第1章 集合（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

该高中数学集合复习讲义通过表格梳理元素与集合的关系、常用数集符号，结合Venn图呈现集合间的包含关系与交并补运算，系统构建“概念-关系-运算”的知识脉络，明确集合语言运用和运算性质为重点，集合新定义为难点。 讲义亮点在于分层题型设计，涵盖元素与集合关系判断、集合运算求参数等7类题型，典例结合变式，如通过集合新定义问题培养创新意识，帮助学生用数学语言表达集合关系，既适合基础薄弱学生巩固方法，也助力优秀学生提升逻辑推理能力，为教师精准教学提供支持。

第1章 集合单元复习讲义 教学目标 1．通过复习与小结，进一步了解集合的含义与表示，能选择自然语言、图形语言、集合语言描述具体问题，感受集合语言的意义与作用； 2．通过复习与小结，进一步理解集合间的关系，理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，并在具体的情境中了解全集与补集的含义； 3．通过复习与小结，进一步理解与掌握集合的基本运算． 教学重难点 1.重点 集合语言的理解运用与集合的运算． 2.难点 掌握集合交集、并集、补集的运算和性质以及集合新定义 知识点1 元素与集合 1． 集合的概念 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 ，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的 ，通常用小写字母a，b，c，…表示. 2． 集合与元素的关系 一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素a 集合A，记作 ，如果元素a在不集合中A中，就说元素a 集合A，记作 . 3．集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 ，含有无限个元素的集合叫作 ，不含任何元素的集合叫作 ，记作 . 4．元素与集合 、 、 . （2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作 ；如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 . （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （4）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 N*或（N＋） Q C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 知识点2 集合间的基本关系 1．集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合中所有元素都在集合中(即若，则) (或) 真子集 集合是集合的子集，且集合中至少有一个元素不在集合中 (或) 集合相等 集合A，中的元素相同或集合，互为子集 2.空集的性质 规定：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3.有限集的子集个数确定 如果集合中含有个元素，则有 （1）的子集的个数有个． （2）的非空子集的个数有个． （3）的真子集的个数有个． （4）的非空真子集的个数有个． 知识点3 集合间的基本运算 1.集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合 补集 由全集中不属于集合的所有元素组成的集合 2．交集的性质： ①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ；   ④A∩＝ ；⑤A∩B B∩A. 3．并集的性质： ①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪＝ ；⑤A∪B B∪A. 4．补集的性质： ①∁U(∁UA)＝ ； ②∁UU＝ ；③∁U＝ ； ④A∩(∁UA)＝ ；⑤A∪(∁UA)＝ ； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA) (∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA) (∁UB)． 5.容斥原理 在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 题型01 判断元素与集合的关系 【典例1】给出下列关系：①∈R ;②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】“设自然数集为”，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则. 下列结论中正确的是_____________. （1）；（2）；（3）若，则；（4），则 题型02 根据元素与集合关系求参数 【典例1】（多选）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 【变式1】已知集合，若，则______． 【变式2】设a是实数，集合，若，则__________. 【变式3】已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 题型03 集合相等及应用 【典例1】若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【变式1】已知集合，则______. 【变式2】已知集合，若，则实数的取值范围是______． 【变式3】已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 题型04 子集（真子集）个数问题 【典例1】集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 【典例2】若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式2】若集合恰有1个真子集，则的取值是（    ） A．-1 B． C． D．或 【变式3】已知集合恰有两个子集，则a的可能取值集合为______． 【变式4】若，则集合B的子集的个数为___________； 题型05 根据集合的包含关系求参数 【典例1】已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 【变式1】已知，若，求的值 【变式2】已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【变式3】设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 题型06 交并补的综合运算 【典例1】已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合是小于8的正整数｝，，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】设全集 ,集合 ,则 （    ） A． B． C． D． 题型07 根据集合运算结果求参数 【典例1】已知． (1)若，求实数的取值范围： (2)若，求实数的取值范围． 【变式1】已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【变式2】设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【变式3】设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【变式4】设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 4．已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 5．（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 6．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 7．若，，且，则实数取值的集合是____________. 8．已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 9．已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 1．已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 2．已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 3．学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有（   ）人 A．5 B．4 C．3 D．2 4．已知集合，.若则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 5．（多选）已知集合，，则有（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 7．（多选）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何?”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数可以为（   ） A．9 B．23 C．128 D．233 8．已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 9．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着许多有趣的数.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方的和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数中的自恋数组成集合，集合，则的非空子集个数为______. 10．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 11．由正数组成的集合具有如下性质:若且，则. (1)若且，试分别判断与是否在集合内并说明理由； (2)试问集合能否恰有两个元素且？若能，求出所有满足条件的集合，若不能，请说明理由. 12．如果正整数集的子集满足： ①； ②任意，存在，使得，则称为集． (1)分别判断与是否为集（直接写出结论）； (2)当时，对于集，设，求证：； (3)当时，若，求集中所有元素的和的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合单元复习讲义 教学目标 1．通过复习与小结，进一步了解集合的含义与表示，能选择自然语言、图形语言、集合语言描述具体问题，感受集合语言的意义与作用； 2．通过复习与小结，进一步理解集合间的关系，理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，并在具体的情境中了解全集与补集的含义； 3．通过复习与小结，进一步理解与掌握集合的基本运算． 教学重难点 1.重点 集合语言的理解运用与集合的运算． 2.难点 掌握集合交集、并集、补集的运算和性质以及集合新定义 知识点1 元素与集合 1． 集合的概念 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 集合 ，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的 元素 ，通常用小写字母a，b，c，…表示. 2． 集合与元素的关系 一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素a 属于 集合A，记作 ，如果元素a在不集合中A中，就说元素a 不属于 集合A，记作 . 3．集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 有限集 ，含有无限个元素的集合叫作 无限集 ，不含任何元素的集合叫作 空集 ，记作 . 4．元素与集合 （1）集合中元素的特性： 确定性 、 互异性 、 无序性 . （2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a 属于 集合A，记作 ；如果a不是集合A中的元素，就说a 不属于 集合A，记作 . （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （4）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 N N*或（N＋） Z Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 知识点2 集合间的基本关系 1．集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合中所有元素都在集合中(即若，则) (或) 真子集 集合是集合的子集，且集合中至少有一个元素不在集合中 (或) 集合相等 集合A，中的元素相同或集合，互为子集 2.空集的性质 规定：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3.有限集的子集个数确定 如果集合中含有个元素，则有 （1）的子集的个数有个． （2）的非空子集的个数有个． （3）的真子集的个数有个． （4）的非空真子集的个数有个． 知识点3 集合间的基本运算 1.集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合 补集 由全集中不属于集合的所有元素组成的集合 2．交集的性质： ①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ；   ④A∩＝ ；⑤A∩B = B∩A. 3．并集的性质： ①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪＝ ；⑤A∪B = B∪A. 4．补集的性质： ①∁U(∁UA)＝ ； ②∁UU＝ ；③∁U＝ ； ④A∩(∁UA)＝ ；⑤A∪(∁UA)＝ ； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA) (∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA) (∁UB)． 5.容斥原理 在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 题型01 判断元素与集合的关系 【典例1】给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】因为是实数，所以，①正确； 因为是整数，所以，②正确； 因为是正整数，所以，③错误； 因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B 【变式1】“设自然数集为”，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合，再逐个选项进行判断. 【详解】， 所以，A错误；，B错误；，C错误；，D正确； 故选：D 【变式2】已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 【变式3】已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则. 下列结论中正确的是_____________. （1）；（2）；（3）若，则；（4），则 【答案】（1）（3）（4） 【解析】（1）根据该集合的条件可得，，，即得； （2）由（1）可得； （3）根据条件可得，，即得证； （4）可得出当时，，则. 【详解】（1）由①，则由②，，，由③得，故（1）正确； （2）由（1）可知，故（2）错误； （3）由①知，，，，，即，故（3）正确； （4），则，由③可得，，即，，即，； 由（3）可知当，， 当，可得，，故（4）正确. 故答案为：（1）（3）（4）. 题型02 根据元素与集合关系求参数 【典例1】（多选）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得或或，求出对应的a值，结合集合的特征依次验证即可. 【详解】，集合， 得或或， 解得或或， 当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，，，满足题意； 当时，，，，满足题意. 故选：BD. 【变式1】已知集合，若，则______． 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性分别讨论集合中三个元素分别为1时的值，再计算即可； 【详解】因为， 若时，，不符合元素的互异性； 若，即或2时： 当时，集合，不符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性； 若，即或2时： 当时，由以上可知不符合题意； 当时，，符合； 所以，所以， 故答案为：. 【变式2】设a是实数，集合，若，则__________. 【答案】 【分析】根据已知讨论、、求出对应参数值，结合元素的互异性确定参数值. 【详解】由， 当，则，不满足元素的互异性， 当， 若，则，， 若，则，， 此时，满足. 当或， 若，则，不满足元素的互异性， 若，则，不满足元素的互异性， 综上，. 故答案为： 【变式3】已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意是方程的根，代入解方程即可. （2）当时，方程为有一个解符合题意，当时，利用判别式法列不等式求解范围，最后两种结果求并集即可得解. 【详解】（1）因为，所以，解得． （2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意； ②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且． 综上所述，实数的取值范围为． 题型03 集合相等及应用 【典例1】若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 【变式1】已知集合，则______. 【答案】2或4或1 【分析】根据，，，，，利用集合元素的互异性，分别求出与即可． 【详解】，，，，， ，，， 若或，则或． 当时，，2，，，， 即，解得或， 此时或， 当时，，，，1，， 即，解得，， 所以或4或1， 故答案为：2或4或1. 【变式2】已知集合，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】分，和两种情况讨论求解即可. 【详解】解：分以下两种情况讨论， 当且，时，不妨设两个方程的实数根为， 则，解得； 当时，，解得． 综上，实数的取值范围是． 故答案为： 【变式3】已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据集合相等的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】假设①，②错，③对， 因为， 所以有，此时； 假设①，③错，②对， 因为错，必有，而，不符合集合元素的互异性，假设不成立； 假设②，③错，①对， 因为错，所以， 因为错，所以对，而对，因此只能，不符合集合元素的互异性，假设不成立， 综上所述：， 故选：B 题型04 子集（真子集）个数问题 【典例1】集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 【答案】B 【详解】因为， 所以集合有5个元素，故的非空子集个数是． 【典例2】若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据集合的新定义及元素与集合的关系判断求解. 【详解】由且可得： 若，则， 所以“和谐集”不含元素； 若，不存在，所以“和谐集”不含元素； 若，则，要求也属于该集合，产生矛盾， 所以“和谐集”不含元素； 若，则， 若，则， 若，则； 所以集合的子集中“和谐集”只有. 故选：B． 【变式1】集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】先求集合，进而求解. 【详解】由题意得：，解得，又， 所以，所以，所以， 所以集合的真子集的个数为. 【变式2】若集合恰有1个真子集，则的取值是（    ） A．-1 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得集合有且只有一个元素，然后分与讨论，即可得到结果. 【详解】因为集合恰有1个真子集，则集合有且只有一个元素， 当时，即，则，符合题意； 当时，即，则关于的方程只有一个实数解， 则，解得； 综上所述，或. 故选：D 【变式3】已知集合恰有两个子集，则a的可能取值集合为______． 【答案】 【分析】根据题意方程只有一个解，进而分，两种情况讨论求解即可. 【详解】根据题意，方程只有一个解， 当时，方程为，则，解得或（舍去）； 当时，方程化为， 由，得，此时，满足题意. 综上所述，a的可能取值集合为． 故答案为：. 【变式4】若，则集合B的子集的个数为___________； 【答案】 【分析】先求出集合，再根据子集个数公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 则集合B的子集为，所以子集的个数为； 故答案为：. 题型05 根据集合的包含关系求参数 【典例1】已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据判别式求解出结果； （2）分类讨论和，列出不等式组求解出的取值范围. 【详解】（1）因为有实根， 所以，解得， 所以. （2）因为， 当时，满足，此时，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，的取值范围是或. 【变式1】已知，若，求的值 【答案】或或 【分析】求解方程，得.讨论和两种情况，即可求得的值. 【详解】由，得，解得或. 所以， 当时，，满足； 当时，, 因为，所以或， 所以或. 综上所述，或或. 【变式2】已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合间的关系，计算参数范围即可； （2）利用集合间的关系，分类讨论计算参数范围即可 【详解】（1）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值范围为． （2）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值范围为． 【变式3】设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据A是B的真子集，即可解出； （2）根据B是A的子集，即可解出. 【详解】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 题型06 交并补的综合运算 【典例1】已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，所以， 又，所以. 【变式1】已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得,又因， 则. 【变式2】已知集合是小于8的正整数｝，，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】借助补集与并集定义即可得. 【详解】，则. 【变式3】设全集 ,集合 ,则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】全集，. 解绝对值不等式，得，即. 又，故，所以. 所以得. 题型07 根据集合运算结果求参数 【典例1】已知． (1)若，求实数的取值范围： (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，再根据集合的包含关系求解； （2）由，分和进行分类讨论，即可求得结论. 【详解】（1）由，可得， 又， 则有，解得， 即实数的取值范围是； （2）当，即时，，满足； 当，即时，由， 可得或，解得或， 综上，实数的取值范围是． 【变式1】已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集、交集的定义求解即可； （2）分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，又， ，． （2）由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 【变式2】设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】（1）根据题意可得集合，结合集合间的运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，结合交集运算列式求解即可. 【详解】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 【变式3】设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得. 【详解】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 【变式4】设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；或. (2) 【分析】（1）首先解二次不等式求得集合，然后将代入确定集合，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可； （2）首先根据集合间运算的结果可得，然后分和两种情况分类讨论求解参数取值范围即可 【详解】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. （2）选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，所以 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助集合间基本关系判断即可得. 【详解】因为，所以． 3．已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【分析】根据集合相等的关系求解． 【详解】∵集合，，若， ∴，得. 4．已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，，， 所以，即，解得. 5．（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上，故选项AB正确. 6．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 【答案】 【分析】先根据韦恩图确定阴影部分表示的集合，进而根据集合的运算求解即可． 【详解】由韦恩图可知，如图所示的阴影部分表示的集合为， 又，， 则 ， 所以． 7．若，，且，则实数取值的集合是____________. 【答案】 【分析】根据并集的定义可得是集合中的元素，再结合集合元素的互异性排除，即可得到实数的取值集合. 【详解】因为，，且，则， 所以且由互异性知， 则有或或， 所以实数取值的集合是. 8．已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 【答案】(1)，， (2)，或 【分析】（1）解方程得集合，再求真子集； （2）因为，所以，分和进行求解. 【详解】（1）解方程得，或 因此集合， 其真子集为，，，共3个． （2）因为，所以， ①当时，，此时符合题意 ②当时，因为，此时易知 要使得，即或，解得，或． 综上所述，要使得，则，或. 9．已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求，再根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，解出即可求解. 【详解】（1）当时，，所以或， 所以或； （2）由有， 所以实数的取值范围为. 1．已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 2．已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【答案】C 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 3．学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有（   ）人 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据题意，画出集合表示的韦恩图，结合韦恩图，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为， 只参加球类的人数为，画出韦恩图，如图所示： 结合韦恩图，可得，解得， 所以同时参加田径比赛和球类比赛的有3人． 故选：C. 4．已知集合，.若则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】首先确定集合的补集，然后根据求出的范围. 【详解】因为集合， 所以. 因为集合，， 当不为空集时， 所以，解得. 当为空集时，，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A 5．（多选）已知集合，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式先求出的范围，然后结合元素与集合关系及集合的基本运算检验各选项即可判断． 【详解】解：由可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以B正确； 因为，不属于A错误； 因为中的元素与中元素分别为点集合数集，不同类，故，，C正确，D错误． 故选：BC． 6．（多选）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合是否为空集分类讨论，结合列不等式，求得的取值范围逐一判断即可. 【详解】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以，所以或， 解得或， 因为，所以 综上，的取值范围为或， 故选：BC 7．（多选）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何?”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数可以为（   ） A．9 B．23 C．128 D．233 【答案】BCD 【分析】直接将各选项的数字变形判断即可. 【详解】对于A：，则，所以，故A错误； 对于B：，满足的描述，所以，符合题意，故B正确； 对于C：，满足的描述，则，符合题意，故C正确； 对于D：，满足的描述，，符合题意，故D正确； 故选：BCD 8．已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 【答案】 【分析】用列举法列出集合、，再根据所给定义列出即可判断. 【详解】，，，，， ，，，，， ，，，，，，，，，， ， ，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， ，共个元素. 9．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着许多有趣的数.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方的和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数中的自恋数组成集合，集合，则的非空子集个数为______. 【答案】15 【分析】根据题中定义，结合集合交集的定义、非空子集个数公式进行求解即可. 【详解】依题意，，， 故，故的非空子集个数为. 故答案为：. 10．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，写出集合，利用并集的定义可得出集合； （2）由题意可得，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围； （3）分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 又因为，故. （2）因为，则，且，． 当时，则，解得，满足； 当时，由题意可得，无解， 综上所述，实数的取值范围是. （3）因为，且， 当时，则，解得，满足； 当时，由题意可得或，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 11．由正数组成的集合具有如下性质:若且，则. (1)若且，试分别判断与是否在集合内并说明理由； (2)试问集合能否恰有两个元素且？若能，求出所有满足条件的集合，若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2)能，所有满足条件的集合为： 【分析】（1）从已知元素和出发，利用集合性质逐步推导即可求解； （2）设，则由性质有，分和两种情况讨论，又由，进而求解. 【详解】（1）由题意有：，且，所以， 又，所以， 由，所以， 由，所以， 所以； （2）设，由性质有， 所以或， 当时，所以， 因为，若，则，即， 若时，解得，与矛盾，不满足题意， 当时，则，由， 若时，所以，即，解得（舍去负根）， 即； 若时，，即, 综上所述，集合能有两个元素且， 所有满足条件的集合为：. 12．如果正整数集的子集满足： ①； ②任意，存在，使得，则称为集． (1)分别判断与是否为集（直接写出结论）； (2)当时，对于集，设，求证：； (3)当时，若，求集中所有元素的和的最小值． 【答案】(1)不是集，是集. (2) 证明：因为是集，且. 因为是集合中最大的元素，且，所以，即. 又因为，所以，即. 同理，.相加可得， 即， 因为，所以，所以. (3)17 【分析】（1）根据集的定义可判断； （2）根据集的特征得出，求和整理可证； （3）根据推理出所有的集，求出最小值即可. 【详解】（1）不是集，是集. 因为A的元素3和5都不存在两个元素和与之相等，所以A不是集； 由于，符合集定义，所以B是集. （2）略 （3）因为，且是集，所以7可以表示为集合中其他两个元素的和. 由于，所以集合中至少有4个元素. 由，且7是最大元素，； 若集合中含有元素6，则必有3，若有3，则必有2，此时； 若集合中含有元素5，则必有2和3，此时； 若集合中含有元素4，则必有2和3，此时； 所以集合中所有元素的和的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $