专题01 第2章 常用逻辑用语（思维导图+知识清单+三大易错点总结）（举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 以思维导图、知识清单、易错点总结构建逻辑用语专项体系，融合定义法、集合法等判定方法，形成概念-方法-应用的完整链条，培养逻辑推理与数学表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |命题及关系|知识点+典例+跟踪训练|命题分类与形式、定理定义辨析|从命题定义到形式结构，构建逻辑基础| |充分必要条件|知识点+典例+跟踪训练|定义法/集合法判定、参数问题转化|以命题真假为基础，通过集合关系深化条件判断| |量词命题|知识点+典例+跟踪训练|量词命题否定步骤（改量词、否结论）|从量词概念到命题否定，形成完整逻辑表达| |三大易错点|3典例+12跟踪训练|端点值检验、否定规则、真假转化|针对高频易错点，强化逻辑思维严谨性|

专题01 第2章 常用逻辑用语（思维导图+知识清单+三大易错点总结） 【苏教版】 2.1 命题、定理、定义 【知识点1 命题及相关概念】 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【知识点2 定理、定义】 1．定理 定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. 2．定义 定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 2.2 充分条件、必要条件、充要条件 【知识点1 充分条件与必要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 【知识点2 充要条件】 1．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 【知识点3 充分、必要与充要条件的类型及判定】 1．充分条件与必要条件的四种类型 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果且，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且，则称p是q的充分不必要条件. (4)如果且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. 2．集合角度中的条件判断 设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)若A=B，则p是q的充要条件. 3．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 4．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 2.3 全称量词命题与存在量词命题 【知识点1 全称量词与存在量词】 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 【知识点2 全称量词命题与存在量词命题的真假判断】 1．全称量词命题的真假判断 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. 2．存在量词命题的真假判断 要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义. 【知识点3 全称量词命题与存在量词命题的否定】 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【知识点4 命题的否定与原命题的真假】 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【注】命题p与p的否定的真假性相反. 【易错点1 忽略充分、必要条件中端点值的取舍】 易错点分析：在充分、必要条件的求参问题中，解题时需注意：①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；②要注意区间端点值的检验. 【注】：设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件. 【典例1】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知集合，，若：，：，是的必要不充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.2】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.3】（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，． (1)若p是q是充分不必要条件，求a的取值范围； (2)若是p的必要不充分条件，求a的取值范围． 【跟踪训练1.4】（25-26高一上·重庆铜梁·阶段检测）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 【易错点2 命题的否定出错】 易错点分析：没有掌握对全称量词命题、存在量词命题否定的步骤，对命题进行否定需要两个关键步骤：①改变量词；②否定结论；这二者缺一不可，不然会导致错误. 【注】：含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【典例2】（25-26高一上·山东滨州·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练2.1】（25-26高一上·河南商丘·期末）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.2】（25-26高一上·河北雄安·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.3】（25-26高一上·甘肃白银·期中）写出下列命题的否定，并判断真假. (1)正方形都是菱形； (2)； (3)； (4)所有能被2整除的数都是偶数. 【跟踪训练2.4】（24-25高一上·云南文山·阶段检测）写出下列命题的否定，并判断该命题否定的真假： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)非负数的平方是正数； (3)有的四边形没有外接圆； (4)，，使得． 【易错点3 混淆命题的否定与原命题的真假】 易错点分析：没有弄清命题的否定与原命题的真假关系，在处理根据命题否定的真假求参数问题时，不能正确将条件转化，导致结果错误. 【注】：当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【典例3】（25-26高一上·山东·期中）已知，，或 (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【跟踪训练3.1】（25-26高一上·安徽淮北·期中）已知命题“，使得”． (1)写出命题p的否定形式； (2)若命题是一个假命题，求实数a的取值范围． 【跟踪训练3.2】（25-26高一上·江西九江·阶段检测）已知关于的方程无实数根，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【跟踪训练3.3】（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知命题，，命题，. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【跟踪训练3.4】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知：关于的方程有实根，：关于的方程的解在内. (1)若是真命题，求的取值范围； (2)若和中恰有一个是真命题，求的取值范围. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 第2章 常用逻辑用语（思维导图+知识清单+三大易错点总结） 【苏教版】 2.1 命题、定理、定义 【知识点1 命题及相关概念】 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【知识点2 定理、定义】 1．定理 定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. 2．定义 定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 2.2 充分条件、必要条件、充要条件 【知识点1 充分条件与必要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 【知识点2 充要条件】 1．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 【知识点3 充分、必要与充要条件的类型及判定】 1．充分条件与必要条件的四种类型 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果且，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且，则称p是q的充分不必要条件. (4)如果且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. 2．集合角度中的条件判断 设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)若A=B，则p是q的充要条件. 3．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 4．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 2.3 全称量词命题与存在量词命题 【知识点1 全称量词与存在量词】 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 【知识点2 全称量词命题与存在量词命题的真假判断】 1．全称量词命题的真假判断 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. 2．存在量词命题的真假判断 要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义. 【知识点3 全称量词命题与存在量词命题的否定】 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【知识点4 命题的否定与原命题的真假】 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【注】命题p与p的否定的真假性相反. 【易错点1 忽略充分、必要条件中端点值的取舍】 易错点分析：在充分、必要条件的求参问题中，解题时需注意：①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；②要注意区间端点值的检验. 【注】：设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件. 【典例1】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【解答过程】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知集合，，若：，：，是的必要不充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据充分必要条件的定义，结合集合的包含关系可得． 【解答过程】是的必要不充分条件，则是的真子集， 当，即时，符合题意； 当，即时，，则且两个等号不能同时取得，解得，所以， 综上，， 故选：C． 【跟踪训练1.2】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】转化为是的真子集．再分当和时，进行讨论求解． 【解答过程】若是的必要不充分条件，则是的真子集． 当时，，所以； 当时，，又（等号不能同时取得），所以． 综上，． 故选：A. 【跟踪训练1.3】（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，． (1)若p是q是充分不必要条件，求a的取值范围； (2)若是p的必要不充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先解绝对值不等式得p，根据充分条件的定义转化集合关系计算参数即可； （2）先分类讨论计算，再利用必要条件的定义转化集合关系计算参数即可； 【解答过程】（1）由题意可知． 因为p是q的充分不必要条件，所以，解得， 即a的取值范围是． （2）当，即时，，满足题意； 当，即时，或． 因为是p的必要不充分条件，所以或， 解得或． 综上，a的取值范围是． 【跟踪训练1.4】（25-26高一上·重庆铜梁·阶段检测）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用集合包含关系得到两个不等式：左端点满足，右端点满足，再结合集合非空条件，联立解得的范围. （2）由得两个不等式：且，结合解得，然后检查在此范围内是否成立. 【解答过程】（1）由题意，是的充分条件，所以， 即且，且， 解得且，取交集得， 故实数的取值范围为. （2）若是的必要不充分条件，则且， 由得 结合，解得， 此时的右端点，所以，即成立， 因此存在实数，其取值范围为. 【易错点2 命题的否定出错】 易错点分析：没有掌握对全称量词命题、存在量词命题否定的步骤，对命题进行否定需要两个关键步骤：①改变量词；②否定结论；这二者缺一不可，不然会导致错误. 【注】：含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【典例2】（25-26高一上·山东滨州·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【解答过程】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定是：，. 故选：B. 【跟踪训练2.1】（25-26高一上·河南商丘·期末）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据存在量词命题否定的定义，改变量词，否定结论即可. 【解答过程】命题“”的否定是, 故选:C． 【跟踪训练2.2】（25-26高一上·河北雄安·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由全称量词命题否定的结构即可求解. 【解答过程】命题“”的否定为“”， 故选：D. 【跟踪训练2.3】（25-26高一上·甘肃白银·期中）写出下列命题的否定，并判断真假. (1)正方形都是菱形； (2)； (3)； (4)所有能被2整除的数都是偶数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【解题思路】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定，结合常识及特例判断即可. 【解答过程】（1）否定为：正方形不都是菱形. 正方形都是菱形，故为假命题； （2）否定为：. 当时，，故为假命题； （3）否定为：. 当时，，故为真命题. （4）否定为：存在能被2整除的数不是偶数. 能被2整除的数都是偶数，故为假命题. 【跟踪训练2.4】（24-25高一上·云南文山·阶段检测）写出下列命题的否定，并判断该命题否定的真假： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)非负数的平方是正数； (3)有的四边形没有外接圆； (4)，，使得． 【答案】(1)“存在一个平行四边形的对边不平行”，假命题 (2)“存在一个非负数的平方不是正数”，真命题 (3)“所有四边形都有外接圆”，假命题 (4)“，都有”，假命题 【解题思路】（1）写出原命题的否定，由平行四边形的性质可判断真假； （2）写出原命题的否定，通过取特殊值，即可判断真假； （3）写出原命题的否定，由原命题的真假可判断命题否定的真假； （4）写出原命题的否定，由原命题的真假可判断命题否定的真假. 【解答过程】（1）命题的否定为“存在一个平行四边形的对边不平行”， 由平行四边形的定义知该命题的否定是假命题． （2）命题的否定为“存在一个非负数的平方不是正数”， 因为，不是正数，所以该命题的否定是真命题． （3）命题的否定为“所有四边形都有外接圆”， 因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题． （4）命题的否定为“，都有”， 因为当时，，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题． 【易错点3 混淆命题的否定与原命题的真假】 易错点分析：没有弄清命题的否定与原命题的真假关系，在处理根据命题否定的真假求参数问题时，不能正确将条件转化，导致结果错误. 【注】：当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【典例3】（25-26高一上·山东·期中）已知，，或 (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据题意在上无解，结合对应二次函数的性质的列不等式求参数范围； （2）由充分不必要关系得是的真子集，列不等式求参数范围. 【解答过程】（1）由命题是真命题，则为假命题， 所以在上无解， 当时，则无解，满足题意， 当时，只需， 综上，； （2）由是的必要不充分条件，且为真命题时或， 所以是的真子集， 所以，得. 【跟踪训练3.1】（25-26高一上·安徽淮北·期中）已知命题“，使得”． (1)写出命题p的否定形式； (2)若命题是一个假命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，使得 (2) 【解题思路】（1）根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解； （2）根据题意，转化为即不等式在上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【解答过程】（1）由命题“，使得”， 可得命题的否定为：“，使得”， （2）因为命题是一个假命题， 则命题“，使得”为真命题， 即不等式在上恒成立， 当时，不等式恒成立，满足题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数a的取值范围为． 【跟踪训练3.2】（25-26高一上·江西九江·阶段检测）已知关于的方程无实数根，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意得关于的方程有实数根，进而求解即可； （2）先求出，，结合题设可得或}，进而根据包含关系求解即可. 【解答过程】（1）为真命题，为假命题， 即关于的方程有实数根， 则，解得， 故实数的取值范围是. （2）由（1）可知，若为真命题，则， ，或， 是的充分不必要条件，或}， ，，则实数的取值范围. 【跟踪训练3.3】（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知命题，，命题，. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）依题意命题为真命题，即在时恒成立，可求实数的取值范围； （2）由为真命题的条件求的范围，结合为真命题时的范围，可求实数的取值范围. 【解答过程】（1）命题为假命题，则命题为真命题，即在时恒成立， 所以，即实数的取值范围是. （2）命题，， 为真命题，则，解得， 又由（1）可知，命题为真命题时，， 所以命题和均为真命题，实数的取值范围为. 【跟踪训练3.4】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知：关于的方程有实根，：关于的方程的解在内. (1)若是真命题，求的取值范围； (2)若和中恰有一个是真命题，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）由命题是真命题求出的取值范围，根据其补集即可得出是真命题时的取值范围； （2）利用判别式求出为真时的范围，分真假，假真两种情况求解即可. 【解答过程】（1）由解得， 所以，解得， 因为命题是真命题，则命题是假命题， 所以或. 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，命题是真命题，即， 若为真命题，即关于的方程有实数根， 因此，解得， 则为假命题时，. 当真假时，则，解得； 当假真时，则，解得. 综上，和中恰有一个是真命题时，的取值范围为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $