周末练8 综合检测试卷（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

**基本信息** 以函数与不等式为核心，整合集合、命题等知识，通过基础辨析、性质应用到综合探究的递进式设计，考查数学抽象与逻辑推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与函数基础|5题|定义域、零点、奇偶性判断|从集合运算到函数概念生成，构建“定义-性质”认知链| |不等式与命题|4题|大小比较、条件判断|结合命题否定考查不等式性质，强化逻辑推理| |综合应用|6题|分段函数交点、抽象函数单调性|以函数性质为纽带，整合方程、不等式，体现知识迁移|

综合检测试卷 [时间：120分钟 分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.已知集合M={x|x2-4<0}，N={x∈Z|x<3}，则M∩N等于(　　) A.M B.N C.{-1，1} D.{-1，0，1} 答案　D 解析　M={x|x2-4<0}= 又N={x∈Z|x<3}， 故M∩N=∩{x∈Z|x<3}=. 2.函数f(x)=的定义域为(　　) A. B.∪ C. D.∪ 答案　B 解析　由题意可得解得x≥-且x≠0， 所以定义域为∪. 3.函数f(x)=2x3+3x-7的一个零点所在的区间是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　y=2x3和y=3x-7都是增函数，所以函数f(x)=2x3+3x-7为增函数， 且f(0)=-7<0，f(1)=2+3-7=-2<0，f(2)=16+6-7=15>0， f(1)f(2)<0，所以函数在区间内存在唯一零点，所以函数f(x)的一个零点所在的区间为. 4.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≤0时，f(x)=3x2+2x+2，则f(1)的值为(　　) A.3 B.-3 C.1 D.-1 答案　B 解析　根据题意，当x≤0时，f(x)=3x2+2x+2，则f=3-2+2=3， 而函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(1)=-f=-3. 5.函数y=-的图象大致为(　　) 答案　D 解析　函数y=f(x)=-的定义域为R，关于原点对称， 因为f=-==-f(x)， 则f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A和B两个选项， 当x>0时，2x>0，x4+1>0，则-<0， 即当x>0时，函数值y<0，选项D符合题意. 6.下列命题不正确的是(　　) A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B.命题“∀x<1，x2<1”的否定是“∃x<1，x2≥1” C.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥1”的必要不充分条件 D.“-2<x<3”是“<0”的必要不充分条件 答案　C 解析　对于A，由不等式<1，解得a<0或a>1，所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件，A正确； 对于B，命题“∀x<1，x2<1”的否定是“∃x<1，x2≥1”，B正确； 对于C，若x，y∈R，当x≥2且y≥2时，可得x2+y2≥1是成立的，即充分性成立； 反之，例如当x=1，y=1时，满足x2+y2≥1，但x≥2且y≥2不成立，即必要性不成立，所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥1”的充分不必要条件，C不正确； 对于D，不等式<0，可化为+3<0， 所以只需x2-2x-3=(x+1)(x-3)<0，解得-1<x<3， 所以“-2<x<3”是“<0”的必要不充分条件，D正确. 7.已知函数f(x)=若函数y=f(x)的图象与直线y=k有3个交点，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　当x≤0时，f(x)=x2+4x-1，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为直线x=-2，顶点坐标为(-2，-5)，作出y=f(x)的图象与直线y=k，如图， 由图可知，函数y=f(x)的图象与直线y=k有3个交点， 则-2<k≤-1， 即实数k的取值范围为. 8.已知函数f(x)，g(x)是定义在R上的函数，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)+g(x)=x2+ax，记h(x)=xf(x)+若对于任意的1<x1<x2<2，都有<0，则实数a的取值范围为(　　) A. B.(0，+∞) C.(-∞，-1] D.(0，2] 答案　C 解析　由题设有 即 解得 ∴h(x)=ax2+2x， 对于任意的1<x1<x2<2，都有<0， 即函数h(x)=ax2+2x在(1，2)上单调递减， ∴或解得a≤-1. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列命题为真命题的是(　　) A.若a>b，则ac2>bc2 B.若-3<a<2，1<b<4，则-7<a-b<1 C.若b<a<0，m<0，则> D.若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 答案　BCD 解析　对于A，当c=0时，ac2=bc2=0，A错误； 对于B，∵1<b<4，∴-4<-b<-1，又-3<a<2，∴-7<a-b<1，B正确； 对于C，∵b<a<0，∴< 又m<0，∴>C正确； 对于D，∵a>b>0，c>d>0，∴ac>bc>bd，D正确. 10.若正实数x，y满足2x+y=1，则下列说法正确的是(　　) A.xy的最大值为 B.+的最小值为6+4 C.4x2+y2的最小值为 D.x(y+1)的最大值为 答案　ABC 解析　对于A，因为2x+y=1≥2则xy≤当且仅当2x=y，即x=y=时取等号，故A正确； 对于B+=+=++6≥2+6=6+4当且仅当=即x=y=2-时取等号，故B正确； 对于C，因为≤则4x2+y2≥当且仅当2x=y，即x=y=时取等号，故C正确； 对于D，因为x=×2x≤×= 当且仅当2x=y+1，即x=y=0时取等号，这与x，y均为正实数矛盾，故D错误. 11.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，令f(x)=x-[x]，以下结论正确的有(　　) A.f(-1.1)=0.9 B.函数f(x)为奇函数 C.f(x+1)=f(x)+1 D.函数f(x)的值域为[0，1) 答案　AD 解析　对于A，f=-1.1-=-1.1+2=0.9，故A正确； 对于B，取x=-1.1，则f=0.9，而f=1.1-=1.1-1=0.1， 故f≠-f所以函数f(x)不为奇函数，故B错误； 对于C，f=x+1-=x+1--1=f(x)，故C错误； 对于D，由C的判断可知，f(x)为周期函数，且周期为1， 令0≤x≤1，则 当x=0时，则f(0)=0-=0， 当0<x<1时，f(x)=x-=x-0=x， 当x=1时，f(x)=1-=1-1=0， 故当0≤x≤1时，则有0≤f(x)<1，故函数f(x)的值域为故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.设a，b∈R，集合P={a2+1，2}，Q={a+1，b}，若P=Q，则a-b=　　　　.  答案　-2 解析　因为集合P=Q=P=Q， 若则或 当时，P=Q=此时a-b=-2， 当时，a+1=b，不符合集合元素的互异性，舍去， 若则不符合集合元素的互异性，舍去. 综上，a=0，b=2，a-b=-2. 13.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为则关于x的不等式bx2-cx-a<0的解集为　　　　　　　　.  答案　 解析　因为关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为 所以--是方程ax2+bx+c=0的两根，且a>0， 则解得 所以关于x的不等式bx2-cx-a<0，即ax2-ax-a<0，化简得5x2-x-6<0，解得-1<x<则关于x的不等式bx2-cx-a<0的解集为. 14.函数f(x)为定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且f(3)=1，对于任意x1，x2∈(0，+∞)，x1≠x2，都有>0成立，则f(x)≤的解集为　　　　　.  答案　(-∞，-3]∪(0，3] 解析　设函数g(x)=xf(x)，因为f(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数， 因为>0， 所以>0，即g(x)在(0，+∞)上单调递增， 因为g(3)=3f(3)=3，g(x)为偶函数，所以g(-3)=3，且g(x)在(-∞，0)上单调递减， 当x>0时，f(x)≤等价于g(x)≤3=g(3)，所以0<x≤3； 当x<0时，f(x)≤等价于g(x)≥3=g(-3)，所以x≤-3， 即f(x)≤的解集为∪. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知全集为R，集合A={x|5-m<x<m}，B={x|2<x≤10}. (1)若m=6，求A∪B，(∁RA)∩B；(6分) (2)若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围.(7分) 解　(1)当m=6时，A={x|-1<x<6}， 又B={x|2<x≤10}，所以A∪B={x|-1<x≤10}，∁RA={x|x≤-1或x≥6}， 所(∁RA)∩B=. (2)因为“x∈B”是“x∈A”的充分条件，所以B⊆A，所以解得m>10，即实数m的取值范围为. 16.(15分)已知函数f(x)=+m+1是R上的偶函数. (1)求实数m的值，判断并证明函数f(x)在[0，+∞)上的单调性；(8分) (2)求函数f(x)在[-3，2]上的最大值和最小值.(7分) 解　(1)因为函数f(x)=+m+1是R上的偶函数，则f=f(x)， 即+m+1=+m+1，解得m=0， 所以f(x)=+1，函数f(x)在[0，+∞)上单调递减. 证明如下： 设任意x1，x2∈且x1<x2，则 f(x1)-f(x2)=-= 由0≤x1<x2，则x2-x1>0，x2+x1>0，1+>0，1+>0， 所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)在上单调递减. (2)由(1)知函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，又函数f(x)是R上的偶函数， 所以函数f(x)在(-∞，0]上单调递增， 所以函数f(x)在[-3，0]上单调递增，在上单调递减. 又f(-3)=f(0)=2，f(2)= 故当x∈[-3，2]时，f(x)min=f(-3)=f(x)max=f(0)=2. 17.(15分)求函数最值有很多的方法，其中某些函数的最值可以利用配方法，例如：f(x)=x4-2x2=x4-2x2+1-1=(x2-1)2-1，所以函数f(x)的最小值为-1，当且仅当x2=1时取得最小值. (1)利用配方法求函数y=x+(x>0)的最小值；(5分) (2)某面粉厂定期买面粉，每次都购买x吨，运费为每次4万元，已知面粉厂一年购买面粉400吨，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值应为多少？(10分) 解　(1)由x>0，则y=x+=()2+=()2-4++4=+4， 所以函数y=x+(x>0)的最小值为4，当且仅当=即x=2时取得最小值. (2)一年购买400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为每次4万元， 一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元， 由x>0，有·4+4x=+=+160≥160， 当且仅当=2即x=20时，等号成立， 即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小. 18.(17分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数， (1)当x<0时，f(x)=x(x-1)，求当x>0时，f(x)的解析式；(5分) (2)若f(x)在(-∞，0]上单调递增， ①判断函数f(x)在(0，+∞)上的单调性，并用定义证明你的判断；(6分) ②若f(-2x2+x)+f(-2x2-k)<0对一切实数x都成立，求实数k的取值范围.(6分) 解　(1)当x>0时，-x<0，f(-x)=-x(-x-1)， 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(-x)=-f(x)，故-f(x)=-x(-x-1)， 所以当x>0时，f(x)=-x(x+1). (2)①f(x)在(0，+∞)上单调递增，理由如下： 任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2， 则-x1，-x2∈(-∞，0)，且-x1>-x2， 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 则f(x1)=-f(-x1)，f(x2)=-f(-x2)， 因为f(x)在(-∞，0]上单调递增， 故f(-x1)>f(-x2)，即-f(-x1)<-f(-x2)， 即f(x1)<f(x2)， 故函数f(x)在(0，+∞)上单调递增. ②因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(-∞，0]上单调递增，可得函数f(x)在R上单调递增， 又f(-2x2+x)<-f(-2x2-k)， 则f(-2x2+x)<f(2x2+k)， 因为f(x)在R上单调递增， 故-2x2+x<2x2+k恒成立， 即k>-4x2+x=-4+恒成立， 故k> 所以实数k的取值范围为. 19.(17分)函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0. (1)判断f(x)的奇偶性；(3分) (2)求证：f(x)是R上的减函数：(4分) (3)若a∈R，求关于x的不等式f(ax2)+f(x+2)<f(x2)-f(ax)的解集.(10分) (1)解　取x=y=0，则f(0+0)=2f(0)，∴f(0)=0. 取y=-x，则f(x-x)=f(x)+f(-x)， 即-f(x)=f(-x)对任意x∈R恒成立， ∴f(x)为奇函数. (2)证明　任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则x2-x1>0，f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0， ∴f(x2)<-f(-x1)， 又f(x)为奇函数，-f(-x1)=f(x1)， ∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)是R上的减函数. (3)解　f(x)为奇函数，整理原式得f(ax2+x+2)<f(x2-ax)， ∵f(x)在R上是减函数， ∴ax2+x+2>x2-ax，即(a-1)x2+(a+1)x+2>0， ①当a=1时，原不等式的解为x>-1； ②当a>1时，原不等式化为(a-1)(x+1)>0，即(x+1)>0， 若a=3，原不等式化为(x+1)2>0，原不等式的解为x≠-1； 若a>3，则->-1，原不等式的解为x>-或x<-1； 若1<a<3，则-<-1，原不等式的解为x>-1或x<-； ③当a<1时，原不等式化为(a-1)(x+1)>0即(x+1)<0， 则->-1，原不等式的解为-1<x<-. 综上所述，当a<1时，原不等式的解集为； 当a=1时，原不等式的解集为； 当1<a<3时，原不等式的解集为； 当a=3时，原不等式的解集为{x|x≠-1}； 当a>3时，原不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $