第2章 周末练3 范围：§2.1～§2.3（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 高中数学周测专项训练，聚焦常用逻辑用语（量词命题、充分必要条件），以题构建从概念辨析到综合应用的逻辑链条，培养逻辑推理与数学表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |量词命题|3题（1,3,7）|判断全称/存在量词命题及否定|从命题结构辨析到否定规则应用| |充分必要条件|8题（2,4,5,6,9,10,12,13(1)）|条件关系判断、充要条件探求|结合集合、方程，从定义到参数范围推导| |综合应用|3题（11,13(2),14）|存在性命题真假、集合与条件综合|逻辑推理与数学语言表达的综合运用|

周末练3　范围：§2.1～§2.3 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分,共30分) 1.下列命题中,不是全称量词命题的是(　　) A.自然数都是正数 B.每个四边形的内角和都是360° C.至少有一个整数x,使得x2+3x是质数 D.所有实数的平方大于0 答案　C 解析　对于A,B,D,均为全称量词命题,对于C,“至少有一个”是存在量词,故C是存在量词命题. 2.已知p：x为有理数,q：x为实数,则p是q的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　A 解析　若x为有理数,则它必为实数,即p⇒q,但x为实数不一定能推出x为有理数,如x=π,即qp,故p是q的充分且不必要条件. 3.已知命题p：“高一某班男生都爱踢足球”,则命题¬p为(　　) A.高一某班至多有一个男生爱踢足球 B.高一某班至少有一个男生不爱踢足球 C.高一某班所有的男生都不爱踢足球 D.高一某班所有的女生都爱踢足球 答案　B 解析　命题p：“高一某班男生都爱踢足球”是一个全称量词命题,它的否定是一个存在量词命题,即命题¬p为“高一某班至少有一个男生不爱踢足球”. 4.点P(x,y)是第二象限的点的充要条件是(　　) A.x<0,y<0 B.x<0,y>0 C.x>0,y>0 D.x>0,y<0 答案　B 解析　因为第二象限的点的横坐标小于0,纵坐标大于0, 所以点P(x,y)是第二象限的点的充要条件是x<0,y>0. 5.已知下列所给的各组p,q中,p是q的必要且不充分条件的为(　　) A.p：a<0,q：|a|>0 B.p：两个三角形全等,q：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等 C.p：a=b,q：a2=b2 D.p：两直角三角形的斜边相等,q：两直角三角形全等 答案　D 解析　|a|>0,解得a>0或a<0,所以a<0⇒|a|>0,但|a|>0a<0,故p为q的充分且不必要条件,故A错误； 根据全等三角形的性质及判定可知,p⇔q,故p是q的充要条件,故B错误； 由a2=b2可得a=b或a=-b,p⇒q,qp,则p为q的充分且不必要条件,故C错误； 两直角三角形全等,则两直角三角形的斜边相等,但两直角三角形的斜边相等,两直角三角形不一定全等,例如Rt△ABC中,∠B=90°,AB=1,BC=斜边AC=2Rt△DEF中,∠E=90°,DE=EF=2,斜边DF=2故p为q的必要且不充分条件,故D正确. 6.已知p：x<-3或x>1,q：x>a,则a取下面哪些范围,可以使q是p的充分且不必要条件(　　) A.a≥3 B.a≤1 C.a≤-3 D.a<1 答案　A 解析　设集合A={x|x<-3或x>1},集合B={x|x>a}, 因为q是p的充分且不必要条件, 所以BA,则a≥1, 所以A符合要求,B,C,D不符合要求. 二、多项选择题(每小题6分,共18分) 7.下列命题是存在量词命题的是(　　) A.能被5整除的整数都是偶数 B.有的偶数是质数 C.梯形的对角线相等 D.某些平行四边形不是菱形 答案　BD 解析　A,C是全称量词命题,B,D是存在量词命题. 8.下列命题中,是真命题的是(　　) A.∀x∈R,2x2-3x+4>0 B.∃x∈Z,5x+1=0 C.至少有一个实数x,使x2≤0 D.∀x∈R,x2≥0 答案　ACD 解析　对于A,因为Δ=9-32=-23<0,所以该命题是真命题； 对于B,由5x+1=0,解得x=-∉Z,所以该命题是假命题； 对于C,当x=0时,x2=0≤0成立,所以该命题是真命题； 对于D,该命题是真命题. 9.下列各结论中正确的是(　　) A.“xy>0”是“>0”的充要条件 B.设a,b,c∈R,则“b2-4ac<0”是“函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方”的充分且不必要条件 C.设a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的必要且不充分条件 D.“函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)”是“a+b+c=0”的充要条件 答案　AD 解析　由xy>0得x>0,y>0或x<0,y<0,故>0,反之,由>0得x>0,y>0或x<0,y<0,故xy>0,所以“xy>0”是“>0”的充要条件,故A正确； 当b2-4ac<0且a>0时,函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方；当函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方时,则必有b2-4ac<0,故“b2-4ac<0”是“函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方”的必要且不充分条件,故B错误； 当a=2时,(a-1)(a-2)=0成立,反之,当(a-1)·(a-2)=0时,a=1或a=2,即a=2不一定成立,故“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分且不必要条件,故C错误； 若函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0),则a+b+c=0,反之也成立.故“函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)”是“a+b+c=0”的充要条件,故D正确. 三、填空题(每小题5分,共15分) 10.写出“a+b<0”的一个充分且不必要条件　　　　　　　　.  答案　a+b<-1(答案不唯一) 解析　设“a+b<0”的一个充分且不必要条件为a+b<m, 由题意可得m<0, 所以“a+b<0”的一个充分且不必要条件为a+b<-1.(答案不唯一) 11.若命题“∃x∈R,x2-6x+2m=0”为假命题,则实数m的取值范围是　　　　　　.  答案　m> 解析　由题意可得“∀x∈R,x2-6x+2m≠0”为真命题, 即方程x2-6x+2m=0无实数根, 所以Δ=36-8m<0,解得m> 即实数m的取值范围是m>. 12.方程3x2+10x+k=0有两个不相等的负实数根的充要条件是　　　　　　　　.  答案　0<k< 解析　因为方程3x2+10x+k=0有两个不相等的负实数根,设为x1,x2, 且x1+x2=-<0, 所以即 解得0<k< 所以方程3x2+10x+k=0有两个不相等的负实数根的充要条件是0<k<. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知P={x|1≤x≤4},S={x|1-m≤x≤1+m}. (1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件？若存在,求出m的取值范围；若不存在,请说明理由；(6分) (2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件？若存在,求出m的取值范围；若不存在,请说明理由.(7分) 解　(1)由题意可得P=S, 即此方程组无解. 所以不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. (2)由题意可得S⊆P, 当S=∅时,1-m>1+m,解得m<0,符合题意； 当S≠∅时,1-m≤1+m,解得m≥0, 若S⊆P,则解得m≤0, 所以m=0. 综上可得,当m≤0时,x∈P是x∈S的必要条件. 14.(14分)已知“∃x∈{x|-2<x<2},使x2-2x-m=0”是真命题. (1)求实数m的取值范围M；(7分) (2)设集合N={x|a<x<a+1},若“x∈N”是“x∈M”的充分条件,求a的取值范围.(7分) 解　(1)若“∃x∈{x|-2<x<2},使x2-2x-m=0”是真命题, 则m=x2-2x=(x-1)2-1, 由-2<x<2,则-1≤m<8, 所以M={m|-1≤m<8}. (2)若“x∈N”是“x∈M”的充分条件,则N是M的子集, 所以解得-1≤a≤7,经检验a=-1,a=7符合题意, 所以a的取值范围是{a|-1≤a≤7}. 学科网（北京）股份有限公司 $