第3章 3.2.1 基本不等式的证明（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦基本不等式的证明与应用核心知识点，从重要不等式（a²+b²≥2ab）切入，通过变量替换推导基本不等式（√(ab)≤(a+b)/2），结合作差法、几何意义等多种证明方法，梳理变形公式后，以证明不等式和求最值例题及练习构建从理论到应用的学习支架。 该资料以赵爽弦图和国际数学家大会会标为情境，引导学生用数学眼光观察现实中的数量关系。通过多种证明方法培养逻辑推理的数学思维，例题强调“一正二定三相等”规范表达提升数学语言精确性。课中助力教师多角度讲解，课后分层练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

3.2.1　基本不等式的证明 学习目标　1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式.3.会利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 导语　国际数学家大会是世界上数学家的盛会,如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中证明勾股定理时采用了该图形,你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的大小关系吗？带着这个问题我们继续研究不等式的相关知识. 一、基本不等式的推导与证明 问题1　我们可以将(a-b)2≥0变形,有不等式a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.该不等式对任意的实数a,b都能成立,我们称该不等式为重要不等式.现在我们讨论一种特别的情况,如果a>0,b>0,我们用分别替换上式中的a,b,能得到什么样的结论？ 提示　用分别替换上式中的a,b可得到a+b≥2当且仅当a=b时,等号成立.我们习惯表示成≤. 问题2　上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的,是否对所有的a>0,b>0都能成立？请给出证明. 提示　方法一　(作差法) -= ==≥0, 即≥ 当且仅当a=b时,等号成立. 方法二　(性质法) 要证≤ 只需证2≤a+b, 只需证2-a-b≤0, 只需证-(-)2≤0, 显然(-)2≥0成立,当且仅当a=b时,等号成立. 方法三　对于正数a,b,有 (-)2≥0⇒a+b-2≥0 ⇒a+b≥2⇒≥. 当且仅当a=b时,等号成立. 方法四　(利用几何意义证明) 如图AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD,故有△ACD∽△DCB,故CD=由于CD小于或等于圆的半径,故用不等式表示为≤由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 知识梳理 基本不等式：如果a,b是正数,那么≤(当且仅当a=b时,等号成立).我们把不等式≤(a,b≥0)称为基本不等式. 对于正数a,b,我们把称为a,b的算术平均数称为a,b的几何平均数. 注意点： (1)基本不等式常见的变形：①若a>0,b>0,则a+b≥2；②若a>0,b>0,则ab≤. (2)两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数,当两个正数相等时,两者相等. 例1　(1)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(　　) A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 C.+> D.+≥2 答案　D　 解析　对于A,当a=b时,应有a2+b2=2ab,故A错误；对于B,C,条件ab>0,只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B,C错误；对于D+≥2·=2,当且仅当a=b时,等号成立,故D正确. (2)不等式a+1≥2(a>0)中,等号成立的条件是(　　) A.a=0 B.a= C.a=1 D.a=2 答案　C 解析　因为a>0,根据基本不等式≤当且仅当a=b时,等号成立,故a+1≥2中,当且仅当a=1时,等号成立. 反思感悟　在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”. 一正：a,b均为正数； 二定：不等式一边为定值； 三相等：不等式中的等号能取到,即a=b有解. 跟踪训练1　若0<a<b,则下列不等式一定成立的是(　　) A.a>>>b B.b>>>a C.b>>>a D.b>a>> 答案　C 解析　∵0<a<b,∴2b>a+b,∴b>>. 又∵b>a>0,∴ab>a2,∴>a. 故b>>>a. 二、用基本不等式证明不等式 例2　(课本例1)设a,b为正数,证明下列不等式成立： (1)+≥2； (2)a+b++≥4. 证明　(1)因为a,b为正数,所以也为正数. 由基本不等式,得+≥2=2, 当且仅当=即a=b时,取得等号.所以原不等式成立. (2)因为a,b为正数,所以也为正数. 由基本不等式,得a+≥2=2, b+≥2=2, 所以a+b++≥4, 当且仅当a=b=即a=b=1时,取得等号. 因此,原不等式成立. 例2　已知x>0,y>0,z>0,求证：≥8. 证明　∵x>0,y>0,z>0, ∴+≥>0, 当且仅当y=z时,等号成立. +≥>0, 当且仅当x=z时,等号成立. +≥>0, 当且仅当x=y时,等号成立. ∴ ≥=8, 当且仅当x=y=z时,等号成立. 反思感悟　利用基本不等式证明不等式注意点 (1)此类问题的关键是：所证不等式中大多有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果. (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到. 跟踪训练2　已知a,b,c为正数,求证：++≥3. 证明　左边=+-1++-1++-1 =++-3. 因为a,b,c为正数, 所以+≥2(当且仅当a=b时取“=”)； +≥2(当且仅当a=c时取“=”)； +≥2(当且仅当b=c时取“=”). 从而++≥6(当且仅当a=b=c时取等号). 所以++-3≥3, 即++≥3. 三、用基本不等式求最值 问题3　你能写出基本不等式的几种变形吗？ 提示　当a>0,b>0时,有①≤；②ab≤；③a+b≥2. 例3　若x>0,则x+的最小值为　　　　　　.  答案　4 解析　因为x>0, 所以x+≥2=4, 当且仅当x=即x=2时,等号成立,因此所求的最小值为4. 延伸探究1　将本例条件“x>0”改成“x<0”,则x+的最大值为　　　　.  答案　-4 解析　x+=- 因为x<0,则-x>0, 故有-x+≥2=4, 所以-≤-4,当且仅当-x=-即x=-2时,等号成立. 故原式的最大值为-4. 延伸探究2　将本例条件“x>0”改成“x>2”,则x+的最小值为　　　　.  答案　6 解析　因为x>2,所以x-2>0, 则x+=x-2++2≥2+2=6, 当且仅当x-2=即x=4时,等号成立, 所以x+的最小值为6. 延伸探究3　将本例条件“x>0”改成“x<2”,则x+的最大值为　　　　.  答案　-2 解析　因为x<2,所以2-x>0, 则x+=x-2++2 =-+2≤-2+2 =-2, 当且仅当2-x=即x=0时,等号成立, 所以x+的最大值为-2. 延伸探究4　将本例条件“x>0”改成“x>1”,则2-x-的最大值为　　　　.  答案　-1 解析　2-x-=1+1-x- =1- 由x>1,得x-1>0, 可得(x-1)+≥2=2, 当且仅当=x-1,即x=2时,等号成立, 故2-x-≤1-2=-1,即2-x-的最大值为-1. 反思感悟　(1)利用基本不等式求最值时,要注意“一正、二定、三相等”,尤其是要注意验证等号成立的条件. (2)通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 配凑法的实质在于代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键,利用配凑法求最值应注意以下几个方面：①配凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价转换；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 1.知识清单： (1)基本不等式：≤(a≥0，b≥0). (2)用基本不等式证明不等式. (3)用基本不等式求最值. 2.常见误区：利用基本不等式求最值时，易忽视“一正、二定、三相等”；多次运用基本不等式时，易忽视等号是否都能取到. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共40分；多选题每小题6分,共6分 1.下列条件不能使+≥2成立的为(　　) A.ab>0 B.ab<0 C.a>0,b>0 D.a<0,b<0 答案　B 解析　根据基本不等式的条件,可知a,b同号, 则满足条件的是A,C,D. 2.已知a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是(　　) A.a2+b2≥2|ab| B.a2+b2=2|ab| C.a2+b2≤2|ab| D.a2+b2>2|ab| 答案　A 解析　a2+b2=|a|2+|b|2≥2|a||b|=2|ab|(当且仅当|a|=|b|时,等号成立). 3.已知x>0,y>0,则+的最小值为(　　) A.15 B.12 C.8 D.6 答案　B 解析　由基本不等式可知+≥2=12,当且仅当=即y=2x时,等号成立,则+的最小值为12. 4.当x>1时,则x+的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　C 解析　因为x>1,故有x-1>0,所以x+=x-1++1≥2+1=5, 当且仅当x-1=即x=3时等号成立.因此所求的最小值为5. 5.已知a>1,b>1,记M=+N=则M与N的大小关系为(　　) A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定 答案　A 解析　因为a>1,b>1, 所以M=+≥2= 当且仅当=时取等号, 又>故M>N. 6.下面四个推导过程正确的为(　　) A.当x>0且x≠1时,x+≥2=2 B.若a∈R,a≠0,则+a≥2=4 C.若x,y∈R,xy<0,则+=-≤-2=-2 D.若a<0,b<0,则≤ab 答案　C 解析　A中,不满足取等号的条件,故A错误； B中,∵a∈R,a≠0,不符合基本不等式的条件,故B错误； C中,由xy<0,得均为负数,但在推导过程中将整体提出负号后,--均变为正数,符合基本不等式的条件,故C正确； D中,对任意的a,b∈R,都有a2+b2≥2ab,即≥ab,故D错误. 7.(5分)已知当x=3时,代数式4x+(x>0,a>0)取得最小值,则a=　　　　.  答案　36 解析　4x+≥2=4(x>0,a>0),当且仅当4x=即x=时,等号成立, 所以=3,即a=36. 8.(5分)已知m=a+(a>2),n=2-b2(b≠0),则m,n的大小关系是　　　　　　.  答案　m>n 解析　由a>2,得a-2>0. 又m=a+=(a-2)++2, 所以m≥2+2=4. 当且仅当a-2=即a=3时取等号, 由于b≠0,所以n=2-b2<2<4. 因此m>n. 9.(10分)已知x>0,求函数y=的最小值. 解　因为x>0,根据基本不等式可得y==x++3≥2+3=4+3=7, 当且仅当x=即x=2时取等号, 故函数y=的最小值是7. 10.(12分)设a,b为正实数,求证：(a+b)(a2+b2)(a3+b3)≥8a3b3. 证明　因为a,b为正实数, 所以a+b≥2a2+b2≥2ab, a3+b3≥2=2ab 当且仅当a=b时取等号, 所以(a+b)(a2+b2)(a3+b3) ≥2×2ab×2ab=8a3b3, 即(a+b)(a2+b2)(a3+b3)≥8a3b3, 当且仅当a=b时取等号. 11.若a∈R,则的最小值是(　　) A.2 B.4 C. D.9 答案　A 解析　=+ ≥2=2, 当且仅当=即a=0时,等号成立. 12.(多选)已知x>0,则下列式子的最小值为2的有(　　) A.+ B.2x(2-x) C.2x+ D.x-1+ 答案　ACD 解析　因为x>0,所以+≥2,当且仅当x=2时取等号,故A正确； 2x(2-x)=-2(x-1)2+2≤2,即最大值为2,故B不正确； 因为x>0,所以2x+≥2,当且仅当x=时取等号,故C正确； 因为x>0,所以x-1+=x+1+-2≥2-2=2,当且仅当x=1时取等号,故D正确. 13.(5分)已知x,y为正实数,则+的最小值为　　　　.  答案　6 解析　+=+=+2+-2≥2-2=8-2=6, 当且仅当+2=即=2时,等号成立. 所以+的最小值为6. 14.(5分)已知a,b,c都是正实数,若M=++N=(a+b+c),则M与N的大小关系是　　　　　.  答案　M≥N 解析　因为a>0,b>0,可得a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立, 所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2, 所以a2+b2≥(a+b)2, 所以≥(a+b), 同理可得≥(b+c)≥(c+a), 所以M=++ ≥[(a+b)+(b+c)+(c+a)], 即++≥(a+b+c), 当且仅当a=b=c时,等号成立,即M≥N. 15.《几何原本》第二卷中的几何代数法(几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理,很多代数的定理都能够通过图形实现证明,并称之为无字证明.现有如图所示的图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OF⊥AB.设AC=a,BC=b(a>0,b>0),则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.≥ B.a2+b2≥2ab C.≤ D.≤ 答案　D 解析　由题图知,OF=AB=OC= 在Rt△OCF中, CF== 因为CF≥OF,所以≤(a>0,b>0). 16.(12分)(1)已知x<求的最大值；(6分) (2)已知0<b<2,求(2-b)(1+2b)的最大值.(6分) 解　(1)∵x<∴5-4x>0, ∴原式= =4x-5++3=-+3 ≤-2+3=1, 当且仅当5-4x=即x=1时,等号成立, 故所求最大值为1. (2)(2-b)(1+2b)=(4-2b)(1+2b)≤×= 当且仅当4-2b=1+2b,即b=时取得等号, ∴(2-b)(1+2b)的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $