第1章 章末复习课 集合（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学单元复习讲义通过知识网络框架图系统梳理集合知识体系，涵盖集合的含义及表示、集合间的关系、集合的运算、补集思想及其应用四大模块，明确确定性互异性无序性等特征，突出描述法、元素互异性检验、分类讨论等重难点，呈现知识内在逻辑联系。 讲义亮点在于例题与跟踪训练的分层设计，如多选辨析集合表示（例1（1））、含参数元素互异性检验（例1（2））等题型，结合反思感悟培养逻辑推理和数学运算素养。补集思想应用（例4）体现“正难则反”策略，基础题巩固方法，提升题深化思维，助力学生自主复习，为教师实施精准分层教学提供支持。

一、集合的含义及表示 1.集合的特征是确定性、互异性、无序性,其中互异性是我们必须进行检验的一方面,否则集合中的元素便有了重复,在列举法、描述法、Venn图法三种集合表示法中,描述法略有难度,解题时应注意分清代表元素是什么,有什么共同特征. 2.掌握集合的表示方法,重点提升逻辑推理素养. 例1　(1)(多选)给出下列说法,其中正确的是(　　) A.集合{x∈N*|x3=x}用列举法表示为{0,1} B.集合M=与N={1,2,3,6}相等 C.方程组的解组成的集合为 D.集合{y|y=x2}与{(x,y)|y=x2}不是同一个集合 答案　BD 解析　对于A,由x3=x,且x∈N*知,集合M只有一个元素1,故A错误；对于B,集合M是由6的正因数构成的集合,而6的正因数有1,2,3,6,故B正确；对于C,解集应为故C错误；对于D,集合{y|y=x2}表示y的取值的集合,集合{(x,y)|y=x2}表示y=x2上点的集合,所以两个集合不是同一个集合,故D正确. (2)设集合A中含有三个元素2x-5,x2-4x,12,若-3∈A,则x的值为　　　　.  答案　3 解析　∵-3∈A,∴-3=2x-5或-3=x2-4x. ①当-3=2x-5时,解得x=1,此时x2-4x=-3,不符合元素的互异性,故x≠1； ②当-3=x2-4x时,解得x=1或x=3, 由①知x≠1,且当x=3时满足元素的互异性. 综上可知,x=3. 反思感悟　集合中元素的互异性在解题中的应用 (1)借助集合中元素的互异性寻找解题的突破口. (2)利用集合中原始元素的互异性检验结论的正确性. 跟踪训练1　(1)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为(　　) A.9 B.8 C.5 D.4 答案　A 解析　将满足x2+y2≤3的整数x,y全部都列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个. (2)集合{x|x=2m-3,m∈N*,m<5}用列举法表示为　　　　　　　　.  答案　{-1,1,3,5} 解析　集合中的元素满足x=2m-3,m∈N*,m<5,则m可取值为1,2,3,4, 则满足条件的x值为-1,1,3,5. 则集合用列举法表示为{-1,1,3,5}. 二、集合间的关系 1.解答与集合有关的问题时,应首先认清集合中的元素是数集还是点集,再进行相关的运算.分清集合中的两种隶属关系,即元素与集合、集合与集合的关系. 2.掌握集合间的关系,重点提升逻辑推理素养,培养分类讨论的思想. 例2　设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠∅,B⊆A,求a,b的值. 解　由B⊆A知,B中的所有元素都属于集合A,又B≠∅,故集合B有三种情形： B={-1}或B={1}或B={-1,1}. 当B={-1}时 故a=-1,b=1； 当B={1}时 故a=b=1； 当B={-1,1}时 故a=0,b=-1. 综上所述,a=-1,b=1,或a=1,b=1,或a=0,b=-1. 反思感悟　求解集合间的基本关系问题的要点 (1)合理运用Venn图或数轴帮助分析和求解. (2)在解含参数的不等式(或方程)时,一般要对参数进行讨论,分类时要“不重不漏”,然后对每一类情况都要给出问题的解答. 跟踪训练2　已知集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|x=4k±1,k∈Z},则A与B的关系为　　　　.  答案　A=B 解析　A表示所有奇数组成的集合.当k∈Z时,4k+1表示被4除余1的数,4k-1表示被4除余3的数,故B表示被4除余1或3的数,即被2除时余数为1,∴B也表示所有奇数组成的集合,故A=B. 三、集合的运算 1.集合的运算有交、并、补这三种常见的运算,它是集合这一单元的核心内容之一.在进行集合的交集、并集、补集运算时,利用数轴(或Venn图)分析能将复杂问题直观化.在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意,以免增解或漏解. 2.掌握集合的运算方法,重点提升逻辑推理和数学运算素养,培养数形结合的思想. 例3　(1)(多选)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则(　　) A.A∩B= B.A∩(∁RB)= C.A∪B= D.(∁RA)∪B=R 答案　AB 解析　因为A={x|x<2},B={x|3-2x>0}=∁RA={x|x≥2},∁RB= 所以A∩B= A∩(∁RB)=A∪B={x|x<2}, (∁RA)∪B=. (2)已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x<2},且A∁RB,求a的取值范围. 解　∵∁RB={x|x≤1,或x≥2},且A∁RB. ∴分A=∅和A≠∅两种情况讨论. ①若A=∅,则有2a-2≥a,∴a≥2. ②若A≠∅,则有∴a≤1. 综上所述,a的取值范围是{a|a≤1,或a≥2}. 反思感悟　集合与不等式(组)结合的运算包含的类型及解决方法 (1)对于不含字母参数的直接将集合中的不等式(组)解出,利用数轴求解即可； (2)对于含有字母参数的,若字母参数的取值对不等式(组)的解有影响,要注意对字母参数分类讨论,再求解不等式(组),然后利用数轴求解. 跟踪训练3　设集合M={x|-2<x≤5},N={x|2-t≤x<3t+1}. (1)若t=2,求M∩(∁RN)； (2)若M∪(∁RN)=R,求实数t的取值范围. 解　(1)当t=2时,M={x|-2<x≤5}, N={x|0≤x<7}, ∴∁RN={x|x<0,或x≥7}, ∴M∩(∁RN)={x|-2<x<0}. (2)若M∪(∁RN)=R,则N⊆M, 当2-t≥3t+1,即t≤时,N=∅,成立； 当2-t<3t+1,即t>时, 令得<t≤. 故实数t的取值范围是. 四、补集思想及其应用 1.在讨论一些较为复杂的问题时,可以先求解问题的反面,采用“正难则反”的解题策略,这就是补集思想.具体的讲,就是将研究对象的全体视为全集,求出使问题反面成立的集合A,则A的补集即为所求. 2.掌握集合的补集,重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例4　设集合A={x|a≤x≤a+4},B={x|x<-1,或x>5},若A∩B≠∅,求实数a的取值范围. 解　当A∩B=∅时,如图所示, 则解得-1≤a≤1. 即A∩B=∅时, 实数a的取值范围为M={a|-1≤a≤1}. 而A∩B≠∅时,实数a的取值范围显然是集合M在R中的补集,故实数a的取值范围为{a|a<-1,或a>1}. 反思感悟　补集的性质A=∁U(∁UA)为我们提供了“正难则反”的解题思想——补集思想,有些数学问题,若直接从正面解决,要么解题思路不明朗,要么需要考虑的因素太多,因此,用补集思想考虑其对立面,从而化繁为简,化难为易,开拓新的解题思路. 跟踪训练4　已知集合A={x|2≤x<3},B={x|k-1≤x<2k-1},若A∩B≠A,求实数k的取值范围. 解　若A∩B=A,则A⊆B. 又A={x|2≤x<3},B={x|k-1≤x<2k-1}, 所以 解得2≤k≤3. 又k∈R,所以当A∩B≠A时, 实数k的取值范围为集合{k|2≤k≤3}在R中的补集,即k的取值范围为(-∞,2)∪(3,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $