1.1 集合的概念与表示-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本高中数学讲义聚焦集合的概念与表示，从实例引入集合定义，梳理元素的确定性、互异性、无序性特征，明确元素与集合的属于关系及常用数集记法，再过渡到列举法、描述法表示集合，形成层层递进的学习支架。 通过“想一想”实例辨析培养数学眼光，“母题探究”变式训练发展数学思维，“描述法表示”强化数学语言表达。课中题型示例辅助互动教学，课后分层练习助力学生查漏补缺，提升学习效果。

1．1　集合的概念与表示 [课程标准]　1.通过实例，了解集合的含义．　2.理解元素与集合的“属于”关系．　 3.针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合． 第一课时　集合的概念 ► 对应学生用书P1 一、元素与集合的概念 1．概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元． 2．集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性． 3．元素与集合的表示： (1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素． (2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合． 想一想：给出以下的对象： ①平面直角坐标系内y轴附近的点； ②26个英文字母； ③新华书店中有意义的小说； ④π的近似值． 其中能组成集合的有几个？ 提示：①③④中的对象不具有确定性，故不能构成集合；②中的26个英文字母能构成集合． 二、元素与集合的关系 1．属于(符号：∈)，a是集合A中的元素，记作a∈A，读作“a属于A”． 2．不属于(符号：∉或)，a不是集合A中的元素，记作a∉A或aA，读作“a不属于A”． 微点拨：(1)元素和集合是两个完全不同的概念，元素是集合中的某一对象，而集合是由所有的元素组成的． (2)“a∈A”还是“a∉A”取决于元素a是否是集合A中的元素，这两种情况中必有且只有一种成立． (3)“∈”“∉”表达的是元素和集合之间的关系，具有方向性，左边是元素，右边是集合．即开口方向向着集合． 三、常用的数集及其记法 常用 数集 非负整数集 (自然数集) 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数 集 记法 N N*或N＋ Z Q R 【基点小试】 1．(多选)下列关系中，正确的是(　　) A．－∉Z B．π∉R C．∈Q D．0∈N 解析：选AD.因为Z是整数集，故－∉Z，所以A正确； 因为R是实数集，故π∈R，所以B错误； 因为Q是有理数集，故＝∉Q，所以C错误； 因为N是自然数集，故0∈N，所以D正确． 2．以下各组对象不能构成集合的是______(填序号). ①中国古代四大发明； ②地球上的小河流； ③方程x2－1＝0的实数解； ④周长为10 cm的三角形； ⑤接近于0的数． 解析：①中国古代四大发明是造纸术，指南针，火药和印刷术，是确定的，能构成集合； ②地球上的小河流，不确定，不能构成集合； ③方程x2－1＝0的实数解是1或－1，是确定的，能构成集合； ④周长为10cm的三角形，是确定的，能构成集合； ⑤接近于0的数，不确定，不能构成集合． 答案：②⑤ 3．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为__________. 解析：∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1. 若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，实数a的值为0或－1. 答案：0或－1 4．(苏教版必修一P8T4改编)若x∈N，且∈N，则x＝______. 解析：因为x∈N，且∈N，则x＝1. 答案：1 题型一　集合的基本概念 例1.给出下列各组对象： ①联合国常任理事国； ②充分接近的全体实数； ③方程x2＋x－1＝0的实数根； ④全国著名的高等院校． 以上能构成集合的是(　　) A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 解析：选A.①联合国的常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗斯、英国．所以可以构成集合； ②中的元素是不确定的，不满足集合确定性的条件，不能构成集合； ③方程x2＋x－1＝0的实数根是确定的，所以能构成集合； ④全国著名的高等院校．不满足集合确定性的条件，不构成集合． [总结] 　利用集合中元素的特性判断对象能否组成集合 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 【练一练】 1．给出下列说法： ①中国的所有直辖市可以组成一个集合； ②高一(1)班较胖的同学可以组成一个集合； ③正偶数的全体可以组成一个集合； ④大于2 020且小于2 025的所有整数不能组成集合． 其中正确的有________．(填序号) 解析：②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中满足条件的所有整数能组成集合，所以④错误． 答案：①③ 题型二　元素与集合的关系 角度1　判断元素与集合的关系 例2.已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17______A；－5______A. 解析：由题意可设x＝3k＋2，k∈Z， 令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A. 令3k＋2＝－5得，k＝－∉Z.所以－5∉A. 答案：∈　∉ [总结] 　判断元素与集合关系的2种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 角度2　已知元素与集合的关系求参数 例3.设A是方程x2－ax－5＝0的解组成的集合． (1)0是否是集合A中的元素？ (2)若－5∈A，求实数a的值； (3)若1∉A，求实数a的取值范围． 解：(1)将x＝0代入方程，02－a×0－5＝－5≠0，所以0不是集合A中的元素； (2)若－5∈A，则有(－5)2－(－5)a－5＝0，解得a＝－4. (3)若1∉A，则12－a×1－5≠0，解得a≠－4. [总结] 　已知元素与集合的关系求参数的思路 当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素．反之，当a∉A时，结论恰恰相反． 利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意要根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验． 【练一练】 2．(苏教版必修一P8T2改编)已知集合M中的元素x满足3－2x<0，则下列结论正确的是(　　) A．0∈M，2∈M B．0∉M，2∈M C．0∈M，2∉M D．0∉M，2∉M 解析：选B.由3－2x<0，得x>，所以0∉M，2∈M. 3．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________． 解析：∵x∈N，∈N， ∴0≤x≤2且x∈N. 当x＝0时，＝＝2∈N； 当x＝1时，＝＝3∈N； 当x＝2时，＝＝6∈N. ∴A中元素有0，1，2. 答案： 0，1，2 题型三　集合中元素的特征及应用 例4.已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________． 解析：若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1； 当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1. 答案：－1 【母题探究】　(1)(变条件)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值． 解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2，或a＝，或a＝－. (2)(变条件)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？ 解：因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1. (3)(变条件)已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值． 解：由a∈A可知， 当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1. 当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去).　　 综上可知，a＝0. [总结] 　根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤 【练一练】 4．已知集合A由元素a－3，2a－1，a2－4构成，且－3∈A，求实数a的值． 解：因为－3∈A，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3. 若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A中的元素分别为－3，－1，－4，符合题意． 若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A中的元素分别为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性，舍去． 若a2－4＝－3，则a＝1或a＝－1(舍去).当a＝1时，集合A中的元素分别为－2，1，－3，符合题意． 综上所述，实数a的值为0或1. [课后分层练(一)]　集合的概念 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．若集合M中的元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：选D.由题可知，集合M中的元素是△ABC的三边长，则a≠b≠c，所以△ABC一定不是等腰三角形． 2．下列说法正确的是(　　) A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合 B．由1，2，3和 ，1，分别组成的两个集合不相等 C．不超过20的非负数能组成一个集合 D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素 解析：选C. A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素． 3．已知集合A＝{ x| x＝2k, k∈Z }，则(　　) A．－1∈A B．1∈A C．－∈A D．2∈A 解析：选D.由集合A＝{ x| x＝2k, k∈Z }，即集合A是所有的偶数构成的集合． 所以－1∉A，1∉A，－∉A，2∈A. 4．下列元素与集合的关系中，正确的是(　　) A．－1∈N B．0∉N* C．∈Q D．∉R 解析：选B.因为－1是整数，不是自然数，所以A不正确； 因为0不是正整数，所以B正确； 因为是无理数，不是有理数，所以C不正确； 因为是实数，所以D不正确． 5．若方程x2＋px＋q＝0的解集与由1，3构成的集合相等，则p＋q的值为(　　) A．－3 B．3 C．－1 D．7 解析：选C.因为方程x2＋px＋q＝0的解集与由1，3构成的集合相等， 所以解得所以p＋q＝－1. 6．(多选)下列说法正确的是(　　) A．N*中最小的数是1 B．若－a∉N*，则a∈N* C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2 D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素 解析：选AC.因为N*表示正整数集，容易判断A，C正确； 对B，若a＝，则满足－a∉N*，但a∉N*，B错误； 对D，x2＋4＝4x的解集为{2}，D错误． 7．(多选)已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　) A．0∉M B．2∈M C．－4∈M D．4∈M 解析：选CD.当x，y，z均为负数时，＋＋＋＝－4； 当x，y，z两负一正时，＋＋＋＝0； 当x，y，z两正一负时，＋＋＋＝0； 当x，y，z均为正数时，＋＋＋＝4； ∴M＝{－4，0，4}，A、B错误，C、D正确． 8．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，则a的值为_______. 解析：∵a∈A且3a∈A，∴解得a<2，又a∈N， ∴a＝0或1. 答案：0或1 9．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x. (1)求实数x应满足的条件； (2)若－2∈A，求实数x的值． 解：(1)根据集合中元素的互异性，可知 即x≠0且x≠3且x≠－1； (2)因为x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，且－2∈A，所以x＝－2. 【能力提升题组】 10．已知实数集R的子集S满足条件：①1∉S；②若a∈S，则∈S.求证： (1)若2∈S，则S中必有另外两个元素； (2)集合S中不可能只有一个元素． 解：(1)∵2∈S，∴＝－1∈S，同理＝∈S，＝2∈S， ∴S中还有－1，两个元素． (2)不妨设S为单元素集，则a＝，整理得a2－a＋1＝0，则a无解． ∴S不可能为单个元素集合． 11．集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由． 解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9， 若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去． 若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4，5，9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去． 当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意． 综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3. 第二课时　集合的表示　　　　　 ► 对应学生用书P4 一、列举法 1．定义：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内 2．一般形式：{a1，a2，…，an，…} 微点拨：使用列举法表示集合的注意事项 (1)元素之间用“，”隔开； (2)元素不重复，满足元素的互异性； (3)元素无顺序，满足元素的无序性； (4)对于含较多元素或无数个元素的集合，如果组成该集合的元素有明显规律，也可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号． 二、描述法 1．定义：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来 2．一般形式：{x|p(x)} 微点拨：使用描述法表示集合的注意点 写清该集合中元素的代表符号．即代表元素是什么：是数，还是有序实数对(点)，还是集合或其他形式. 如集合{x|x≥2}不能写成{x≥2}，这里便少了代表元素．又如集合{(x，y)|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示两个不同的集合，前者为点集，而后者为数集，区别就在于它们的代表元素不同． 三、集合分类 1．集合的分类 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 空集 不含任何元素的集合，记作∅ 2.集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等． 【基点小试】 1．10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________． 解析：∵对于正因数分解，有10＝1×10＝2×5， ∴其正因数组成的集合为{1，2，5，10}． 答案：{1，2，5，10} 2．用描述法表示下图中的阴影部分可以是__________________． 解析：由阴影部分知0≤x≤2，0≤y≤1，所以阴影部分由点集{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1}来表示． 答案：{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1} 3．(苏教版必修一P8习题T5改编)设a，b为实数，已知M＝{1，2}，N＝{a，b}，且M＝N，则a+b＝ ． 解析：∵M＝N，∴a＝1，b＝2,即a+b＝3． 答案：3 题型一　用列举法表示集合 例1.用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合； (3)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合． 解： (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}． (2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0，1，－1}． (3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}． [总结]　用列举法表示集合的3个步骤 (1)确定集合中元素的类型，并求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号将各元素括起来． 注意：用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次序，且元素与元素间用“，”隔开． 【练一练】 1．集合{x|(x－2)2(x－3)＝0，x∈R}用列举法表示为______． 解析：方程(x－2)2＝0的两个解为2或3，故集合M＝. 答案：{2，3} 2．用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B； (3)一次函数y＝x＋3的图象与x轴的交点组成的集合C. 解：(1)因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}． (2)因为方程x2－9＝0的实数根为－3，3，所以B＝{－3，3}． (3)将y＝0代入y＝x＋3，得x＝－3，即交点是(－3，0)，故交点组成的集合C＝{(－3，0)}． 题型二　用描述法表示集合 例2.用描述法表示下列集合： (1)满足不等式3x＋2>2x＋1的实数x组成的集合； (2)平面直角坐标系中，第一象限内的点的集合； (3)所有正奇数组成的集合． 解：(1)解不等式3x＋2>2x＋1，可得x>－1，所以满足不等式的实数x组成的集合为{x|x>－1}． 或直接写成{x|3x＋2>2x＋1}． (2)因为第一象限内的点的横坐标大于零，纵坐标大于零，所以该集合为{(x，y)|x>0，y>0，且x，y∈R}． (3)可知正奇数表示为x＝2k－1(k∈N＋)，故集合为. 【母题探究】　(1)(变条件)本例(1)中的“实数”改为“有理数”，其他条件不变，如何表示集合？ 解：(或{x∈Q|3x＋2>2x＋1}). (2)(变条件)本例(3)中的“正奇数”改为“偶数”，其他条件不变，如何表示集合？ 解： . [总结] 　用描述法表示集合的2个步骤 【练一练】 3．试用描述法表示下列集合： (1)比3的倍数多1的整数； (2)不等式x－10>0的解集； (3)一次函数y＝2x＋1图象上所有点． 解：(1)比3的倍数多1的整数可表示为x＝3k＋1，用描述法表示这样的整数构成的集合为； (2)由x－10>0解得x>10, 不等式x－10>0的解集为； (3)设一次函数y＝2x＋1图象上的点的坐标为，则一次函数y＝2x＋1图象上的所有的点的集合为. 题型三　集合与方程的综合问题 例3.已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}． (1)若A中有且只有一个元素，求a的取值集合； (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 解：(1)由题意知，A中有且只有一个元素，即对应方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一根或有两个相等的实根． 当a＝0时，对应方程为一次方程，此时A＝，符合题意； 当a≠0时，对应方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等实根， 即Δ＝4－4a＝0，a＝1，符合题意． 综上所述，a的取值集合为{0，1}． (2)由题意知，A中至多有一个元素，即对应方程ax2＋2x＋1＝0无根或只有一根． 由(1)知，当a＝0或1时，A中有且只有一个元素，符合题意； 当Δ＝4－4a<0，即a>1时，对应方程ax2＋2x＋1＝0无实根，即A中无元素，符合题意． 综上所述，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}． [总结] 　1.集合与方程综合问题的解题策略 对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题． 2．集合与方程的综合问题的解题步骤 (1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根． (2)当方程中含有参数时，往往要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，有时还要分类讨论． (3)求出参数的值或取值范围后，还要检验是否满足集合中元素的互异性． 【练一练】 4．设∈{x}，则集合{x}中所有元素之积为______． 解析：因为∈，所以－a－＝0，解得a＝－， 当a＝－时，方程x2－x＋＝0的判别式Δ＝－4×＝>0， 所以集合的所有元素的积为方程的两根之积，等于. 答案： [课后分层练(二)]　集合的表示 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．集合A＝，则集合A的元素个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选C.因为∈N*，所以5－n为12的正约数，故A＝， 故集合A的元素有6个． 2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.由题意可知，由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是{－3<x<11，x＝2k，k∈Z}． 3．用列举法表示集合为(　　) A．{1，1} B．{1} C．{x＝1} D． 解析：选B.方程x2－2x＋1＝0的解是x＝1，所以集合＝. 4．(多选)集合用描述法可表示为(　　) A．是不大于9的非负奇数} B．，且 C． D． 解析：选AB.对A，是不大于9的非负奇数}表示的集合是，故A正确； 对B，，且表示的集合是，故B正确； 对C，表示的集合是，故C错误； 对D，表示的集合是，故D错误． 故选AB. 5．表示方程x2＋x－6＝0的根的集合，用描述法可表示为___________，用列举法可以表示为___________． 解析：因为方程x2＋x－6＝0，所以用描述法可表示为； 由x2＋x－6＝0，解得x＝－3或2，所以用列举法可以表示为. 答案：　 6．用描述法表示下列集合． (1)小于5的正有理数组成的集合：______； (2)平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的所有点组成的集合：______； (3)偶数集：______； (4)抛物线y＝x2－3x＋2上的所有点组成的集合：______． 解析：(1)由描述可得：集合为 . (2)第一、三象限角平分线上的所有点都在y＝x上，故集合为. (3)由偶数可表示为x＝2n，n∈Z，故集合为. (4)由描述知：集合为{(x，y)|y＝x2－3x＋2}． 答案：(1)　(2) (3)　(4) 7．设a，b∈R，集合＝，则a＝______，b－a＝___________． 解析：由＝可得，因为中，a≠0， 所以a＋b＝0，＝－1，b＝1，a＝－1，所以b－a＝2. 答案：－1　2 8．根据要求写出下列集合． (1)用列举法表示集合{(x，y)|2x＋3y＝12，x，y∈N}； (2)用描述法表示集合{0，1，4，9，16，25，36，49}； (3)用适当的方法表示平面直角坐标系中第三象限内的点组成的集合． 解：(1)x，y∈N，当x＝0时y＝4，当x＝3，y＝2，当x＝6，y＝0，其他情况不满足两个变量x，y为自然数这一条件，{(x，y)|2x＋3y＝12，x，y∈N}＝{(0，4)，(3，2)，(6，0)}． (2)通过观察，这些数字分别可以写成02，12，22，32，42，52，62，72， 故可以得到{0，1，4，9，16，25，36，49}＝. (3)平面直角坐标系中第三象限内的点，满足的条件是，这些点的横坐标和纵坐标均为小于0的数，故可以表示为{(x，y)|x<0，y<0}． 【能力提升题组】 9．对于任意两个正整数m，n，定义运算“※”：当m，n都为偶数或奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m※n＝mn.在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是(　　) A．18 B．17 C．16 D．15 解析：选B.因为1＋15＝16，2＋14＝16，3＋13＝16，4＋12＝16，5＋11＝16，6＋10＝16，7＋9＝16，8＋8＝16，9＋7＝16，10＋6＝16，11＋5＝16，12＋4＝16，13＋3＝16，14＋2＝16，15＋1＝16，1×16＝16，16×1＝16，且集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B. 10．若a、b、x∈R且a、b≠0，集合B＝，则用列举法可表示为______． 解析：当a<0，b<0时，x＝＋＝－1－1＝－2； 当a<0，b>0时，x＝＋＝－1＋1＝0； 当a>0，b<0时，x＝＋＝1－1＝0； 当a>0，b>0时，x＝＋＝1＋1＝2. 所以用列举法可表示为. 答案：{－2，0，2} 11．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}． (1)若集合A中仅有一个元素，求实数a的值； (2)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； (3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝0时，x＝，符合题意； 当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a＝0，∴a＝. 综上，集合A中仅含有一个元素时，a＝0或a＝. (2)集合A中含有两个元素，即关于x的方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数解， 所以a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0，解得a<且a≠0， 所以实数a的取值范围为{a|a<且a≠0}． (3)当a＝0时，x＝，符合题意； 当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a≤0，即a≥. 所以实数a的取值范围为{a|a≥或a＝0}． 学科网（北京）股份有限公司 $