重难点专题 平面向量及其应用（专项训练）数学人教B版高一必修第二册

重难点专题 平面向量及其应用 1、 平面向量的线性运算 重难点一 向量加、减法的几何意义 1、 根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解相关问题. 2、平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，可以考虑利用向量知识来求解. 1． 设非零向量满足||=||，则（ ） A. B.||=|| C. ∥ D.|||| 【答案】A 【分析】本题考查了向量加、减法的几何意义. 【详解】解法一：∵||=||， ∴ ∴ 解法二：利用向量加法的平行四边形法则. 在▱ABCD中，设 由||=||，知 从而四边形ABCD为矩形，即ABAD,故 2． 已知在边长为2的等边三角形ABC中，向量满足则（ ） A.2 B.2 C.2 D.3 【答案】C 【分析】本题考查向量加法的几何意义． C 【详解】如图所示，设点D是AC的中点， D 由题可知 A B ∴ 故选C 3．若在中，，，且，，则的形状是( ) A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 【答案】D， 由于，，，所以为等腰直角三角形. 故选：D. 4．已知和都是单位向量，则的取值范围( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解： 重难点二 根据线性运算求参数 此类问题是向量线性运算的逆运算，解决含有参数的向量的线性运算问题一般采用待定系数法，根据向量加、减法及数乘运算，将已知等式中的向量表示出来，然后对比系数就可以求出参数. 5．如图，在中，，P是BN的中点，若，则实数m的值是( ) A. B.1 C. D. 【答案】C 【分析】该题考查向量线性运算的逆运算，可以采用待定系数法，将已知等式中的向量表示出来，然后对比系数，求出参数． 【详解】P，N分别是BN，AC的中点， 又， 故选C 6. 在平行四边形中,是的中点,点P在线段上．若,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】设, 所以, 则,,故; 故选：B. 重难点三 共线向量定理的应用 1、 证明向量共线：对于向量 ，若存在实数，使（），则与共线. 2、 证明三点共线：若存在实数，使,则A,B,C三点共线. 3、 求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列出关于参数的方程（组）求参数的值. 7. 已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为_____. 【答案】. 【分析】主要考查共线向量定理的应用，利用相等向量和共线向量等条件列出关于参数的方程（组）． 【详解】与方向相同， 存在正实数，使得， 又向量不共线，，解得:（舍去）或，的值为2. 故答案:2. 8．如图，在中，，，P为上一点，且，若，，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】主要考查共线向量定理及三点共线的等价转化. 【详解】解析：在中，因为， 所以，， 所以， 即， 因为，所以， 因为P，C，D三点共线，所以，解得， 所以， 而， 所以， 又，，， 则 . 故选：C. 9．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2（正八边形）是由图1（八卦模型图）抽象并以正八边形的中心O为旋转中心顺时针旋转而得到，若，则( ) A. B. C.2 D. 【答案】A 【详解】解析：方法一：过G作，，垂足分别是M，N， ，四边形为正方形， ，又，，即，； 方法二：分别以射线OE，OG为x轴，y轴的正半轴建立直角坐标系， 设，则， ，，， 由得：， ，解得：，. 故选：A. 2、 向量数量积的运算 重难点一 在几何中的应用 平面几何问题转化为向量问题，然后计算解决向量问题，最后还原解决平面几何问题. 10、是所在平面上一点满足，的形状是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【答案】B 【详解】解析：由， 得，即， 两边平方得， 所以，则，即， 所以是直角三角形. 故选：B. 11、在四边形ABCD中，已知，，则四边形ABCD的形状是( ) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对 【答案】C 【详解】解析：由已知 ， 所以.又与不平行， 所以四边形ABCD是梯形. 故选C. 12．如图,在中,,,P为上一点,且满足,若,,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解析：因为所以 因为C,P,D三点共线, 所以即, 又因为, 所以,且,为不共线的非零向量, 所以,解得, 所以, 所以 . 故选：B. 重难点二 与数量积有关的最值问题 向量求最值（范围）的常用方法 1、 利用三角函数求最值. 2、 利用基本不等式求最值. 3、 建立坐标系，设变量构造函数求最值. 4、 数形结合，应用图形的几何性质求最值. 13．已知是边长为2的等边三角形，P为三角形内一点（包括边界），O为的中点，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】解析：如图，在等边中，O为BC的中点， 连接AO，取AO的中点M并连接BM. ， 由于AB=2，BO=1，得：，， 因此可得：， 如图易知：由于P为三角形ABC内一点（包括边界）， 因此当点P与点M重合时，取得最小值，最小值为0， 当点P与点B或点C重合时，取得最大值，最大值为， 综上可得：，即. 故答案为： 14、青花瓷（blueandwhiteporcelain）,又称白地青花瓷,常简称青花,是中国瓷器的主流品种之一,属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪,成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘,已知图二中正六边形的边长为2,圆O的圆心为正六边形的中心,半径为1,若点M在正六边形的边上运动,动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称,则的取值范围是______. 【答案】 【详解】解析：连接AB,OM,如图所示: . 根据图形可知,当点M位于正六边形各边的中点时,有最小值为,此时, 当点M位于正六边形的顶点时,有最大值为2,此时, 故,即的取值范围是. 故答案为:. 15.已知在中，，，若的最小值是，则对于内的任意一点P，的最小值是___________． 【答案】-6 【详解】解析， ， 的最小值为， 的最小值为A到BC的距离， A到的距离为， 取BC的中点D，连接AD， ， ，， ，，， 取AD中点M，则， ，，， P是内的任意一点， ，， 的最小值为-6. 故答案为：-6. 16、等边三角形ABC的外接圆的半径为2,点P是该圆上的动点,则的最大值为( ) A.4 B.7 C.8 D.11 【答案】C 【详解】解析：如图, 等边三角形ABC,O为等边三角形ABC的外接圆的圆心,以O为原点,AO所在直线为y轴,建立直角坐标系.因为,所以,等边三角形ABC的边长为a,则 ,所以,则,. 又因为P是该圆上的动点,所以设,, ,,, ,因为,, ,所以当时,的最大值为8. 故选:C. 3、 向量的模、垂直与夹角问题 重难点一 利用公式法、几何法求向量的模 1、 公式法： ，； ②若，则 ③ 2、几何法： 第一步：利用向量加、减运算的平行四边形法则或三角形法则作出向量. 第二步：利用余弦定理等方法求解 17、已知平面向量与的夹角为，，，则的值为( ) A. B.2 C.4 D. 【答案】B 【详解】解析：因为，所以， 所以， 所以 ， 所以， 故选：B. 18、已知向量，满足，，且与的夹角的余弦值为，则( ) A.3 B. C. D. 【答案】D 【详解】解析：由题意可得， 则. 故选：D 19.已知向量，满足，且对任意的实数t，恒成立，则下列结论正确的是( ) A. B. C.在上的投影向量为 D.当取最小值时， 【答案】ABD 【详解】解析：解析：由题可得 恒成立，即， 所以 ，所以， 所以，故A正确； ，故B正确； 在上的投影向量为，故C错误； ， 表示动点到两定点，距离和的2倍，如图， 关于x轴对称的点为，则， 所以由图可知当，M，B三点共线时， 动点到两定点，距离和的2倍取得最小值， 此时， 所以当取最小值时，，D正确. 故选：ABD 则. 故选：D 重难点二 定义法、坐标法求向量夹角 1、 定义法： 2、 坐标法： 20.已知单位向量,满足,则向量与的夹角为_______________． 【答案】 【详解】解析：,, 又,. 故答案为：. 21.已知两个单位向量，满足，则向量和的夹角为______. 【答案】 【详解】解析：因为向量，为单位向量，所以，， 又，所以，所以， 所以， ， 所以， 又，所以. 故答案为：. 22、已知向量,,且,则向量与的夹角等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解析：由,,得, 由,得,解得,则, 则,,, 因此,而, 所以. 故选:D 23、已知向量，，若与的夹角为锐角，且，则实数t的值为__________. 【答案】3 【详解】解析：已知，，解得：. 设向量与的夹角为 当时，，， 可得：，即与的夹角为钝角，不符合题意； 当时，，， 可得：，即与的夹角为锐角，符合题意； 故答案为：3 4、 利用余弦定理、正弦定理解三角形 重难点一 利用正、余弦定理解三角形 1、 求边：利用正弦定理变形公式等或余弦定理等求解. 2、 求角：利用正弦定理变形公式等或余弦定理变形公式等求解. 3、 利用式子的特点转化：如出现的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理. 24、冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源,结合中国书法的艺术形态,将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体,呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知,书法中的一些特殊画笔都有固定的角度,比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了,如图,测得,,,,若点C恰好在边上,则的值为_____. 【答案】 【详解】解析：由题意,在中,由余弦定理,; 因为,所以, 在中,由正弦定理, 所以,解得, 故答案为:. 25、已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,若,,则( ) A. B. C. D.若,则的面积为8 【答案】ABD 【详解】解析：对于A,由,可得,, 所以,故A正确； 对于B,由于,结合正弦定理可得, 即,所以,故B正确； 对于C,由,则, ,解得,故C错误； 对于D,由,得,解得, 则,由正弦定理得,解得, 所以的面积为,故D正确. 故选：ABD. 26、在中，已知，且，则的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.有一个角为的直角三角形 D.等边三角形 【答案】D 【详解】解析：由可得，又，所以， 由和正弦定理可得，即， 所以，所以，所以的形状为等边三角形， 故选：D. 27、在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若且,则是( ) A.等边三角形 B.顶角为的等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.非直角三角形,也非等腰三角形 【答案】A 【详解】解析：在中,, ,, 又由可得, ,,故是等边三角形. 故选：A. 重难点二 与三角形面积有关的问题 1、 求三角形面积,一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，求出角与边，再求面积. 2、 已知三角形面积解三角形，常选出已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系. 3、已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形. 28、已知在中，，，所对的边分别为a，b，c，的平分线交于K. (1)求证：； (2)若，，，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】解析：(1)证明：在中，由正弦定理得. 在中，由正弦定理得. 又，， 所以. (2)由(1)知，即. 在中，，，， 所以. 因为，所以. 在中，， 解得，. 所以， 所以的面积为. 29、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则( ) A. B.的周长的最大值为 C.当b最大时，的面积为 D.的最大值为 【答案】BC 【详解】解析： 由正弦定理可得，即， 则由余弦定理得，因，则，故A错误； 得， 因，则，当且仅当b=c时等号成立， 则的周长的最大值为，故B正确； 由正弦定理得，则， 故当时，b取最大值2，此时，，故C正确； 由C选项可知， ， 其中，故当时， 取最大值，故D错误. 故选：BC 30、在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，， (1)求角B的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】解析：(1)， ， 即， ，， 又，，， (2)，， ， ，， 的周长为． (3)在锐角三角形ABC中，， 因为根据正弦定理， 所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以 ， 因为， 即，，所以， 即，， 所以. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 平面向量及其应用 1、 平面向量的线性运算 重难点一 向量加、减法的几何意义 1、 根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解相关问题. 2、平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，可以考虑利用向量知识来求解. 1． 设非零向量满足||=||，则（ ） A. B.||=|| C. ∥ D.|||| 2． 已知在边长为2的等边三角形ABC中，向量满足则（ ） A.2 B.2 C.2 D.3 3．若在中，，，且，，则的形状是( ) A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 4．已知和都是单位向量，则的取值范围( ) A. B. C. D. 重难点二 根据线性运算求参数 此类问题是向量线性运算的逆运算，解决含有参数的向量的线性运算问题一般采用待定系数法，根据向量加、减法及数乘运算，将已知等式中的向量表示出来，然后对比系数就可以求出参数. 5．如图，在中，，P是BN的中点，若，则实数m的值是( ) A. B.1 C. D. 6. 在平行四边形中,是的中点,点P在线段上．若,则( ) A. B. C. D. 重难点三 共线向量定理的应用 1、 证明向量共线：对于向量 ，若存在实数，使（），则与共线. 2、 证明三点共线：若存在实数，使,则A,B,C三点共线. 3、 求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列出关于参数的方程（组）求参数的值. 7. 已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为_____. 8．如图，在中，，，P为上一点，且，若，，则的值为( ) A. B. C. D. 9．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2（正八边形）是由图1（八卦模型图）抽象并以正八边形的中心O为旋转中心顺时针旋转而得到，若，则( ) A. B. C.2 D. 2、 向量数量积的运算 重难点一 在几何中的应用 平面几何问题转化为向量问题，然后计算解决向量问题，最后还原解决平面几何问题. 10、是所在平面上一点满足，的形状是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 11、在四边形ABCD中，已知，，则四边形ABCD的形状是( ) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对 12．如图,在中,,,P为上一点,且满足,若,,则的值为( ) A. B. C. D. 重难点二 与数量积有关的最值问题 向量求最值（范围）的常用方法 1、 利用三角函数求最值. 2、 利用基本不等式求最值. 3、 建立坐标系，设变量构造函数求最值. 4、 数形结合，应用图形的几何性质求最值. 13．已知是边长为2的等边三角形，P为三角形内一点（包括边界），O为的中点，则的取值范围是________. 14、青花瓷（blueandwhiteporcelain）,又称白地青花瓷,常简称青花,是中国瓷器的主流品种之一,属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪,成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘,已知图二中正六边形的边长为2,圆O的圆心为正六边形的中心,半径为1,若点M在正六边形的边上运动,动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称,则的取值范围是______. 15.已知在中，，，若的最小值是，则对于内的任意一点P，的最小值是___________． 16、等边三角形ABC的外接圆的半径为2,点P是该圆上的动点,则的最大值为( ) A.4 B.7 C.8 D.11 3、 向量的模、垂直与夹角问题 重难点一 利用公式法、几何法求向量的模 1、 公式法： ，； ②若，则 ③ 2、几何法： 第一步：利用向量加、减运算的平行四边形法则或三角形法则作出向量. 第二步：利用余弦定理等方法求解 17、已知平面向量与的夹角为，，，则的值为( ) A. B.2 C.4 D. 18、已知向量，满足，，且与的夹角的余弦值为，则( ) A.3 B. C. D. 19.已知向量，满足，且对任意的实数t，恒成立，则下列结论正确的是( ) A. B. C.在上的投影向量为 D.当取最小值时， 重难点二 定义法、坐标法求向量夹角 1、 定义法： 2、 坐标法： 20.已知单位向量,满足,则向量与的夹角为_______________． 21.已知两个单位向量，满足，则向量和的夹角为______. 22、已知向量,,且,则向量与的夹角等于( ) A. B. C. D. 23、已知向量，，若与的夹角为锐角，且，则实数t的值为__________. 4、 利用余弦定理、正弦定理解三角形 重难点一 利用正、余弦定理解三角形 1、 求边：利用正弦定理变形公式等或余弦定理等求解. 2、 求角：利用正弦定理变形公式等或余弦定理变形公式等求解. 3、 利用式子的特点转化：如出现的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理. 24、冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源,结合中国书法的艺术形态,将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体,呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知,书法中的一些特殊画笔都有固定的角度,比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了,如图,测得,,,,若点C恰好在边上,则的值为_____. 25、已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,若,,则( ) A. B. C. D.若,则的面积为8 26、在中，已知，且，则的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.有一个角为的直角三角形 D.等边三角形 27、在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若且,则是( ) A.等边三角形 B.顶角为的等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.非直角三角形,也非等腰三角形 重难点二 与三角形面积有关的问题 1、 求三角形面积,一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，求出角与边，再求面积. 2、 已知三角形面积解三角形，常选出已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系. 3、已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形. 28、已知在中，，，所对的边分别为a，b，c，的平分线交于K. (1)求证：； (2)若，，，求的面积. 29、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则( ) A. B.的周长的最大值为 C.当b最大时，的面积为 D.的最大值为 30、在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，， (1)求角B的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $