数，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】把化成，利用常数1的代换，将化成，再利用基本不等式求出其最小值. 【解析】，， 由 a，b都是正数，则， ， 当且仅当，即时等号成立； 所以的最小值是3. 故选：B. 26．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】将变形为，代入，再通过常数代换和基本不等式可得. 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9. 故选：B 27.已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得的取值范围，从而求得的最大值. 【解析】因为，，，所以， 故， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以，故，则的最大值为. 故选：B. 28.若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可． 【解析】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，取得最小值， 故选：D 题型七：条件等式求最值求最值 29．设正数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由利用基本不等式得，然后解不等式即得。 【解析】因为正数，满足，所以， 解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为. 故答案为：15 30．（多选）已知，，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为16 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式有，结合换元法解一元二次不等式求范围，注意所得范围端点取值判断A；由已知得，利用基本不等式判断B、C、D，注意最值取值条件. 【解析】因为，， 所以，仅当时，即等号成立， 令，则，故， 所以，即，仅当时右侧等号成立， 所以的最大值为，A错误； 由，则， 所以， 仅当，即时等号成立，故的最小值为，B正确； 由，仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，C正确； 由，仅当，即时等号成立， 所以的最小值为16，D正确. 故选：BCD 31．（多选）若a， b均为正数，且满足，则（    ） A. ab的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式对A，B，C选项分析判断，利用二次函数的性质对D选项分析判断即可得答案． 【解析】对于 A：，b均为正数，且满足， ，解得，当且仅当时取等号， 所以ab的最大值为2，故A正确； 对于B，，，则，当且仅当时取等号， ，当时等式不成立，则等号取不到， 则的最小值不是4，故B不正确； 对于C：，b均为正数，且满足， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4，故C正确； 对于D：，b均为正数，且满足，则， 又，解得， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确． 故选：ACD. 32.（多选）已知为正实数，且，则（    ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为12 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【分析】变形后利用基本不等式求出最值判断选项. 【解析】因为，当且仅当时取等号， 结合，解不等式得，即，故的最大值为8，A正确； 由得， 所以， 当且仅当即时取等号，此时取得最小值8，B错误； ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，C错误； ， 当且仅当即时取等号，此时取得最小值，D正确； 故选：AD 题型八：多次使用基本不等式求最值 33．若，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【解析】， 其中，其中， 当时，即时，等号成立， ，当，即时等号成立， 当满足，即，时，两个等号同时成立， 所以的最小值为8. 故选：C 34．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 【答案】A 【解析】由，得，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：A 35．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，当且仅当时取“”， 所以， 当且仅当，即，时取“”， 所以最小值为． 故选：C． 36.已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为 ． 【答案】18 【分析】先化简提公因式再应用，a，b应用基本不等式，再应用基本不等式，确定取等条件成立取得最小值即可. 【解析】由条件知 ，当且仅当，，又因为，即，，时，的最小值为18． 故答案为：18. 题型九：利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 37．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形后利用基本不等式求出最大值. 【解析】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号， 故. 故选：A 38．已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【解析】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 39．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【解析】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 40.已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值，然后解不等式即得. 【解析】因为正实数满足， 所以，则， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，即，然后解不等式即得． 故选：C 41.已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值，然后解不等式即得. 【解析】因为，，且， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得， 所以整数的个数为2个 故选：A 42.不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】变形后利用基本不等式求出最大值，然后解不等式即得. 【解析】因为,为正数，所以， 所以，则有， 令，则， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，则， 又，所以， 即， 所以的最小值为， 所以，即的最大值为. 故选：D. 43.若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据等式变形，利用常值代换法凑项，运用基本不等式求得即得. 【解析】因为两个正实数 满足，则， 故 ，当且仅当时取等号， 因不等式恒成立，则，故. 故答案为：. 题型十：利用基本不等式在有解问题中求参数的范围 44．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式"1"的替换进行求解即可. 【解析】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当时取等号，即当时，取等号， 因此要想有解， 只需， 故选：B. 45．知，且，若有解，则实数m的取值范围为（    ） A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9） 【答案】A 【分析】由有解，可知只要大于的最小值即可，所以结合基本不等式求出的最小值，再解关于的不等式即可 【解析】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9， 因为有解，所以，即， 解得或， 故选：A. 46．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】首先将原问题转化为，再利用基本不等式的知识求出的最小值即可. 【解析】不等式有解， ， ， ， 当且仅当，等号成立， ，，， 实数的取值范围是． 故选：D． 题型十一：利用基本不等式求最值在实际问题中的应用 47．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（    ） A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 【答案】C 【分析】利用基本不等式求出最小值即得. 【解析】设池底的长为x，宽为y，则，即 因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面， 建造这个水池的总造价是 当且仅当，即时，等号成立， 故选：C. 48．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（    ）”的几何解释. A．如果，那么 B．如果，那么 C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【分析】利用基本不等式求出最小值即得. 【解析】可将直角三角形的两直角边长度取作，斜边为， 则外围的正方形的面积为，也就是， 四个阴影面积之和刚好为，对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立， 故选C. 49．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积，一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买克黄金，售货员先将克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（    ） A．大于克 B．小于克 C．等于克 D．当时，大于克；当时，小于克 【答案】A 【分析】利用基本不等式求出最小值即得. 【解析】设第一次取出的黄金质量为克，第二次黄金质量为克， 由题意可得，，可得， 易知且， 所以，， 当且仅当时，等号成立， 事实上，，等号不成立，则. 因此，顾客购得的黄金重量大于克. 故选：A. 50.某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元，该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【答案】该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低 【分析】利用基本不等式求出最小值即得. 【解析】由题意可知：， 每吨二氧化碳的平均处理成本为： ， 当且仅当，即时，等号成立， ∴该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； 51.某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 【答案】(1)；(2)10万元 【分析】（2）利用基本不等式求出最大值即得. 【解析】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 则，因为（当且仅当时取等号）， 所以有万元， 故第8年年平均盈利额取得最大值，最大值为10万元. 52.已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. （1）某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； （2）一快递员以速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（2）利用基本不等式求出最大值即得. 【解析】（1）如下图所示： 由题意可得，，，，， 由勾股定理可得， 因此，此人从海岛到达地的时间为. （2）如下图所示：，，，， 由勾股定理可得， 由题意可得，即， 可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，快递员的速度的最大值为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$