第1章 §1.1 集合的概念与表示（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学集合核心知识，从生活实例引入集合含义，通过问题抽象元素确定性、互异性、无序性，再系统讲解元素与集合的“属于”关系及常用数集符号，进而学习列举法、描述法两种表示方法，最后明确集合相等及有限集、无限集、空集的分类，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以“数学眼光”观察现实，如导语用体育课“集合”关联数学概念，问题1实例引导抽象研究对象。“数学思维”体现在例2及延伸探究中元素互异性的分类讨论，培养逻辑推理。“数学语言”通过列举法（如不大于10的非负偶数集）与描述法（如第二象限点集）对比训练表达。课中例题与跟踪训练助教师即时反馈，课后课时对点练覆盖多样题型，方便学生查漏补缺。

学习目标　1.了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,记住常用数集的表示符号并会应用.2.理解集合中元素的基本属性.3.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法,会用集合的两种表示方法表示一些简单集合.4.理解集合相等、有限集、无限集、空集等概念. 导语 在体育课上,体育老师常说的一句话就是“集合”,这个时候,同学们从四面八方集合到一起,而这个集合是一个动词,在我们数学课上,也有一个名词“集合”,比如在小学和初中,我们学习过自然数的集合,同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等,为了进一步了解集合的有关知识,我们开始今天的学习. 一、集合的相关概念 问题1　观察下面的几个例子,讨论它们有什么共同特点？ (1)1~10之间的所有偶数； (2)立德中学今年入学的全体高一学生； (3)所有正方形； (4)到直线l的距离等于定长d的所有点； (5)方程x2-3x+2=0的所有实数根； (6)地球上的四大洋. 提示　以上例子中描述的内容都是某种研究对象的全体,而且每个例子中的研究对象都是确定的、互不相同的. 知识梳理 1.集合：一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合.通常用大写拉丁字母来表示集合. 元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.通常用小写拉丁字母来表示集合的元素. 2.常用数集及表示符号 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 3.元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A a∈A a属于A 不属于 如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A a∉A或aA a不属于A 注意点： 元素与集合之间是属于或不属于的关系,注意符号的书写. 例1　(1)下列说法中正确的是(　　) A.与定点A,B等距离的点不能构成集合 B.由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5 C.一个集合中有三个元素a,b,c,其中a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC不可能是等腰三角形 D.高中学生中的游泳能手能构成集合 答案　C 解析　A不正确,与定点A,B等距离的点在AB的垂直平分线上,能构成集合；B不正确,由title中的字母构成的元素为t,i,l,e,共4个；C正确,一个集合中有三个元素a,b,c,故a,b,c互异,故不可能构成等腰三角形；D不正确,游泳能手没有确定的标准,故不能构成集合. (2)(多选)下列选项中,正确的是(　　) A.2∈Q B.|-3|∈N C.|-3|∈Z D.0∉N 答案　ABC 解析　根据元素与集合的关系得2∈Q,A正确； |-3|=3∈N,B正确； |-3|=3∈Z,C正确；0∈N,D错误. 反思感悟　(1)判断一组对象能构成集合的条件是能找到一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素. (2)判断元素和集合关系的两种方法 ①直接法：集合中的元素是直接给出的. ②推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. 跟踪训练1　(1)(多选)下列说法正确的有(　　) A.花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合 B.正方体的全体构成一个集合 C.未来世界的高科技产品构成一个集合 D.不大于3的所有自然数构成一个集合 答案　BD (2)已知集合M是由平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合,则2　　　M；(-2,1)　　　M；(1,3)　　　　M(填“∉”或“∈”).  答案　∉　∈　∉ 解析　集合M中的元素是第二象限的点,而2是实数,故2∉M.点(-2,1)是第二象限内的点, 故(-2,1)∈M；而(1,3)在第一象限,故(1,3)∉M. 二、集合元素基本属性的应用 集合元素的基本属性 (1)确定性：集合的元素必须是确定的. (2)互异性：对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的. (3)无序性：集合中的元素可以任意排列. 注意点： 集合中的元素必须是确定的,不能是模棱两可的,任何两个元素不能相同,且与顺序无关. 例2　已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的,且-3∈A,求实数a. 解　由-3∈A,可得-3=a-2或-3=2a2+5a, ∴a=-1或a=-. ①当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互异性,故a=-1应舍去. ②当a=-时,a-2=-2a2+5a=-3,符合集合中元素的互异性. 综上可知,a=-. 延伸探究　在本例中,若集合A中的三个元素换为a-3,2a-1,a2-4,其余不变,求实数a的值. 解　①若a-3=-3,则a=0, 此时A中的元素为-3,-1,-4,满足题意. ②若2a-1=-3,则a=-1, 此时A中的元素为-4,-3,-3,不满足元素的互异性. ③若a2-4=-3,则a=±1. 当a=1时,A中的元素为-2,1,-3,满足题意； 当a=-1时,由②知不符合题意. 综上可知,a=0或a=1. 反思感悟　利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点 (1)策略：根据集合中元素的确定性,可以解出参数的所有可能值,再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验. (2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时,要注意分类讨论思想的应用. 跟踪训练2　设集合A中含有三个元素3,x,x2-2x. (1)求实数x应满足的条件； (2)若-2∈A,求实数x的值. 解　(1)由集合中元素的互异性可知,x≠3, 且x≠x2-2x,x2-2x≠3. 解得x≠-1,x≠0且x≠3. (2)∵-2∈A,∴x=-2或x2-2x=-2. 由于x2-2x=(x-1)2-1≥-1,∴x=-2. 三、集合的表示 问题2　用A表示“本班所有的男生”组成的集合,这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？ 提示　①这是用自然语言法表示的集合；②我们可以把所有男生的名字写出来,或者把所有男生的学号一一写出. 知识梳理 列举法：将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“{　}”内的表示集合的方法叫做列举法. 注意点： (1)集合中的元素之间用逗号分隔,元素不重复,元素无顺序. (2)元素个数较少时,把元素一一列举并用“{ }”括起来即可；元素个数较多且有明显规律,可用列举法,但必须把规律显示清楚,然后加省略号. 问题3　你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗？ 提示　不等式x-7<3的解是x<10,因为满足x<10的实数有无数个,所以x-7<3的解集无法用列举法表示.但是,我们可以利用解集中元素的共同特征,即x是实数,且x<10,把解集表示为{x|x<10,x∈R}. 问题4　仿照上面的例子以及阅读课本,你能表示偶数集吗？ 提示　{x|x=2k,k∈Z}. 知识梳理 1.描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式,这样表示集合的方法称为描述法. 注意点： (1)用描述法表示集合时,应写清该集合中元素的代表符号,并用简明、准确的语言描述集合的特征性质. (2)从上下文的关系来看,若元素的取值(或变化)范围是明确的,则可省略不写. 2.为了直观地表示集合,我们常画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,称为Venn图. 3.集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素),那么称这两个集合相等. 4.集合的分类 按照集合元素的多少,集合可以分为有限集和无限集. (1)一般地,含有有限个元素的集合称为有限集.含有无限个元素的集合称为无限集. (2)不含任何元素的集合称为空集,记作∅. 例3　(1)用恰当的方法表示下列给定的集合： ①不大于10的非负偶数组成的集合A； ②方程x2-2x-3=0的实数根组成的集合B； ③方程组的解集C； ④不等式2x-3<1的解组成的集合D； ⑤被3除余2的正整数的集合M； ⑥平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合N. 解　①不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10, 所以A={0,2,4,6,8,10}. ②方程x2-2x-3=0的实数根为-1,3, 所以B={-1,3}. ③方程组的解为 所以方程组的解集C={(3,1)}. ④不等式2x-3<1的解组成的集合为D,则集合D中的元素是数,设代表元素为x, 则x满足2x-3<1, 则D={x|2x-3<1}, 即D={x|x<2}. ⑤设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z.但元素为正整数,故x=3n+2,n∈N.所以被3除余2的正整数的集合M={x|x=3n+2,n∈N}. ⑥平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负,纵坐标为正,即x<0,y>0,故第二象限内的点的集合为N={(x,y)|x<0,y>0}. (2)设集合A={x,y},B={0,x2},若A,B相等,则实数x的值为　　　,y的值为　　　.  答案　1　0 解析　因为集合A,B相等,则x=0或y=0. ①当x=0时,x2=0,不满足集合中元素的互异性,故舍去； ②当y=0时,x=x2,解得x=0或x=1,由①知x=0应舍去,故x=1. 综上可知,x=1,y=0. 反思感悟　(1)用列举法表示集合的注意点 ①把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次. ②这里“{　}”已包含所有的意思,不能出现“全体”“所有”等. (2)利用描述法表示集合的注意点 ①写清楚该集合代表元素的符号. ②所有描述的内容都要写在花括号内. (3)一个集合可以用不同的方法表示.若两个集合相等,则这两个集合的元素相同,要注意其中的元素不一定按顺序对应相等,应注意检验元素是否满足互异性. 跟踪训练3　(1)用列举法或描述法表示下列集合. ①由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； ②比1大又比10小的实数组成的集合； ③不等式3x+4≥2x的所有解； ④直线y=x上的点的集合. 解　①满足条件的数有3,5,7, 所以所求集合为{3,5,7}. ②可以表示成{x|1<x<10,x∈R}. ③可以表示成{x|3x+4≥2x},即{x|x≥-4}. ④可以表示成{(x,y)|x-y=0}. (2)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=则b-a=　　　　.  答案　2 解析　由题意可知a≠0, 则a+b=0=-1, ∴a=-1,b=1,∴b-a=2. 1.知识清单： (1)集合的概念、元素与集合的关系. (2)集合中元素的属性及应用. (3)用列举法和描述法表示集合. 2.方法归纳：分类讨论、等价转化. 3.常见误区：忽视集合中元素的互异性；忽视点集与数集的区别. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共30分；多选题每小题6分,共18分 1.下列各组对象不能构成集合的是(　　) A.上课迟到的学生 B.高一年级跑得快的同学 C.所有有理数 D.小于π的正整数 答案　B 解析　根据集合中元素的确定性可知,“高一年级跑得快的同学”中的“跑得快”没有评判标准,不具备确定性,因此不能构成集合. 2.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是(　　) A.∈M B.0∉M C.1∈M D.-∈M 答案　D 解析　>1,故A错；-2<0<1,故B错；1不小于1,故C错；-2<-<1,故D正确. 3.若以集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是(　　) A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 答案　A 解析　由于a,b,c,d四个元素互不相同,故它们组成的四边形的四条边都不相等,则这个四边形可能是梯形. 4.由大于-3且小于11的偶数组成的集合是(　　) A.{x|-3<x<11,x∈Z} B.{x|-3<x<11} C.{x|-3<x<11,x=2k} D.{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z} 答案　D 解析　由题意可知,满足题设条件的只有选项D. 5.(多选)下列说法中不正确的是(　　) A.0与{0}表示同一个集合 B.集合M={3,4}与N={(3,4)}相等 C.方程(x-1)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2} D.集合{x|4<x<5}不能用列举法表示 答案　ABC 解析　对于A,0是一个数,而{0}是一个集合,0∈{0},所以A不正确； 对于B,集合M={3,4}表示数3,4构成的集合,集合N={(3,4)}表示点(3,4)构成的集合,所以B不正确； 对于C,根据集合元素的互异性,可得方程(x-1)2·(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,2},所以C不正确； 对于D,集合{x|4<x<5}含有无穷个元素,不能用列举法表示,所以D正确. 6.(多选)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值不可能是(　　) A.1 B.-2 C.-1 D.2 答案　ABD 解析　由题意知a2≠4,2-a≠4,a2≠2-a, 解得a≠±2,且a≠1,即a的取值不可能是1,±2. 7.(6分)用符号“∈”或“∉”填空： 0　　N*；-3　　N；0.5　　Z；　　Z； 　　Q；π　　R.  答案　∉　∉　∉　∉　∈　∈ 8.(5分)若集合与集合{a2,a+b,0}相等,则a2 025+b2 025的值为　　　　. 答案　-1 解析　由已知可得a≠0,因为两集合相等, 所以有或 所以(舍去)或 经检验,a=-1,b=0满足条件, 所以a2 025+b2 025=-1. 9.(10分)用适当的方法表示下列集合： (1)方程x(x2+2x+1)=0的解集；(2分) (2)在自然数集内,小于1 000的奇数构成的集合；(2分) (3)不等式x-2>6的解的集合；(2分) (4)大于0.5且不大于6的自然数构成的集合；(2分) (5)方程组的解集.(2分) 解　(1){0,-1}. (2){x|x=2k+1,且x<1 000,k∈N}. (3){x|x>8}. (4){1,2,3,4,5,6}. (5)解集用描述法表示为 解集用列举法表示为{(2,-1)}. 10.(10分)已知集合A={-4,2a-1,a2},集合B={9,a-5,1-a},9∈A且集合B中再没有其他元素属于A,能否根据上述条件求出实数a的值？若能,则求出a的值,若不能,则说明理由. 解　因为9∈A,所以2a-1=9或a2=9, 若2a-1=9,则a=5, 此时A={-4,9,25},B={9,0,-4}, 显然-4∈A且-4∈B,与已知矛盾,故舍去. 若a2=9,则a=±3, 当a=3时,A={-4,5,9}, B={9,-2,-2},B中有两个-2,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去； 当a=-3时,A={-4,-7,9}, B={9,-8,4},符合题意. 综上所述,满足条件的a存在,且a=-3. 11.已知集合A={1,2},B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中的元素个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　∵集合A={1,2},B={x|x=a+b,a∈A,b∈A}, ∴B={2,3,4},∴集合B中的元素个数为3. 12.已知a,b是非零实数,代数式++的值组成的集合是M,则下列判断正确的是(　　) A.0∈M B.-1∈M C.3∉M D.1∈M 答案　B 解析　当a,b全为正数时,代数式的值是3；当a,b全是负数时,代数式的值是-1；当a,b是一正一负时,代数式的值是-1,所以M={3,-1},结合选项知B正确. 13.(5分)若集合A={x|kx2+4x+4=0}中有2个元素,则实数k的取值范围为　　　　　　　　.  答案　{k|k<1且k≠0} 解析　若集合A中有2个元素,则方程kx2+4x+4=0有两个不同的根, 即∴k<1且k≠0. 14.(5分)若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合A={-1,1,2}　　　　(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集　　　　.  答案　不是　(答案不唯一) 解析　由于2的倒数不在集合A中,故集合A不是可倒数集.若一个元素a∈A,则∈A.若集合中有三个元素,故必有一个元素a=即a=±1,故可取的集合有等. 15.(多选)已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z}且x1,x2∈A,x3∈B,则下列判断正确的是(　　) A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A 答案　ABC 解析　由x1,x2∈A,x3∈B,可知x1,x2是奇数,x3是偶数.因为两个奇数的乘积为奇数,所以x1·x2∈A,即A正确；因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数,所以x2·x3∈B,即B正确；因为两个奇数的和为偶数,所以x1+x2∈B,即C正确；因为两个奇数与一个偶数的和为偶数,所以x1+x2+x3∈B,即D错误. 16.(11分)设集合A中的元素均为实数,且满足条件：若a∈A,则∈A(a≠1,且a≠0).求证： (1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素；(6分) (2)集合A不可能是单元素集.(5分) 证明　(1)由题意知,若a∈A,则∈A. 又因为2∈A,所以=-1∈A. 因为-1∈A,所以=∈A. 因为∈A,所以=2∈A. 所以A中另外两个元素为-1. (2)若A为单元素集, 则a= 即a2-a+1=0,方程无实数根. 所以a≠所以集合A不可能是单元素集. 学科网（北京）股份有限公司 $