周末练7 章末检测试卷三(第6章 平面向量初步)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

**基本信息** 以向量运算为核心，通过分层题型系统覆盖线性运算、坐标应用及几何综合，解析内嵌三角形法则、坐标法等实用方法，构建从概念到应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|选择1-4|向量线性运算（三角形法则）、模长公式、共线充要条件|从向量概念到线性运算，再到坐标表示，形成运算体系| |坐标应用|选择6、填空12-14|坐标转换、参数方程法、三点共线判定|结合坐标系实现向量问题代数化，体现数形结合| |几何综合|选择5、7-8、解答19|面积比转化、基底表示、建系法|以向量为工具解决平面几何问题，强化直观想象与逻辑推理|

周末练7　章末检测试卷三(第六章) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.如图，在五边形ABCDE中，+-等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　+-=+=. 2.已知点A(0，1)，B(3，2)，向量=(-4，-3)，则向量等于(　　) A.(-7，-4) B.(7，4) C.(-1，4) D.(1，4) 答案　A 解析　∵=(-4，-3)，=(3，1)， ∴=-=(-7，-4). 3.已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若|b-3a|=，则x等于(　　) A.2 B.4 C.1或2 D.2或4 答案　D 解析　由题意，得b-3a=(2，x-3)， 则|b-3a|==，解得x=2或4. 4.已知向量a=(-1，2)，b=(3，m)，m∈R，则“m=-6”是“a∥(a+b)”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　充分性：若m=-6，则a+b=(-1，2)+(3，-6)=(2，-4)，则a=-(a+b)，可推出a∥(a+b)，故充分性成立；必要性：若a∥(a+b)，则a+b=ka，则解得m=-6，故必要性成立.综上所述，“m=-6”是“a∥(a+b)”的充要条件. 5.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3--=0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5 答案　B 解析　如图，设D为边BC的中点， 则=+)， 因为3--=0， 所以3=+=2， 所以=， 所以S△ABM=S△ABD=S△ABC. 6.若{α，β}是一组基底，向量γ=xα+yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标.现已知向量a在一组基底p=(1，-1)，q=(2，1)下的坐标为(-2，2)，则a在另一组基底m=(-1，1)，n=(1，2)下的坐标为(　　) A.(2，0) B.(0，-2) C.(-2，0) D.(0，2) 答案　D 解析　∵a在基底{p，q}下的坐标为(-2，2)， ∴a=-2p+2q=-2(1，-1)+2(2，1)=(2，4). 令a=xm+yn=(-x+y，x+2y)， ∴解得 ∴a在基底{m，n}下的坐标为(0，2). 7.已知在正六边形ABCDEF中，G是线段CD上靠近C的三等分点，则等于(　　) A.- B.- C.- D.-+ 答案　C 解析　依题意得=++=-++， 因为=-=-，==-=2-， 所以=-++2-+=-. 8.如图，在平面四边形ABCD中，∠CBA=∠CAD=90°，∠ACD=30°，AB=BC，点E为线段BC的中点.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λμ的值为(　　) A.1 B.2 C. D. 答案　C 解析　以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB=BC=2， 则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(2，1)，AC=2， AD=2tan 30°=，过D作DF⊥x轴于F，∠DAF=180°-90°-45°=45°， DF=sin 45°=×=， 所以D， =(2，2)，=，=(2，1)， 因为=λ+μ， 所以(2，2)=λ+μ(2，1)， 所以 解得 λμ的值为. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列命题中，不正确的是(　　) A.若e为单位向量，且a∥e，则a=|a|e B.若a∥b且b∥c，则a∥c C.两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同 D.若平面内有四点A，B，C，D，则必有+=+ 答案　AB 解析　若e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e，所以A错误； 若b=0，则a∥b且b∥c，但a∥c不一定成立，所以B错误；C正确； 因为+=++=+(+)=+，所以D正确. 10.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　) A.若=+，则点M是边BC的中点 B.若=2-，则点M在边BC的延长线上 C.若=--，则点M是△ABC的重心 D.若=x+y，且x+y=，则△MBC的面积是△ABC面积的 答案　ACD 解析　A中，=+⇒-=-，即=，则点M是边BC的中点，所以A正确； B中，=2-⇒-=-，所以=，则点M在CB的延长线上，所以B错误； C中，设BC的中点为D，如图所示，则=--=+=2，由重心性质可知C成立； D中，=x+y且x+y=⇒2=2x+2y且2x+2y=1， 设=2， 所以=2x+2y且2x+2y=1， 可知B，C，D三点共线， 所以△MBC的面积是△ABC面积的. 11.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是(　　) A.= B.-= C.+= D.和不能构成一组基底 答案　BCD 解析　因为在正八边形ABCDEFGH中，∠DEA=∠HAE，所以AH∥DE，但，方向不同，所以≠，故A错误； -=-=，故B正确； 由正八边形知，∠AOC=，且||=||， 根据向量加法法则可知， +为以，为邻边的正方形中以O为始点的一条对角线所对应的向量， 所以|+|=||，又||=||， 与以O为始点的一条对角线所对应的向量共线，所以+=，故C正确； 在正八边形ABCDEFGH中，=，和平行，所以和共线，故和不能构成一组基底，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.若三点A(1，-5)，B(a，-2)，C(-2，-1)共线，则实数a的值为　　　　.  答案　- 解析　根据题意知=(a-1，3)，=(-3，4)，∥，∴4(a-1)=3×(-3)，即4a=-5， ∴a=-. 13.已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足=2-2，则=　　　　.  答案　3 解析　因为=2-2=2(-)=2即=2，所以=+=3，所以==3. 14.在直角梯形ABCD中，A=90°，B=30°，AB=2，BC=2，点E在线段CD上，若=+μ，则μ的取值范围是　　　　.  答案　 解析　由题意可求得AD=1，CD=， 所以=2， 因为点E在线段CD上， 所以=λ(0≤λ≤1). 因为=+， 又=+μ=+2μ=+， 所以=1，即λ=2μ， 因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤. 即μ的取值范围是. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知向量a=(1，2)，b=(-3，1). (1)求与2a+b同向的单位向量e；(6分) (2)若向量c=，请以{a，b}为平面向量的一组基底表示向量c.(7分) 解　(1)∵2a+b=(2，4)+(-3，1)=(-1，5)， ∴|2a+b|==， ∴与2a+b同向的单位向量 e=(2a+b)=. (2)设c=λa+μb(λ，μ∈R)， 则=λ(1，2)+μ(-3，1) =(λ-3μ，2λ+μ)， ∴解得 ∴c=-2a+b. 16.(15分)已知e1，e2为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足=e1+2e2，=-4e1-e2，=-5e1-3e2. (1)将用e1，e2表示；(6分) (2)证明：四边形ABCD为梯形.(9分) (1)解　=++=(e1+2e2)+(-4e1-e2)+(-5e1-3e2)=(1-4-5)e1+(2-1-3)e2=-8e1-2e2. (2)证明　因为=-8e1-2e2=2(-4e1-e2)=2，即=2， 所以根据数乘向量的定义，与同方向，且的长度为的长度的2倍， 所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC. 所以四边形ABCD是梯形. 17.(15分)如图所示，一条河两岸平行，河的宽度d=500 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度v1的大小为|v1|=10 km/h，水流速度v2的大小为|v2|=2 km/h，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到0.1 min)？ 解　设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短. 如图所示，设v=v1+v2，则|v|==(km/h). 此时，船的航行时间t==×60≈3.1(min).所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1 min. 18.(17分)已知三点A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设=a，=b，=c，且=3c，=-2b. (1)求3a+b-3c；(5分) (2)求满足a=mb+nc的实数m，n；(5分) (3)求点M，N的坐标及的坐标.(7分) 解　由已知得a=(5，-5)，b=(-6，-3)， c=(1，8). (1)3a+b-3c=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8) =(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n，-3m+8n)=(5，-5)， ∴解得 (3)∵=-=3c， ∴=3c+=(3，24)+(-3，-4)=(0，20)， ∴M(0，20). 又∵=-=-2b， ∴=-2b+=(12，6)+(-3，-4)=(9，2)， ∴N(9，2).∴=(9，-18). 19.(17分)如图所示，在△ABC中，=a，=b，D为AB的中点，E为CD上的一点，且DC=4EC，AE的延长线与BC的交点为F. (1)用向量a，b表示；(7分) (2)用向量a，b表示，并求出AE∶EF和BF∶FC的值.(10分) 解　(1)由题意知，=4， 所以-=4(-)， 所以=+， 又D为AB的中点，=a，=b， 所以=a，=a+b. (2)因为B，F，C三点共线，设=t(0<t<1)，所以=(1-t)+t， 即=tb+(1-t)a，又A，F，E三点共线， 设=λ(λ>1)， 由(1)可知=a+b，即=a+b， a，b不共线，由平面向量基本定理， 知得 所以=，=， 则AE∶EF的值为7，BF∶FC的值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $