3.2.2 基本不等式的应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦基本不等式的应用这一核心知识点，系统梳理利用变形技巧（消元法、配凑法等）求最值、参数取值范围及实际应用的内容，延伸至基本不等式链的拓展，构建从基础应用到综合拓展的学习支架。 以养殖场围矩形牧场的实际情境导入，引导学生用数学眼光观察现实问题。通过一题多解（如例1的消元与配凑法）培养数学思维，结合运输成本等实例让学生用数学语言表达现实问题。分层练习助力课中教学与课后查漏补缺，提升应用能力。

3.2.2 基本不等式的应用 新课导入 一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为，的矩形牧场，现有材料能做出长的栅栏，那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？让我们本节课一起探讨吧！ 学习目标 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 新知学习 探究 一 利用基本不等式变形求最值 ［例1］ 若正数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】方法一（消元法）因为正数，满足,所以. 由 即 解得. 所以， 当且仅当，即，时，等号成立. 故 的最小值为.故选. 方法二（配凑法）因为正数，满足, 所以， 所以，因为，均为正数，所以， 当且仅当，即，时，等号成立.故 的最小值为.故选. 母题探究．本例改为:已知，，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 9 【答案】D 【解析】选.由 可得， ， 当且仅当 时，等号成立. 基本不等式求最值的策略 （1）常见的变形技巧有：①配凑系数；②变符号；③拆补项;④将所求表达式乘以或除以一个常数. （2）多元最值问题，可以通过消元，转化为一元最值问题来处理，注意消元后的变量的范围. ［跟踪训练1］． （1） 若,则的最大值为_ _ _ _ _ _ . （2） 已知,,且,则的最小值是_ _ _ _ . 【答案】（1） （2） 25 【解析】 （1） 因为,所以, 当且仅当,即 时等号成立，所以 的最大值为. （2） 由题意得, 当且仅当，即,时,等号成立，所以 的最小值是25. 二 利用基本不等式求参数取值范围 ［例2］ （1） 已知函数，，若的取值范围为，则实数的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 （2） 已知函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） ①当 时，， 当且仅当 时，等号成立； ②当 时，， 当且仅当 时，等号成立， 所以 解得.故选. （2） 对任意，， 即 恒成立， 即. 设，， 则，当且仅当 时，等号成立，所以，又当 时，又当 时. 所以，故实数 的取值范围是. 求解含参数不等式的策略 （1）观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得参数的值或取值范围. （2）在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化. ［跟踪训练2］．已知不等式对任意的正实数，恒成立，则正实数的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】选.对任意的正实数，，，当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为，于是 恒成立.所以.故选. 三 基本不等式的实际应用 ［例3］ （对接教材例4）某地要修建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图.已知旧墙的维修费用为45元/，新墙的造价为180元/.设利用的旧墙长度为（单位：），修建此矩形场地的围墙的总费用为（单位：元）.试确定的值，使修建此矩形场地的围墙的总费用最少，并求出最少总费用. 【解】 设矩形场地与旧墙相邻的围墙的边长为,则. 由已知得,则, 所以. 因为, 所以, 所以, 当且仅当,即 时,等号成立. 故当 时，修建此矩形场地的围墙的总费用 最少，最少总费用是10 440元. 利用基本不等式解决实际问题的步骤 （1）先理解题意，设变量.设变量时,一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； （2）建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内求出函数的最大值或最小值； （4）写出正确答案. ［跟踪训练3］．某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为），其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时. （1） 请将该货轮从甲地到乙地的运输成本（单位：元）用航行速度（单位：海里/时）表示； （2） 要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？ 【答案】 （1） 解：由题意，每小时的燃料费用为 元， 从甲地到乙地所用的时间为 小时， 则 . （2） 由（1）得, 当且仅当,即 时等号成立. 故要使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以40海里/时的速度行驶. 培优点 基本不等式链 基本不等式链: 若，，则.（ 其中和 分别叫做，的调和平均数和平方平均数）. 证明：因为，所以，即.又因为， 所以.又由基本不等式得， 故，当且仅当 时，等号成立. ［典例］ （多选）若，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】由基本不等式链: , 可得. 对于，，可变形为 ，即，即，从而，当且仅当 时，，当且仅当 时，，所以 错误，正确； 对于，由 可变形为，解得，当且仅当 时取等号，所以 正确； 对于，当,时，满足，，所以 错误. 基本不等式链丰富了基本不等式的内涵，实现了正实数，的倒数和、乘积、和、平方和之间的转化，对于一些不等式的证明和最值问题提供了更多思路，注意各不等式中等号成立的条件仍然是当且仅当. ［练习1］．若正实数,满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为，，,所以，即，当且仅当 时，等号成立，所以 的最大值为. ［练习2］．已知,,,都是正实数，且，,则与的大小关系是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，所以，当且仅当 时，等号成立.而，所以，当且仅当 时，等号成立.所以. 课堂巩固 自测 1．已知正数,满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为正数,满足，所以， 当且仅当 时，等号成立. 2．已知,,且,则的最小值为_ _ _ _ . 【答案】16 【解析】因为,所以.因为,,所以,当且仅当，即,时，等号成立.所以 的最小值为16. 3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润（单位：万元）与机器运转时间（单位：年）的关系为,则当每台机器运转_ _ _ _ 年时，年平均利润最大，最大值为_ _ _ _ 万元. 【答案】5； 8 【解析】每台机器运转 年的年平均利润为,且,故.当且仅当,即 时,等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元. 4．已知正数,满足,. （1） 求的最大值； （2） 求的最小值. 【答案】 （1） 解：由， 得，当且仅当 时，等号成立， 则，得，即 的最大值为1. （2） 由，得， 得 ， 当且仅当，即 时，等号成立.故 的最小值为. 1.已学习：（1）灵活利用基本不等式求最值；（2）基本不等式的实际应用. 2.须贯通：（1）利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，要采用“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件；（2）求解应用题的方法与步骤:①审题；②建模（列式）；③求解；④作答. 3.应注意:基本不等式成立的条件. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】选.因为，所以， 所以 ， 当且仅当,即 时，等号成立. 2．已知正数，满足，则的最小值是（ ） A. 18 B. 16 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】选.因为，且， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立. 所以 的最小值为18. 3．已知，，，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】选.因为，，， 则 ， 当且仅当，即 时，等号成立，所以 的最小值为. 4．若对于任意，恒成立，则的最大值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】选.因为， 所以 ， 当且仅当，即 时，等号成立，所以.则 的最大值是6. 5．如图所示，矩形的边靠在墙上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形所需要篱笆的（ ） A. 最小长度为8 B. 最小长度为 C. 最大长度为8 D. 最大长度为 【答案】B 【解析】选.设，，因为矩形的面积为4，所以，所以围成矩形 所需要的篱笆长度为，当且仅当，即 时，等号成立，即所需要篱笆的最小长度为.故选. 6．（多选）已知小王从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】选.设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，所以. 因为，由基本不等式可得， 所以， 又， 所以，则. 7．若直角三角形两条直角边的和为10，则其斜边的最小值是_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设两直角边为，，则， 因为，当且仅当 时取等号， 所以，当且仅当 时取等号， 所以，当且仅当 时取等号， 斜边，当且仅当 时取等号，所以斜边的最小值为. 8．[（2025·常州期中）]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是_ _ _ _ . 【答案】30 【解析】由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和为,当且仅当,即 时等号成立,故当 时，一年的总运费与总存储费用之和最小. 9．已知命题“，关于的不等式成立”为假命题，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】依题意，命题“，关于 的不等式 成立”为真命题， 当 时，， 当且仅当，即 时，等号成立，因此，解得， 所以实数 的取值范围是. 10．（13分） （1） 已知正实数,满足，求的最小值；（6分） （2） 设，求的最小值.（7分） 【答案】 （1） 解：因为正实数,满足， 所以 ， 当且仅当 且， 即，时，等号成立， 所以 的最小值为. （2） 由题意，设， 则， 则， 当且仅当，即， 即 时，等号成立， 所以 的最小值为. B 能力提升 11．（多选）设，当取最小值时，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选.因为，所以.当且仅当，即，时，等号成立,所以 的最小值为. 12．已知正数,满足，则的最小值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为正数,满足，则，所以, 当且仅当，即,时，等号成立，故 的最小值为. 13．[（2025·镇江月考）]（15分）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长，宽的矩形，面积为.版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为.三个栏目的文字宣传区域面积和为， （1） 用，表示文字宣传区域面积和；（7分） （2） 如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？（8分） 【答案】（1） 解：依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为,的矩形，所以. （2） 依题意，，由（1）知， , 当且仅当，即，时，等号成立, 所以纸张的长和宽分别为,时，文字宣传区域面积和 最大，最大面积为. 14．（15分）某品牌电脑体验店预计全年可以销售360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金，经理决定分批购入，若每批都购入台为正整数，则每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，且每批购入20台时，全年需用去运费和保管费7 800元. （1） 求全年所付运费和保管费之和与的关系式；（7分） （2） 若全年只有8 000元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量；如果不够用，最少还需多少？（8分） 【答案】（1） 解：设储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑总价值的比例系数为，则.又当 时，，代入可得.故所求 与 的关系式为. （2） 由（1）知，. 根据基本不等式可得， ， 当且仅当，即 时，等号成立.故当每批购入30台时，支付的运费和保管费最低，为7 200元，此时资金够用. C 素养拓展 15．若,,表示三个数中的最大值，则对任意的正实数，，的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】选.设，,，则，，， 因为，,则得.又因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，则，故,,的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $