第2章 周末练4 章末检测试卷二(第2章 常用逻辑用语)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦逻辑用语与集合综合应用，通过分层题型系统覆盖全称/存在量词命题、充分必要条件等核心概念，强化数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|5题|量词命题判断、命题否定|从命题定义到否定规则，构建概念认知链| |逻辑关系|6题|充分必要条件辨析|结合集合关系深化条件推理，形成逻辑判断框架| |综合应用|5题|集合与命题交汇|以方程、不等式为载体，实现概念到应用的迁移|

周末练4　章末检测试卷二(第2章) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分) 1.下列命题中,为全称量词命题的是(　　) A.存在一个平行四边形是矩形 B.任何一个平行四边形是矩形 C.有些平行四边形是矩形 D.有一个平行四边形是矩形 答案　B 解析　A,C,D都是含有存在量词的存在量词命题,B是含有全称量词的全称量词命题. 2.下列命题中,是真命题的是(　　) A.关于x的方程mx2-2x+3=0是一元二次方程 B.空集是任意集合的真子集 C.如果x>3,那么x≥0 D.两个实数的和是有理数,那么这两个数都是有理数 答案　C 解析　当m=0时,不是一元二次方程,A是假命题；空集是任何非空集合的真子集,B是假命题；由x>3显然能推出x≥0,C是真命题；2+与2-的和是有理数4,但是2+和2-都不是有理数,D是假命题. 3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的(　　) A.充要条件 B.充分且不必要条件 C.必要且不充分条件 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　∵a=3⇒A⊆B,而A⊆Ba=3, ∴“a=3”是“A⊆B”的充分且不必要条件. 4.已知命题p：∃x>0,使x2+2x+1=0成立,则p的否定是(　　) A.∃x≤0,使x2+2x+1=0不成立 B.∀x≤0,使x2+2x+1=0不成立 C.∀x>0,使x2+2x+1=0不成立 D.∃x>0,使x2+2x+1=0不成立 答案　C 解析　“∃”改为“∀”,“成立”改为“不成立”. 5.对于实数x,“x≠1”是“|x-2|≠1”的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　“|x-2|≠1”等价于“x≠1且x≠3”,当x≠1时无法保证x≠3,但当x≠1且x≠3时必然有x≠1,故“x≠1”是“|x-2|≠1”的必要且不充分条件. 6.下列各题中,p是q的充要条件的是(　　) A.p：xy>0,q：x>0,y>0 B.p：x=1,q：x2=1 C.p：四边形是正方形,q：四边形的对角线互相垂直且平分 D.p：两个三角形全等,q：两个三角形的三边对应相等 答案　D 解析　xy>0⇔x<0,y<0或x>0,y>0,A错；x2=1⇔x=±1,B错；若四边形是正方形,可得四边形的对角线互相垂直且平分；反之,若四边形的对角线互相垂直且平分,但四边形不一定是正方形,C错；两个三角形全等⇔两个三角形的三边对应相等,所以p是q的充要条件,D正确. 7.命题p：ax2+2x+1=0有实数根,若p的否定是假命题,则实数a的取值范围为(　　) A.{a|a<1} B.{a|a≤1} C.{a|a>1} D.{a|a≥1} 答案　B 解析　因为p的否定是假命题,所以p为真命题, 即方程ax2+2x+1=0有实数根. 当a=0时,方程为2x+1=0,x=-满足题意；当a≠0时,若方程ax2+2x+1=0有实数根,则Δ=4-4a≥0,即a≤1且a≠0.综上知a≤1. 8.已知集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4,m∈R},如果命题“∃m∈R,A∩B≠∅”为假命题,则实数a的取值范围为(　　) A.{a|a<3} B.{a|0≤a<3} C.{a|0<a≤3} D.{a|0<a<3} 答案　A 解析　因为命题“∃m∈R,A∩B≠∅”为假命题, 所以命题“∀m∈R,A∩B=∅”为真命题. 因为集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4}≠∅, 所以当A={x|0≤x≤a}=∅,即a<0时,A∩B=∅成立； 当A={x|0≤x≤a}≠∅时, 由“∀m∈R,A∩B=∅”得又m2+3≥3,解得0≤a<3, 综上所述,实数a的取值范围为{a|a<3}. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列四个命题的否定为真命题的是(　　) A.所有四边形的内角和都是360° B.∃x∈R,x2+2x+2≤0 C.∃x∈{x|x是无理数},x2是无理数 D.对所有实数a,都有|a|>0 答案　BD 解析　A项,该命题的否定：有的四边形的内角和不是360°,是假命题； B项,该命题的否定：∀x∈R,x2+2x+2>0,真命题,因为∀x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0恒成立. C项,该命题的否定：∀x∈{x|x是无理数},x2不是无理数,假命题； D项,该命题的否定：存在实数a,有|a|≤0,真命题. 10.若p：x2+x-6=0是q：ax+1=0的必要且不充分条件,则实数a的值为(　　) A.2 B.- C. D.3 答案　BC 解析　由x2+x-6=0,可得x=2或x=-3. 对于ax+1=0,当a=0时,方程无解； 当a≠0时,x=-. 由题意知pq,q⇒p,则可得a≠0, 此时-=2或-=-3, 解得a=-或a=. 综上可得,a=-或a=. 11.用C(A)表示非空集合A中元素的个数,定义A*B=已知集合A={x|x2+x=0},B={x∈R|(x2+ax)(x2+ax+1)=0},则下面结论正确的是(　　) A.∃a∈R,C(B)=3 B.∀a∈R,C(B)≥2 C.“a=0”是“A*B=1”的充分且不必要条件 D.若S={a∈R|A*B=1},则C(S)=4 答案　AC 解析　对于A,当a=2时,B={0,-2,-1},此时C(B)=3,A正确； 对于B,当a=0时,B={0},此时C(B)=1,B错误； 对于C,当a=0时,B={0},则C(B)=1,而A={0,-1},C(A)=2,因此A*B=1； 当A*B=1时,而C(A)=2,则C(B)=1或3,若C(B)=1,满足解得a=0； 若C(B)=3,则方程x2+ax=0的两个根x1=0,x2=-a都不是方程x2+ax+1=0的根, 所以解得a=±2,因此“a=0”是“A*B=1”的充分且不必要条件,C正确； 对于D,由A*B=1,而C(A)=2,得C(B)=1或3,由C选项知a=0或a=±2, 因此S={0,2,-2},C(S)=3,D错误. 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.“∀x>0,x+1>”的否定是　　　　　　　,此否定是　　　　命题.(第二空填“真”或“假”)  答案　∃x>0,使x+1≤　假 解析　命题的否定：∃x>0,使x+1≤.易知此否定为假命题. 13.能够说明“若ab>4,则a>2,b>2”是假命题的一组有序数对(a,b)是　　　　　　.  答案　(1,5)(答案不唯一) 解析　只要满足ab>4,且a,b不同时大于2即可,如当a=1,b=5时,满足ab>4,而a>2,b>2不成立. 14.若存在实数m,使得命题“对任意的x∈R,都有m2<x2+x+1”是真命题,则m的取值范围为　　　　.  答案　 解析　由于x2+x+1=+≥ 由题意得m2<即-<m<. 四、解答题(本题共5小题,共77分) 15.(13分)下列所给的p,q中,判断p是q的什么条件,并说明理由. (1)p：|x|=|y|,q：x=y；(4分) (2)p：四边形是矩形,q：四边形的对角线互相平分；(4分) (3)p：△ABC是等腰三角形,q：△ABC是直角三角形.(5分) 解　(1)∵|x|=|y|x=y,但x=y⇒|x|=|y|, ∴p是q的必要且不充分条件. (2)∵四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分, 四边形的对角线互相平分四边形是矩形, ∴p是q的充分且不必要条件. (3)∵△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形, △ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形, ∴p是q既不充分又不必要条件. 16.(15分)判断下列命题的真假,并写出它们的否定. (1)∃x,y∈Z,3x-4y=20；(5分) (2)在实数范围内,有些一元二次方程无解；(5分) (3)正数的绝对值是它本身.(5分) 解　(1)真命题.命题的否定： ∀x,y∈Z,3x-4y≠20. (2)真命题.命题的否定：在实数范围内,所有的一元二次方程都有解. (3)省略了量词“所有的”,该命题是全称量词命题,且为真命题.命题的否定：有的正数的绝对值不是它本身. 17.(15分)已知p：∃x∈R,使mx2-4x+2=0为假命题. (1)求实数m的取值集合B；(7分) (2)设A={x|3a<x<a+2}为非空集合.若x∈A是x∈B成立的充分且不必要条件,求实数a的取值范围.(8分) 解　(1)p等价于mx2-4x+2=0无实根, 当m=0时,x=有实根,不符合题意； 当m≠0时,由已知得Δ=16-4×2m<0, 解得m>2.∴B={m|m>2}. (2)∵A={x|3a<x<a+2}为非空集合, ∴a+2>3a,解得a<1, 若x∈A是x∈B成立的充分且不必要条件, 则AB. ∴3a≥2,则≤a<1, 故a的取值范围为. 18.(17分)设集合A={x|-1≤x≤2},集合B={x|2m<x<1}. (1)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件,求实数m的取值范围；(8分) (2)若B∩(∁RA)中只有一个整数,求实数m的取值范围.(9分) 解　(1)由题意得B⊆A, ∵A={x|-1≤x≤2}, ∴当B=∅时,2m≥1,解得m≥ 当B≠∅时 解得-≤m< 综上所述,实数m的取值范围是. (2)∵A={x|-1≤x≤2}, ∴∁RA={x|x<-1,或x>2}, ①当m<时,B={x|2m<x<1}, 若(∁RA)∩B中只有一个整数, 则-3≤2m<-2, 得-≤m<-1； ②当m≥时,B=∅,不符合题意, 综上,实数m的取值范围是. 19.(17分)已知m∈Z,关于x的一元二次方程①mx2-4x+4=0和②x2-4mx+4m2-4m-5=0.求方程①和②的根都是整数的充要条件. 解　由方程①②都是一元二次方程可得m≠0. 方程①有实数根的充要条件是 解得m≤1,且m≠0. 方程②有实数根的充要条件是 解得m≥-且m≠0. 所以-≤m<0或0<m≤1, 又m∈Z,所以m=-1或m=1. 当m=-1时,方程①为x2+4x-4=0,无整数根； 当m=1时,方程①为x2-4x+4=0, 方程②为x2-4x-5=0,均有整数根. 从而,方程①和②的根都是整数⇒m=1； 反之,m=1⇒方程①和②的根都是整数.故方程①和②的根都是整数的充要条件为m=1. 学科网（北京）股份有限公司 $