第3章 §3.1 不等式的基本性质（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦不等式的基本性质及作差法比较大小这一核心知识点，先通过等式性质类比引入不等式性质，再以作差法为工具连接实数大小比较与性质应用，构建从基础原理到证明、范围求解的完整知识支架。 该资料以生活实例导语培养学生用数学眼光观察现实世界的意识，通过例题变式与延伸探究发展数学思维中的推理能力，如作差法比较大小的步骤规范与性质应用的逻辑推导。课中辅助教师分层教学，课后课时对点练帮助学生查漏补缺，强化数学语言表达与知识应用能力。

学习目标　1.了解等式的基本性质.2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.3.初步学会用作差法(作商法)比较两实数的大小. 导语 大家知道,相等关系与不等关系是数学也是日常生活中最基本的关系.比如：长与短、远与近的比较；比如：同学们之间高与矮、轻与重的比较；又比如：国家人口的多少、面积的大小的比较.正所谓：“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”. 一、作差法比较大小 问题1　在初中,我们知道数轴上的点与实数一一对应,所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系,具体是如何规定的呢？ 提示　设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B.那么,当点A在点B的左边时,a<b；当点A在点B的右边时,a>b. 知识梳理　基本事实 依据 a>b⇔a-b>0 a=b⇔a-b=0 a<b⇔a-b<0 结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小 注意点： (1)利用作差法比较大小,只需判断差的符号,通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式. (2)对于两个正值,也可采用作商的方法,比较商与1的大小. (3)对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小. 例1　(课本例3)比较两数(a2+1)2与a4+a2+1的大小. 解　因为(a2+1)2-(a4+a2+1)=a4+2a2+1-a4-a2-1=a2. 当a=0时,a2=0,所以(a2+1)2=a4+a2+1； 当a≠0时,a2>0,所以(a2+1)2>a4+a2+1. 例1　已知a,b均为正实数.试利用作差法比较a3+b3与a2b+ab2的大小. 解　∵a3+b3-(a2b+ab2) =(a3-a2b)+(b3-ab2) =a2(a-b)+b2(b-a) =(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). 当a=b时,a-b=0,a3+b3=a2b+ab2； 当a≠b时,(a-b)2>0,a+b>0, a3+b3>a2b+ab2. 综上所述,a3+b3≥a2b+ab2. 延伸探究1　若a>0,b>0,则比较a5+b5与a3b2+a2b3的大小. 解　(a5+b5)-(a3b2+a2b3) =a5-a3b2+b5-a2b3 =a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3) =(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2). ∵a>0,b>0, ∴(a-b)2≥0,a+b>0,a2+ab+b2>0. ∴a5+b5≥a3b2+a2b3. 延伸探究2　对于an+bn,你能有一个更具一般性的猜想吗？ 解　若a>0,b>0,n>r,n,r∈N*, 则an+bn≥arbn-r+an-rbr. 反思感悟　作差法比较两个实数a,b大小的基本步骤 跟踪训练1　比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小. 解　(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1 =+. ∵≥0, ∴+≥>0, ∴(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0, ∴2x2+5x+3>x2+4x+2. 二、不等式的性质 问题2　你能根据下列等式的性质,类比出不等式的性质吗？ (1)如果a=b,那么b=a； (2)如果a=b,b=c,那么a=c； (3)如果a=b,那么a±c=b±c； (4)如果a=b,那么ac=bc. 提示　(1)如果a>b,那么b<a； (2)如果a>b,b>c,那么a>c； (3)如果a>b,那么a+c>b+c； (4)如果a>b,若c>0,那么ac>bc,若c<0,则ac<bc. 知识梳理　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b,b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 4 可乘性 a>b,c>0⇒ac>bc a>b,c<0⇒ac<bc c的 符号 5 同向 可加性 a>b,c>d⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正 可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac>bd 同向 注意点： (1)可加性是不等式中移项的根据. (2)应用同向可加性时,应注意“同向”. (3)同向同正可乘性应注意数的正负. 例2　(多选)下列四个命题中为假命题的是(　　) A.若a>-b,则c-a<c+b B.若a>b,则< C.若a<|b|,则a2>b2 D.若a>b,c>d,则ad<bc 答案　BCD 解析　对于A,若a>-b,则-a<b,所以c-a<c+b,故A为真命题； 对于B,若a>b,且a>0,b<0,则>0<0,此时>故B为假命题； 对于C,若a=-1,b=2,则a2=1<b2=4,故C为假命题； 对于D,若a=5,b=1,而c=4,d=1,则ad=5>bc=4,故D为假命题. 反思感悟　利用不等式性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时,要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能随意捏造性质. (2)也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单,便于验证计算. 跟踪训练2　(多选)若<<0,则下面四个不等式成立的有(　　) A.|a|>|b| B.a<b C.a+b<ab D.ab>a2 答案　CD 解析　由<<0可得b<a<0, 从而|a|<|b|,A,B均不正确； a+b<0,ab>0, 则a+b<ab成立,C正确； ab>a2,D正确. 三、利用不等式性质证明不等式 例3　(课本例2)已知a>b,c<d,求证：a-c>b-d. 证明　方法一　由a>b,得a-b>0；由c<b,得d-c>0. 因为(a-c)-(b-d)=(a-b)+(d-c)>0, 所以a-c>b-d. 方法二　因为c<d,所以-c>-d. 又因为a>b,所以a+(-c)>b+(-d). 即a-c>b-d. 例3　已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证：>. 证明　因为c<d<0, 所以-c>-d>0, 因为a>b>0, 所以a-c>b-d>0, 所以0<< 又因为e<0, 所以>. 延伸探究3　若a>b>0,c<d<0,e<0,求证：>. 证明　∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0. ∴(a-c)2>(b-d)2>0. 两边同乘以 得<. 又e<0,∴>. 反思感悟　利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. 跟踪训练3　已知a>b>0,c<0,证明：>. 证明　方法一　-= ∵a>b>0,c<0, ∴ab>0,b-a<0,c(b-a)>0, ∴->0,∴>. 方法二　∵a>b>0, ∴>>0, ∵c<0,∴<即>. 四、利用不等式性质求代数式范围 例4　已知-1<x<4,2<y<3. (1)求x-y的取值范围； (2)求3x+2y的取值范围. 解　(1)因为-1<x<4,2<y<3, 所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2. (2)由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12, 4<2y<6,所以1<3x+2y<18. 延伸探究4　若将本例条件改为-1<x+y<4,2<x-y<3,求3x+2y的取值范围. 解　设3x+2y=m(x+y)+n(x-y), 则所以 即3x+2y=(x+y)+(x-y), 因为-1<x+y<4,2<x-y<3, 所以-<(x+y)<10,1<(x-y)< 所以-<(x+y)+(x-y)< 即-<3x+2y< 所以3x+2y的取值范围为. 反思感悟　利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围. (2)同向不等式的两边可以相加,这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围. 跟踪训练4　已知-2≤x≤-1,2≤y≤3,求x-y的取值范围. 解　因为2≤y≤3,所以-3≤-y≤-2, 所以-5≤x-y≤-3； 因为-2≤x≤-1,2≤y≤3, 所以1≤-x≤2≤≤ 所以≤≤1,即-1≤≤-. 1.知识清单： (1)作差法比较大小. (2)不等式的性质. (3)利用不等式性质证明不等式. (4)利用不等式性质求代数式的范围. 2.方法归纳：作差法(作商法)、特殊值法. 3.常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共40分；多选题每小题6分,共12分 1.设M=x2+6x,N=5x-1,则M与N的大小关系是(　　) A.M>N B.M=N C.M<N D.与x有关 答案　A 解析　因为M-N=x2+x+1=+>0,所以M>N. 2.与a>b等价的不等式是(　　) A.|a|>|b| B.a2>b2 C.>1 D.a3>b3 答案　D 解析　可利用赋值法.令a=1,b=-2, 满足a>b,但|a|<|b|,a2<b2=-<1, 故A,B,C都不正确. 3.已知a>b,则“c≥0”是“ac>bc”的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　当时,ac>bc不成立,所以充分性不成立；当时,c>0成立,c≥0也成立,所以必要性成立.所以“c≥0”是“ac>bc”的必要且不充分条件. 4.已知0<a1<1,0<a2<1,记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是(　　) A.M<N B.M>N C.M=N D.M≥N 答案　B 解析　∵0<a1<1,0<a2<1, ∴-1<a1-1<0,-1<a2-1<0, ∴M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1)>0, ∴M>N. 5.若1<a<3,-4<b<2,那么a-|b|的取值范围是(　　) A.-3<a-|b|≤3 B.-3<a-|b|<5 C.-3<a-|b|<3 D.1<a-|b|<4 答案　C 解析　∵-4<b<2,∴0≤|b|<4, ∴-4<-|b|≤0. 又∵1<a<3,∴-3<a-|b|<3. 6.(多选)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的是(　　) A.c2<cd B.a-c<b-d C.ac>bd D.->0 答案　AD 解析　因为a>b>0>c>d, 所以a>b>0,0>c>d, 对于A,因为0>c>d,由不等式的性质可得c2<cd,故A正确； 对于B,取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则a-c=3,b-d=3,所以a-c=b-d,故B错误； 对于C,取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则ac=-2,bd=-2,所以ac=bd,故C错误； 对于D,因为ad<0,bc<0,又a>b>0,d<c<0,则ad<bc,所以>故->0,故D正确. 7.(5分)若-2<m<n<2,则m+n的取值范围是　　　　；m-n的取值范围是　　　　.  答案　(-4,4)　(-4,0) 解析　∵-2<m<n<2, ∴-2<m<2,-2<n<2, ∴-4<m+n<4. ∵-2<m<n<2, ∴-2<m<2,-2<-n<2,m-n<0, ∴-4<m-n<0. 8.(5分)若A=+3与B=+2,则A　　　　B.(填“>”“<”“≥”“≤”或“=”)  答案　> 解析　A-B=+3- =+≥>0, 所以A>B. 9.(10分)利用不等式的性质证明下列不等式： (1)若a<b,c<0,则(a-b)c>0；(4分) (2)若a<0,-1<b<0,则a<ab2<ab.(6分) 证明　(1)∵a<b,∴a-b<0, 又c<0,∴(a-b)c>0. (2)∵-1<b<0,∴0<b2<1, ∴1>b2>0>b>-1, 又a<0,∴a<ab2<ab. 10.(11分)已知a≠1且a∈R,试比较与1+a的大小. 解　因为-(1+a)= ①当a=0时=0,所以=1+a. ②当a<1,且a≠0时>0,所以>1+a. ③当a>1时<0,所以<1+a. 11.已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式中一定成立的是(　　) A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y| 答案　C 解析　因为x>y>z,x+y+z=0, 所以3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0, 所以x>0,z<0.由可得xy>xz. 12.有外表相同、重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,已知a+b=c+d,a+d>b+c,a+c<b,则这四个小球由重到轻的排列顺序是(　　) A.d>b>a>c B.b>c>d>a C.d>b>c>a D.c>a>d>b 答案　A 解析　∵a+b=c+d,a+d>b+c, ∴a+d+(a+b)>b+c+(c+d),即a>c. ∴b<d.又a+c<b,∴a<b. 综上可得,d>b>a>c. 13.(多选)已知-5≤a-b≤4,2≤2a+b≤8,则(　　) A.-1≤a≤4 B.0≤b≤4 C.-28≤2a-5b≤14 D.ab的最大值为24 答案　AC 解析　由题意可得-3≤3a≤12,即-1≤a≤4,故A正确； 由-5≤a-b≤4,可得-8≤2b-2a≤10,又2≤2a+b≤8,则-6≤3b≤18,即-2≤b≤6,故B错误； 设2a-5b=x(a-b)+y(2a+b),则解得 因为-20≤4(a-b)≤16,-8≤-(2a+b)≤-2,所以-28≤2a-5b≤14,故C正确； 由-1≤a≤4,以及-2≤b≤6,若ab的最大值为24,则a=4,b=6,此时2a+b=14>8,故D错误. 14.(5分)给出下列三个论断：①a>b>c；②ab>bc；③b>0且c<0.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题：　　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　若a>b>c,b>0且c<0,则ab>bc 解析　若选择①③作为条件,②作为结论：若a>b>c,b>0且c<0,则ab>bc；若选择①②作为条件,③作为结论：若a>b>c,ab>bc,则(a-c)b>0,故b>0,但c也可能大于0,不正确；若选择②③作为条件,①作为结论：若ab>bc,b>0且c<0,则(a-c)b>0,故a>c,但a与b大小关系不确定,不正确. 15.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中的一个重要参数,其值通常在(0,1)之间,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新手机,则升级后“屏占比”的变化是(　　) A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小 C.“屏占比”变大 D.变化不确定 答案　C 解析　设升级前的“屏占比”为 升级后的“屏占比”为(a>b>0,m>0). ∵-=>0, ∴手机的“屏占比”和升级前相比变大. 16.(12分)已知a,b,c为△ABC的三边长. (1)当a2+b2+c2=ab+ac+bc时,试判断△ABC的形状,并证明你的结论；(5分) (2)判断代数式a2-b2+c2-2ac值的符号.(7分) 解　(1)△ABC为等边三角形,证明如下： 因为a2+b2+c2=ab+ac+bc, 所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc, 即a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0, 即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0, 所以a=b,b=c,a=c,即a=b=c, 所以△ABC为等边三角形. (2)由a2-b2+c2-2ac=(a-c)2-b2 =(a-c+b)(a-c-b)=[(a+b)-c][a-(b+c)], 因为在△ABC中,a+b>c,b+c>a, 所以[(a+b)-c][a-(b+c)]<0, 所以a2-b2+c2-2ac<0, 即代数式a2-b2+c2-2ac值的符号为负. 学科网（北京）股份有限公司 $