第3章 3.3.2 第2课时 一元二次不等式的综合问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦一元二次不等式综合问题，系统梳理分式不等式转化为一元二次不等式的等价变形方法，深入剖析“三个二次”（二次函数、方程、不等式）的内在逻辑联系，结合实际情境构建模型解决应用问题，形成从基础到综合的学习支架。 资料通过实际案例如矩形面积优化、农贸税收调节培养数学眼光，借助“三个二次”关系推理训练数学思维，以分式不等式等价变形强化数学语言。课中助力教师分层教学，课后通过跟踪训练与对点练帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第2课时　一元二次不等式的综合问题 学习目标　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程.了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型,解决实际问题. 一、简单的分式不等式 问题　>0与(x-3)(x+2)>0等价吗？≥0与(x-3)(x+2)≥0等价吗？ 提示　>0与(x-3)(x+2)>0等价；≥0与(x-3)(x+2)≥0不等价,其等价于 例1　解下列不等式： (1)<0； (2)≥0； (3)>1. 解　(1)原不等式可化为(x+1)(2x-1)<0, ∴-1<x< 故原不等式的解集为. (2)原不等式可化为≤0, ∴∴ 即-<x≤1. 故原不等式的解集为. (3)原不等式可化为-1>0, ∴>0>0,则x<-2. 故原不等式的解集为{x|x<-2}. 反思感悟　分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解. 跟踪训练1　解下列不等式： (1)≥0； (2)<3. 解　(1)不等式≥0可转化成不等式组 解得x≤-1或x>3, 即原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}. (2)不等式<3可化为-3<0, 即<0. 所以2(x-1)(x+1)<0,解得-1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|-1<x<1}. 二、“三个二次”间的关系 例2　已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集. 解　由不等式ax2+bx+c>0的解集为 {x|2<x<3}可知a<0, 且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根, 由根与系数的关系可知=-5=6. 由a<0知c<0=- 故不等式cx2+bx+a<0, 即x2+x+>0,即x2-x+>0, 解得x<或x>所以不等式cx2+bx+a<0的解集为. 延伸探究　若本例中条件不变,求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集. 解　由根与系数的关系知=-5=6且a<0. ∴c<0=-故不等式cx2-bx+a>0, 即x2-x+<0,即x2+x+<0. 解得-<x<- 故原不等式的解集为. 反思感悟　已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循： (1)根据解集来判断二次项系数的符号； (2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去 a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 跟踪训练2　已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2},求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集. 解　∵x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2}, ∴方程x2+ax+b=0的两根为1,2. 由根与系数的关系得得 代入所求不等式,得2x2-3x+1>0. 解得x<或x>1. ∴bx2+ax+1>0的解集为. 三、一元二次不等式的实际应用 例3　(课本例2)用一根长为100 m的绳子能围成一个面积大于600 m2的矩形吗？当长、宽分别为多少米时,所围成的矩形的面积最大？ 解　设矩形一边的长为x m,则另一边的长为(50-x) m,其中0<x<50. 由题意,得x(50-x)>600, 即x2-50x+600<0, 解得20<x<30. 所以,当矩形一边的长在20 m至30 m的范围内取值时,能围成一个面积大于600 m2的矩形. 用S表示矩形的面积,则S=x(50-x)=-(x-25)2+625(0<x<50). 当x=25时,S取得最大值,此时50-x=25. 所以当矩形的长、宽都为25 m时,所围成的矩形的面积最大. 例3　某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品,并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x>0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点. (1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式； (2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围. 解　(1)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担, 收购总金额为200a(1+2x%)万元. 依题意得y=200a(1+2x%)(10-x)% =a(100+2x)(10-x)(0<x<10). (2)原计划税收为200a×10%=20a(万元). 依题意得a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%, 化简得x2+40x-84≤0, 解得-42≤x≤2. 又因为0<x<10,所以0<x≤2. 即x的取值范围为{x|0<x≤2}. 反思感悟　利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题目中的未知数. (2)由题目中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组). (3)求解所列出的不等式(组). (4)结合题目的实际意义确定答案. 跟踪训练3　某农家院有客房20间,日常每间客房日租金为80元,每天都客满.该农家院欲提高档次,并提高租金,经市场调研,每间客房日租金每增加10元,客房出租数就会减少1间.每间客房日租金不得超过130元,要使每天客房的租金总收入不低于1 800元,该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？ 解　设每间客房日租金提高x个10元,即每间客房日租金提高到(80+10x)元,则客房出租数减少x间,此时客房的租金总收入为(80+10x)(20-x)元.因为每天客房的租金总收入不低于1 800元,所以(80+10x)(20-x)≥1 800. 化简,得x2-12x+20≤0.解得2≤x≤10, 所以20≤10x≤100.又由题意可知80+10x≤130,所以10x≤50.因此,该农家院每间客房日租金提高的空间是20~50元. 1.知识清单： (1)简单的分式不等式的解法. (2)“三个二次”间的关系. (3)一元二次不等式在现实生活中的应用. 2.方法归纳：等价变形转化. 3.常见误区： (1)解分式不等式的等价变形. (2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共30分；多选题每小题6分,共12分 1.不等式≥1的解集是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　不等式≥1,移项得-1≥0, 即≤0,可化为 解得≤x<2,则原不等式的解集为. 2.“x2-x-2>0”是“<2”的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.既不充分又不必要条件 D.充要条件 答案　A 解析　由x2-x-2>0,解得x>2或x<-1, 由<2,解得x>或x<0, 由于{x|x>2或x<-1}是的真子集, 故“x2-x-2>0”是“<2”的充分且不必要条件. 3.某服装厂生产某种风衣,月销售量x(单位：件)与售价p(单位：元/件)的关系为p=300-2x；生产x件的成本r=500+30x元,为使月获利不少于8 600元,则月产量x需满足(　　) A.55≤x≤60 B.60≤x≤65 C.65≤x≤70 D.70≤x≤75 答案　C 解析　由题意可得 (300-2x)x-(500+30x)≥8 600, 即x2-135x+4 550≤0, 则(x-65)(x-70)≤0,故65≤x≤70. 4.某单位计划对一个长80 m,宽60 m的矩形空地进行绿化,设计方案初步确定为：中间为矩形绿草坪,四周是等宽的花坛,如图所示.若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一,则花坛宽度x m的取值范围为(　　) A.(0,30] B.(0,10] C.[10,30] D.[60,+∞) 答案　B 解析　因为花坛的宽度为x m,所以绿草坪的长为(80-2x)m,宽为(60-2x)m, 绿草坪面积为(80-2x)(60-2x)=4(x2-70x+1 200)(m2), 总面积为80×60=4 800(m2), 根据题意可得4(x2-70x+1 200)≥×4 800, 整理得x2-70x+600≥0, 解得x≥60或x≤10. 由题意知解得0<x<30, 所以0<x≤10. 5.(多选)与不等式≥0不同解的不等式是(　　) A.(x-3)(2-x)≥0 B.0<x-2≤1 C.≥0 D.(x-3)(2-x)>0 答案　ACD 解析　由≥0,得解得2<x≤3, A项,由(x-3)(2-x)≥0,得2≤x≤3,不同解； B项,由0<x-2≤1,得2<x≤3,同解； C项,由≥0,得(x-2)(x-3)≤0且x-3≠0,解得2≤x<3,不同解； D项,由(x-3)(2-x)>0,得2<x<3,不同解. 6.(多选)若关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集是{x|-1<x<2},则下列选项正确的是(　　) A.b<0且c>0 B.a-b+c>0 C.a+b+c>0 D.不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1} 答案　ABD 解析　对于A,由题意得a<0,且-1,2是方程ax2-bx+c=0的两个根,所以-1+2=1=-1×2=所以b=a,c=-2a,所以b<0,c>0,所以A正确； 对于B,由题意可知当x=1时,不等式成立,即a-b+c>0,所以B正确； 对于C,当x=-1时,ax2-bx+c=0,即a+b+c=0,所以C错误； 对于D,由题得ax2+bx+c>0可化为ax2+ax-2a>0,因为a<0,所以x2+x-2<0,所以-2<x<1,所以不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1},所以D正确. 7.(5分)若关于x的不等式>0的解集为{x|-2<x<2},则不等式x2+x+a>0的解集为　　　　　　　　　　　.  答案　{x|x<-2或x>1} 解析　∵>0, 即<0的解集为{x|-2<x<2}, ∴a=-2,对于不等式x2+x+a>0, 即x2+x-2=(x-1)(x+2)>0, 解得x<-2或x>1, ∴不等式x2+x+a>0的解集为{x|x<-2或x>1}. 8.(5分)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是　　　　.  答案　20 解析　由已知,3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000, 化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0, 解得x%≥0.2,或x%≤-3.2(舍去), 所以x≥20,即x的最小值为20. 9.(10分)已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为. (1)求a,c的值；(4分) (2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0.(6分) 解　(1)由题意知a<0,不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根为和 由根与系数的关系,得 解得a=-6,c=-1. (2)由a=-6,c=-1知不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0可化为-6x2+8x-2≥0, 即3x2-4x+1≤0,解得≤x≤1, 所以所求不等式的解集为. 10.(11分)某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞.已知该船使用中所需的各种费用c(单位：万元)与使用时间n(n∈N*,单位：年)之间的函数关系式为c=2n2+10n,该船每年捕捞的总收入为50万元. (1)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有使用费用为正值)？(5分) (2)若当年平均盈利额达到最大时,渔船以30万元卖出,则该船为渔业公司带来的收益是多少万元？(6分) 解　(1)由题意得,渔船捕捞的利润y=50n-c-98=-2n2+40n-98,n∈N*, 由-2n2+40n-98>0, 解得10-<n<10+ 又n∈N*,7<<8, 故2<10-<3,17<10+<18, ∴3≤n≤17,n∈N*,即捕捞的第3年开始盈利. (2)由(1)知年平均盈利额 y==-2n-+40,n∈N*, ∵y=-2+40≤-2×2+40=12, 当且仅当n=即n=7时,等号成立, ∴当n=7时,年平均盈利额达到最大值12万元, ∴该船为渔业公司带来的收益为12×7+30=114(万元). 11.不等式<0的解集为(　　) A.{x|-1<x<2或2<x<3} B.{x|1<x<3} C.{x|2<x<3} D.{x|-1<x<3} 答案　A 解析　原不等式等价于 解得-1<x<3,且x≠2. 故不等式的解集为{x|-1<x<2或2<x<3}. 12.若关于x的不等式>0的解集是{x|-1<x<3},则关于x的不等式<0的解集是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为>0等价于(ax-1)(x+b)>0, 所以方程(ax-1)(x+b)=0的两个根为-b, 因为该不等式的解集为{x|-1<x<3},故可得a<0,且=-1,-b=3,则a=-1,b=-3, 则<0即<0,等价于(2x+3)(2x-1)>0,解得. 13.(5分)已知y=ax2-(a2+2)x+2a,若不等式y+6x≤0的解集是{x|x≤-2或x≥-1},则实数a的值为　　　　.  答案　-4 解析　由题意得不等式y+6x≤0,即ax2-(a2-4)x+2a≤0的解集是{x|x≤-2或x≥-1}, 所以a<0,且-2,-1是方程ax2-(a2-4)x+2a=0的两个实数根, 则 解得a=-4(a=1不符合题意,舍去). 14.(5分)某景区旅馆共有200张床位,每床每晚的定价为10的整数倍,当每床每晚的定价为50元时,所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍,则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元,则每个床位的定价应为　　　　元.  答案　120或130 解析　设每个床位的定价应为x元,则每晚有200-(x-50)=250-x(张)床位有人入住, 则旅馆每晚的收入为 (250-x)x=-x2+250x(元), 令-x2+250x>15 400,即x2-250x+15 400<0,解得110<x<140, 因为x是10的整数倍,所以每个床位的定价应为120或130元. 15.(5分)若不等式-2<x2+mx-m2<1的解集为{x|n<x<2},则m+n=　　　　　　.  答案　-2 解析　因为不等式-2<x2+mx-m2<1的解集为{x|n<x<2}, 而y=x2+mx-m2=-m2的图象开口向上, 且最小值大于-2,即-m2>-2,解得m2< 且x2+mx-m2=1的两个根为n,2, 所以解得或 当时,不符合m2<故舍去, 所以所以m+n=-2. 16.(12分)(1)已知不等式ax2+bx+2<0的解集是{x|1<x<2},解不等式≥0；(6分) (2)已知a∈R,解不等式>a+1.(6分) 解　(1)由不等式ax2+bx+2<0的解集是{x|1<x<2},得1,2是方程ax2+bx+2=0的两个根,且a>0, 于是解得 所以不等式≥0即≥0, 即或 由得-3<x≤1或x≥2, 无解, 所以原不等式的解集是{x|-3<x≤1或x≥2}. (2)原不等式可化为>0, ①当a=0时,原不等式为>0,解得x>1； ②当a≠0时,原不等式可化为<0, 即a(x-1)<0, 当a>0时,原不等式等价于(x-1)<0, 显然>1,解得1<x<； 当a<0时,原不等式等价于(x-1)>0,而=1+<1, 解得x<或x>1. 综上,当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1}； 当a>0时,原不等式的解集为； 当a<0时,原不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $