第2章 章末复习课 常用逻辑用语（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学单元复习讲义通过知识网络框架图系统构建知识体系，涵盖充分必要条件的判断及应用、充要条件的证明或探求、全称量词与存在量词命题三大模块，梳理定义、判断方法、证明思路及命题否定等要点，呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于例题与跟踪训练结合，如充要条件判断、参数范围求解及量词命题否定等题型，通过集合关系法、定义法等方法指导培养逻辑推理和数学运算素养。分层设计满足不同学生需求，助力自主复习，为教师精准教学提供支持。

一、充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用 1.若p⇒q,且qp,则p是q的充分且不必要条件,同时q是p的必要且不充分条件； 若p⇔q,则p是q的充要条件,同时q是p的充要条件. 2.由充要条件求参数范围常转化为集合间的关系解决. 例1　(1)设x∈R,则“x>3或x<0”是“x>4”的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　由x>3或x<0,推不出x>4, 但当x>4时,不等式x>3或x<0成立. 则“x>3或x<0”是“x>4”的必要且不充分条件. (2)设p：实数x满足A={x|x≤4a,或x≥a(a<0)},q：实数x满足B={x|-6≤x<-1},且q是p的充分且不必要条件,求实数a的取值范围. 解　∵q是p的充分且不必要条件,∴BA, ∴或 解得a≤-6或-≤a<0, ∴a的取值范围为. 反思感悟　充要条件的常用判断方法 (1)定义法：直接判断“若p则q”以及“若q则p”的真假. (2)利用集合间的包含关系判断：设命题p对应的集合为A,命题q对应的集合为B,若A⊆B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A=B,则p是q的充要条件. 跟踪训练1　(1)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x>1或x<-2”的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　A 解析　由|x-2|<1,解得1<x<3, 由于{x|1<x<3}是{x|x>1,或x<-2}的真子集, 所以“|x-2|<1”是“x>1或x<-2”的充分且不必要条件. (2)若-a<x<-1成立的一个充分且不必要条件是-2<x<-1,则a的取值范围是　　　　.  答案　a>2 解析　由题意得{x|-2<x<-1}{x|-a<x<-1},所以-a<-2,解得a>2. 二、充要条件的证明或探求 1.将原命题进行等价变形或转换,直至获得其成立的充要条件,探求的过程同时也是证明的过程. 2.掌握充要条件的证明,提升逻辑推理和数学运算素养. 例2　求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 证明　先证必要性： ∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1, ∴x=1满足方程ax2+bx+c=0, 则a×12+b×1+c=0, 即a+b+c=0. 再证充分性： ∵a+b+c=0, ∴c=-a-b, 代入方程ax2+bx+c=0中, 可得ax2+bx-a-b=0, 即(x-1)(ax+a+b)=0,故 方程ax2+bx+c=0有一个根为1. 因此,关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0得证. 反思感悟　证明p是q的充要条件的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性,推证q⇒p是证明必要性. (2)集合思想：记p：A={x|p(x)},q：B={x|q(x)},若A=B,则p与q互为充要条件. 跟踪训练2　已知关于x的一元二次方程x2-2x+m2=0. (1)求出该方程有实数根的充要条件； (2)写出该方程有实数根的一个充分且不必要条件； (3)写出该方程有实数根的一个必要且不充分条件. 解　(1)方程有实数根的充要条件是Δ≥0,即4-4m2≥0,m2≤1,解得-1≤m≤1,故方程有实数根的充要条件是-1≤m≤1. (2)方程有实数根的一个充分且不必要条件是m=0.(答案不唯一,写出{m|-1≤m≤1}的任一真子集即可) (3)方程有实数根的一个必要且不充分条件是-2<m≤2.(答案不唯一,写出范围比{m|-1≤m≤1}大的一个集合即可) 三、全称量词命题与存在量词命题 1.全称量词命题的否定一定是存在量词命题,存在量词命题的否定一定是全称量词命题.首先改变量词,把全称量词改为存在量词,把存在量词改为全称量词,然后把判断词加以否定. 2.通过对含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等问题的研究,培养逻辑推理和数学运算素养. 例3　已知命题p：∃x,y∈Z,x2+y2=2 025,则¬p为(　　) A.∀x,y∈Z,x2+y2≠2 025 B.∃x,y∈Z,x2+y2≠2 025 C.∀x,y∈Z,x2+y2=2 025 D.不存在x,y∈Z,x2+y2=2 025 答案　A 解析　含有存在量词的命题的否定,只需将存在量词改为全称量词,再将结论否定即可.所以¬p为∀x,y∈Z,x2+y2≠2 025. 反思感悟　全称量词命题与存在量词命题问题的关注点 (1)对全称量词命题和存在量词命题进行否定,一要改变量词,二要否定结论. (2)根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围,一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决. 跟踪训练3　命题p：存在实数x∈R,使得方程ax2+2x-1=0成立.若命题p为真命题,求实数a的取值范围. 解　当a=0时,方程为2x-1=0,显然有实数根,满足题意； 当a≠0时,由题意可得ax2+2x-1=0有实根,得Δ=4+4a≥0,解得a≥-1,且a≠0. 综上可得a≥-1, 即实数a的取值范围是{a|a≥-1}. 学科网（北京）股份有限公司 $