专题4.1 指数（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

专题4.1 指数 教学目标 1.理解n次方根，n次根式的概念及运算； 2.会进行根式及分数指数幂的化简求值； 3.通过对有理数指数幂a(a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 4.通过理解根式的概念及运算性质，推导有理数指数幂的运算，理解根式的概念及运算性质，推导有理数指数幂的运算提升学生的数学抽象素养和数学运算素养. 教学重难点 1.重点 理解根式的概念及运算性质；指数幂运算性质的应用 2.难点 指数幂运算性质的应用. 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 【即学即练】 1．计算： ． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】． 故选：A 2.设，下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A中，；B中，；C正确；D中， 故选：C 知识点02 根式 1.n次方根 一般地，如果一个实数x满足xn＝a(其中n>1，且n∈N*)，那么称x为a的n次方根． 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数 当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数，负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0(无论n为奇数，还是为偶数). 定义 一般地，如果xn＝a，那么x称为a的n次方根，其中n＞1，且n∈N* 2 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为 a<0 x<0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为 a<0 x在实数范围内不存在 2.根式的概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数 当为奇数时， 当为偶数时， 【即学即练】 1．(1)16的平方根为________，－27的5次方根为________； (2)已知x7＝6，则x＝________； 【答案】（1）±4.（2）；（3） 【解析】(1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4. －27的5次方根为. (2)∵x7＝6，∴x＝. 2.若有意义，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，且，∴a的取值范围是且． 故选：B． 知识点03 分数指数幂的意义及应用 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 实数指数幂中底数的取值范围 幂指数 定义 底数的取值范围 整数指数 正整数指数 an＝ (n∈N*) a∈R 零指数 a0＝1 a≠0且a∈R 负整数指数 ＝(n∈N*) a≠0且a∈R 有理数指数 正分数指数 a＝(m，n∈N*，且m，n互质) n为奇数 a∈R n为偶数 a≥0 负分数指数 ＝(m，n∈N*，m，n互质) n为奇数 a≠0且a∈R 无理数指数 当a＞0且x是无理数时，ax也是一个确定的实数 一般规定a＞0 【即学即练】 1．的分数指数幂表示为（    ） A． B． C． D．都不对 【答案】A 【解析】原式， 故选：A. 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原式． 故选：C． 知识点04 实数指数幂的运算性质及应用 ①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算 ③幂的乘方运算 ④积的乘方运算 注：（1）是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a； （2）()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a 【即学即练】 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【解析】． 故选：D. 2．已知，则 ． 【答案】 【解析】 ， 因为，所以原式 故答案为： 题型01 根式的概念 【典例1】(多选)下列说法正确的是（    ） A．16的4次方根是2 B．的运算结果是±2 C．当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义 D．当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义 【答案】CD 【解析】　16的4次方根应是±2；＝2，所以正确的应为C、D. 故选：CD 判断关于n次方根的结论的注意点： (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号 【变式1】若有意义，则x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【解析】直接根据开偶次方根，被开方数大于等于0，0的0次幂无意义.要使原式有意义，则解得且. 故选：A. 【变式2】若有意义，则是（    ） A．正偶数 B．正整数 C．正奇数 D．整数 【答案】C 【解析】被开方数为负数时只能开奇数次方，所以n为正奇数， 故选：C. 【变式3】若有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，要使得有意义，则满足，解得， 即实数的取值范围为． 故选：B． 【变式4】求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】， 要使成立， 需解得， 即实数a的取值范围是， 故答案为：. 题型02 利用根式的性质化简与求值 【典例1】 . 【答案】0 【分析】利用根式化简，即可得到答案. 【解析】. 故答案为：0. 根式化简的思想和注意点： (1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的； (2)化简根式时需注意：在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数 【变式1】下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 【变式2】已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式化简，即可得到答案. 【解析】设，， ，， ， . . 又，， ，. 故选：D 【变式3】计算的值为___________ 【答案】 【分析】利用根式化简及去绝对值，即可得到答案. 【解析】. 故答案为： 【变式4】已知，且，化简二次根式的正确结果是___________ 【答案】 【解析】有意义，，， 又，，，. 故答案为： 题型03 带条件的根式的化简 【典例1】若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题可得，解得，又，所以， 则． 故选：B. 条件根式的化简的一般方法： (1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简； (2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负。 【变式1】若，则等式成立的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】，，．由 ，得 . 故选C. 【变式2】已知，，则的值为 ． 【答案】 【解析】由，，可得， 设，则，则， 解得，（舍去）， 故， 故答案为： 【变式3】，求 ． 【答案】 【解析】因为，，所以. 故答案为： 【变式4】若，则的化简结果是 ． 【答案】 【解析】由，得， 所以. 故答案为： 题型04 根式与分数指数幂的互化 【典例1】（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A，，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：CD. 根式与分数指数幂互化的规律： (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子； (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解 【变式1】将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】（1）（2）（3）（4）将根式化为分数指数幂，结合指数幂运算求解即可. 【解析】（1）原式. （2）原式. （3）原式. （4）原式. 【变式2】用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）： （1） ； （2） （3） ；（3）. 【答案】（1）1；（2）；（3）1. 【分析】（1）将根式化为分数指数幂形式再进行计算； （2）将根式化为分数指数幂形式再进行计算； （3）分别将分子分母的根式化简为分数指数幂的形式，进行计算求解. 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式 【变式3】（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BC 【解析】对于A，（），故A错误； 对于B，（），故B正确； 对于C，（），故C正确； 对于D，，而无意义，故D错误. 故选：BC 【变式4】（多选）在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．(x)0.5=- (x≠0) B．= C．= (xy>0) D．= 【答案】BC 【解析】对于A，(x)0.5和必有一个无意义，错误; 对于B，，正确; 对于C，因为xy>0，则，正确; 对于D，，错误． 故选：BC． 题型05 指数幂的运算 【典例1】计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【解析】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 . 指数幂运算的解题通法： (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数； (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答； (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一 【变式1】化简求值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）原式 ； （2）原式； （3）原式. 【变式2】计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)；(2)100；(3)；（4） 【解析】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 . 【变式3】计算： . 【答案】/-0.25 【解析】由题意 . 故答案为：. 题型06 条件求值问题 【典例1】已知且，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）7；（2） 【解析】（1）因为，所以，即，所以； （2）因为，又因为，所以 解决条件求值问题的一般方法： 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a＞0，b＞0)： (1)a±2＋b＝(±)2；(2)a－b＝(＋)(－)； (3) ＋＝(＋)(a－＋b)；(4) －＝(－)(a＋＋b). 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【解析】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 【变式2】】已知，，则的值为 . 【答案】/ 【解析】因为，两边平方得，所以， 因为，所以，，所以， 所以， 又， 所以. 故答案为：. 【变式3】化简并求值． (1)若，，求的值； (2)设，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据指数的幂的运算可得答案； （2）由，构造出，再由幂的运算法则可得答案. 【解析】（1）原式 ． 当，时， 原式； （2）因为，所以， 所以． 所以． 【变式4】已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值； （2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值. 【解析】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故. 1．若，，给出下列式子：①；②；③；④．其中恒有意义的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据根指数是偶数时，被开方数为非负数，可知②无意义； 当时，，此时④无意义． 因为，所以恒有意义， 因为任何数都可以开奇次方，所以恒有意义， 所以恒有意义的式子是①③． 故选：B． 2．的分数指数幂表示为（    ） A． B． C． D．都不对 【答案】A 【解析】原式． 故选：A． 3．若有意义，则的取值范围是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】由题意可知， 且． 故选：B 4．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 故选：C. 5．设，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得①；由得②．得，得 故选：D. 6．已知正数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为正数、满足，即，可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 7．（多选）已知，，给出下列4个式子，其中有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于选项AC：因为，，可知无意义，有意义； 对于选项BD：开3次方时，被开方数无限制，即 、均有意义； 故选：BCD. 8．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：BD． 9．（多选）已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】,，，故选项A正确; ，，故选项B错误; ,，故选项C正确; ,且 ，，，故选项D正确. 故选：ACD 10．计算： ＋4＝________． 【答案】D 【分析】利用根式化简及去绝对值，即可得到答案. 【解析】原式＝－3＋4×|(－2)3|＝－3＋32＝29. 故答案为：29 11．满足方程的实数解的个数为 . 【答案】无数个 【解析】设，则 方程化为 即，即 当时，则，解得 当时，则恒成立，即满足方程. 当时，则，解得 所以满足方程，即，解得 故满足方程的实数解的个数为无数个 故答案为：无数个 12．若实数、、满足，，则的最小值是 . 【答案】 【解析】由可得：， 即，当且仅当，即时取等号， 由， 可得：，又由得：， 所以，因为， 所以，当且仅当取等号， 故答案为： 13．用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 【答案】答案见解析 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 14．（1）求值：； （2）已知，，求的值. 【答案】（1）3；（2） 【分析】（1）利用根式和指数幂的运算求解； （2）利用指数幂和平方关系求解. 【解析】（1）， ， ； （2）因为，， 所以， 所以， 所以， 所以. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 指数 教学目标 1.理解n次方根，n次根式的概念及运算； 2.会进行根式及分数指数幂的化简求值； 3.通过对有理数指数幂a(a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 4.通过理解根式的概念及运算性质，推导有理数指数幂的运算，理解根式的概念及运算性质，推导有理数指数幂的运算提升学生的数学抽象素养和数学运算素养. 教学重难点 1.重点 理解根式的概念及运算性质；指数幂运算性质的应用 2.难点 指数幂运算性质的应用. 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 【即学即练】 1．计算： ． A．1 B．2 C．3 D．4 2.设，下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 根式 1.n次方根 一般地，如果一个实数x满足xn＝a(其中n>1，且n∈N*)，那么称x为a的n次方根． 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数 当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数，负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0(无论n为奇数，还是为偶数). 定义 一般地，如果xn＝a，那么x称为a的_______，其中n＞1，且n∈N* 2 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记_______ a<0 x<0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为_______ a<0 x在实数范围内不存在 2.根式的概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数 当为奇数时，_______ 当为偶数时，_______ 【即学即练】 1．(1)16的平方根为________，－27的5次方根为________； (2)已知x7＝6，则x＝________； 2.若有意义，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点03 分数指数幂的意义及应用 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 实数指数幂中底数的取值范围 幂指数 定义 底数的取值范围 整数指数 正整数指数 零指数 负整数指数 有理数指数 正分数指数 负分数指数 无理数指数 【即学即练】 1．的分数指数幂表示为（    ） A． B． C． D．都不对 2．（    ） A． B． C． D． 知识点04 实数指数幂的运算性质及应用 ①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算 ③幂的乘方运算 ④积的乘方运算 注：（1）是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a； （2）()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a 【即学即练】 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则 ． 题型01 根式的概念 【典例1】(多选)下列说法正确的是（    ） A．16的4次方根是2 B．的运算结果是±2 C．当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义 D．当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义 判断关于n次方根的结论的注意点： (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号 【变式1】若有意义，则x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 【变式2】若有意义，则是（    ） A．正偶数 B．正整数 C．正奇数 D．整数 【变式3】若有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4】求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 题型02 利用根式的性质化简与求值 【典例1】 . 根式化简的思想和注意点： (1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的； (2)化简根式时需注意：在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数 【变式1】下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】计算的值为___________ 【变式4】已知，且，化简二次根式的正确结果是___________ 题型03 带条件的根式的化简 【典例1】若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 条件根式的化简的一般方法： (1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简； (2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负。 【变式1】若，则等式成立的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】已知，，则的值为 ． 【变式3】，求 ． 【变式4】若，则的化简结果是 ． 题型04 根式与分数指数幂的互化 【典例1】（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 根式与分数指数幂互化的规律： (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子； (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解 【变式1】将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2】用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）： （1） ； （2） （3） ；（3）. 【变式3】（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式4】（多选）在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．(x)0.5=- (x≠0) B．= C．= (xy>0) D．= 题型05 指数幂的运算 【典例1】计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 指数幂运算的解题通法： (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数； (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答； (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一 【变式1】化简求值： (1)； (2)； (3). 【变式2】计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式3】计算： . 题型06 条件求值问题 【典例1】已知且，求下列各式的值： （1）； （2）． 解决条件求值问题的一般方法： 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a＞0，b＞0)： (1)a±2＋b＝(±)2；(2)a－b＝(＋)(－)； (3) ＋＝(＋)(a－＋b)；(4) －＝(－)(a＋＋b). 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】】已知，，则的值为 . 【变式3】化简并求值． (1)若，，求的值； (2)设，求的值． 【变式4】已知，求下列各式的值： (1)； (2) 1．若，，给出下列式子：①；②；③；④．其中恒有意义的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．的分数指数幂表示为（    ） A． B． C． D．都不对 3．若有意义，则的取值范围是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 4．（    ） A． B． C． D． 5．设，那么（    ） A． B． C． D． 6．已知正数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知，，给出下列4个式子，其中有意义的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．计算： ＋4＝________． 11．满足方程的实数解的个数为 . 12．若实数、、满足，，则的最小值是 . 13．用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 14．（1）求值：； （2）已知，，求的值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $