第6章 6.2.3 平面向量的坐标及其运算（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦平面向量的坐标及其运算核心知识点，从向量正交分解与坐标表示切入，系统梳理坐标加减法、数乘运算规则，延伸至两点间距离、中点坐标公式及向量共线的坐标条件，构建从几何表示到代数运算的完整学习支架。 资料以问题驱动引导学生用数学眼光抽象向量坐标，通过例题解析与跟踪训练培养逻辑推理和运算能力，体现数学思维。课时对点练覆盖不同题型，课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化用数学语言表达向量关系的能力。

6.2.3　平面向量的坐标及其运算 学习目标　1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 导语　 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.那么，如何用坐标表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 一、平面向量的坐标表示 问题1　如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？ 提示　由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj. 知识梳理 1.向量垂直 平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直. 2.正交基底 如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解. 3.向量的坐标 一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a=xe1+ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a=(x，y). 注意点： 求平面上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种： (1)将向量用单位向量e1，e2表示出来. (2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标. 例1　(课本例1)如图所示，写出向量a，b的坐标. 解　因为a的始点在原点，所以由a的终点坐标可知a=(5，-1). 又因为b=-4e1+e2，所以b=(-4，1). 例1　如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示，，，并求出它们的坐标. 解　由图可知，=6i+2j，=2i+4j，=-4i+2j， 它们的坐标分别为=(6，2)，=(2，4)，=(-4，2). 反思感悟　求一个向量的坐标，可以把该向量进行正交分解，在相应的直角三角形内求向量的长度，从而求出对应的坐标. 跟踪训练1　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知OA=4，AB=3，∠AOx=45°，∠OAB=105°，=a，=b，四边形OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标； (2)求向量的坐标. 解　(1)如图，作AM⊥x轴于点M， 则OM=OA·cos 45°=4×=2， AM=OA·sin 45°=4×=2， 所以A(2，2)，故a=(2，2). 因为∠AOC=180°-105°=75°，∠AOy=45°， 所以∠COy=30°.又OC=AB=3， 所以C，所以==， 即b=. (2)=-=. 二、平面上向量的运算与坐标的关系 问题2　已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能得出a+b，a-b的坐标吗？ 提示　a+b=(x1e1+y1e2)+(x2e1+y2e2)=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2，即a+b=(x1+x2，y1+y2).同理可得a-b=(x1-x2，y1-y2). 问题3　已知a=(x，y)，你能得出λa的坐标吗？ 提示　λa=λ(xe1+ye2)=λxe1+λye2，即λa=(λx，λy). 问题4　如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？ 提示　=-=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2-x1，y2-y1). 知识梳理 向量的 加、减法 若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b=(x1+x2，y1+y2)，a-b=(x1-x2，y1-y2)，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差 数乘向量 若a=(x，y)，λ∈R，则λa=(λx，λy)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积 向量的数 乘、加、减 混合运算 若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，u，v∈R，则ua±vb=(ux1±vx2，uy1±vy2) 向量的模 若a=(x，y)，则|a|= 例2　(1)(课本例2)已知a=(-2，3)，b=(3，-3)，求下列向量的坐标： ①a+b； ②2a-5b； ③b. 解　①a+b=(-2，3)+(3，-3)=(-2+3，3-3)=(1，0). ②2a-5b=2(-2，3)-5(3，-3) =(-4，6)-(15，-15)=(-19，21). ③b=(3，-3)=(1，-1). (2)(课本例3)已知a=(，1)，b=(-2，2)，求|a|，|b|. 解　由已知可得 |a|==2， |b|===4. 例2　(1)已知向量a，b的坐标分别是(-1，2)，(3，-5)，求a+b，a-b，3a，2a+3b的坐标； 解　a+b=(-1，2)+(3，-5)=(2，-3)， a-b=(-1，2)-(3，-5)=(-4，7)， 3a=3(-1，2)=(-3，6)， 2a+3b=2(-1，2)+3(3，-5)=(-2，4)+(9，-15)=(7，-11). (2)已知点A(-1，2)，B(2，8)，且=，=-，求点C，D和的坐标. 解　设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由题意可得=(x1+1，y1-2)，=(3，6)， =(-1-x2，2-y2)，=(-3，-6). ∵=，=-， ∴(x1+1，y1-2)=(3，6)=(1，2)， (-1-x2，2-y2)=-(-3，-6)=(1，2)， 则有和 解得和 ∴点C，D的坐标分别为(0，4)和(-2，0)， ∴=(-2，-4). 反思感悟　平面向量坐标的线性运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及数乘向量的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 跟踪训练2　(1)已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|等于(　　) A. B.2 C.5 D.50 答案　A 解析　∵a-b=(2，3)-(3，2)=(-1，1)， ∴|a-b|==. (2)已知M(3，-2)，N(-5，-1)，=，则P点坐标为　　　　　　.  答案　 解析　设P(x，y)，则=(x-3，y+2)，=(-8，1)， ∴==(-8，1)=， ∴解得 故P点坐标为. 三、平面内两点间的距离、中点坐标 问题5　直线l上有两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，你能写出这两点之间的距离吗？ 若P点位于P1P2中点位置，你能写出P点的坐标吗？ 提示　P1P2=||=，P点的坐标为. 知识梳理　平面直角坐标系内两点间的距离公式与中点坐标公式 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，则AB=||=，线段AB的中点坐标为. 例3　(1)(课本例4)已知A(-2，1)，B(1，3)，求线段AB的中点M与三等分点P，Q的坐标(如图所示). 解　显然=+)=[(-2，1)+(1，3)]=. 因为=-=(1，3)-(-2，1)=(3，2)， 又因为=， 所以-=， 因此=+=(-2，1)+(3，2)=. 类似地，有=+=(-2，1)+(3，2)=. 因此M，P，Q. (2)(课本例5)已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-2，1)，B(2，2)，C(3，4)，而且A，B，C，D按逆时针方向排列，求： ①AB，AD； ②D点的坐标. 解　①不难看出AB==. 又因为AD=BC， 所以AD=BC==. ②由题意知=，所以-=-. 因此=+-=(-2，1)+(3，4)-(2，2)=(-1，3)，从而D(-1，3). 例3　已知点A(0，1)，B(3，2)，向量=(-4，-3)，点M为BC的中点. (1)求点M的坐标； (2)求BC+2BM的长. 解　(1)设C(x，y)，则=(x-0，y-1)=(x，y-1)=(-4，-3)，即C(-4，-2)，由中点坐标公式知，M. (2)由两点间的距离公式，可知BC===， BM===. ∴BC+2BM=+=2. ∴BC+2BM的长为2. 反思感悟　利用平面内两点间的距离公式及中点坐标公式时，关键是确定线段两个端点的坐标. 跟踪训练3　(1)已知平面向量=(1，2)，=(3，4)，则向量的模是(　　) A. B. C.2 D.5 答案　C 解析　∵向量=(1，2)，=(3，4)， ∴=-=(1，2)-(3，4)=(-2，-2)， ∴||=2. (2)已知A(2，3)，B(4，-3)，点P在线段AB的延长线上，且||=2||，则点P的坐标为(　　) A. B. C.(6，-9) D.(-9，6) 答案　C 解析　因为点P在线段AB的延长线上，且||=2||，所以点B为AP的中点， 设点P(x，y)，则 解得 所以点P的坐标为(6，-9). 四、向量平行的坐标表示 问题6　已知向量a，b，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？ 提示　设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0， 由a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a=λb，则有(x1，y1)=λ(x2，y2)⇒消去λ，得x1y2-x2y1=0. 知识梳理　向量平行的坐标表示 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1=x1y2. 例4　(1)(课本例6)已知=(2，5)，a=(1，y)，∥a，求y的值. 解　因为∥a，所以1×5=2×y，解得y=. 例4　(1)已知向量a=(1，2)，b=(λ，1)，若(a+2b)∥(2a-2b)，则λ的值等于(　　) A. B. C.1 D.2 答案　A 解析　a+2b=(1，2)+2(λ，1)=(1+2λ，4)， 2a-2b=2(1，2)-2(λ，1)=(2-2λ，2)， 由(a+2b)∥(2a-2b)可得2(1+2λ)-4(2-2λ)=0， 解得λ=. (2)已知=(k，2)，=(1，2k)，=(1-k，-1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k=　　　　.  答案　- 解析　=-=(1-k，2k-2)， =-=(1-2k，-3)， 由题意可知∥， 所以(-3)×(1-k)-(2k-2)(1-2k)=0， 解得k=-(k=1不合题意，舍去). 反思感悟　向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，b∥a(a≠0)推出b=λa(λ是唯一实数). (2)利用向量共线的坐标表达式x2y1=x1y2直接求解. 跟踪训练4　已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，-3).判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ 解　=(0，4)-(2，1)=(-2，3). =(5，-3)-(1，3)=(4，-6). ∵=-2， ∴与共线且方向相反. 1.知识清单： (1)平面向量的正交分解及坐标表示. (2)平面向量坐标的运算. (3)两点间的距离公式与中点坐标公式. (4)向量平行的坐标表示. 2.方法归纳：转换法. 3.常见误区：向量的坐标不一定是终点的坐标；向量平行的坐标表示. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.如图所示，{e1，e2}为单位正交基，则向量a，b的坐标分别是(　　) A.(3，4)，(2，-2) B.(2，3)，(-2，-3) C.(2，3)，(2，-2) D.(3，4)，(-2，-3) 答案　C 解析　由图可知a=2e1+3e2，b=2e1-2e2， ∴a=(2，3)，b=(2，-2). 2.若a=(2，1)，b=(1，0)，则3a-2b的坐标是(　　) A.(5，3) B.(4，3) C.(8，3) D.(0，-1) 答案　B 解析　3a-2b=3(2，1)-2(1，0)=(4，3). 3.已知向量a=(1，-2)，b=(x，4)，且a∥b，则|a-b|等于(　　) A.5 B.3 C.2 D.2 答案　B 解析　∵a∥b，∴1×4-(-2)×x=0， ∴x=-2，即b=(-2，4)， ∴a-b=(1-(-2)，-2-4)=(3，-6)， ∴|a-b|==3. 4.已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且=2，则顶点D的坐标为　　　　.  答案　 解析　设D点坐标为(x，y)， 则=(x，y-2)，又=(4，3)， 故由=2，得 ∴∴D. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.设平面向量a=(3，5)，b=(-2，1)，则a-2b等于(　　) A.(7，3) B.(7，7) C.(1，7) D.(1，3) 答案　A 解析　a-2b=(3，5)-2(-2，1)=(7，3). 2.已知向量a=(1，2)，2a+b=(3，2)，则|b|等于(　　) A. B.2 C. D.2 答案　A 解析　b=(3，2)-2a=(3，2)-(2，4)=(1，-2)， 故|b|==. 3.在四边形ABCD中，A(-2，0)，B(-1，3)，C(3，4)，D(2，3)，E，F分别为边AB，CD的中点，则等于(　　) A.(4，2) B.(-4，-2) C.(8，4) D.(-8，-4) 答案　A 解析　由题意得E，F，所以=-=(4，2). 4.已知向量a=(1，-1)，b=(-1，2)，c=(-3，3).若非零实数m，n满足(na+b)∥(b-mc)，则等于(　　) A.3 B. C.- D.-3 答案　A 解析　由题意可知，na+b=n(1，-1)+(-1，2)=(n-1，-n+2)， b-mc=(-1，2)-m(-3，3)=(-1+3m，2-3m). 因为(na+b)∥(b-mc)， 所以(n-1)(2-3m)=(-n+2)(-1+3m)， 整理得n=3m，即=3. 5.已知a=(1，2)，b=(3，4)，=a+5b，=-2a+8b，=3，则(　　) A.A，B，C三点共线 B.A，C，D三点共线 C.A，B，D三点共线 D.B，C，D三点共线 答案　C 解析　由题意知，=a+5b=(16，22)， =-2a+8b=(22，28)， =3(a-b)=(-6，-6)， ∴=+=(16，22)=， ∴∥ ，又与有公共点B， ∴A，B，D三点共线，C正确，同理可判断A，B，D错误. 6.(多选)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知=(-1，4)，=(8，-5)，若P是线段AB的三等分点，则点P的坐标是(　　) A.(2，1) B.(3，0) C.(4，-1) D.(5，-2) 答案　AD 解析　因为=(-1，4)，=(8，-5)， 所以=-=(9，-9). 设P(x，y)，则=(x+1，y-4). 又P是线段AB的三等分点， 所以=或=， 即或 解得或 即点P的坐标是(2，1)或(5，-2). 7.(5分)已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，=3，=2，则的坐标为　　　　.  答案　(9，-18) 解析　∵=3(1，8)=(3，24)， =2(6，3)=(12，6)， ∴=-=(12，6)-(3，24)=(9，-18). 8.(5分)设向量a，b满足|a|=2，b=(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为　　　　.  答案　(-4，-2) 解析　因为b=(2，1)，且a与b的方向相反， 所以设a=(2λ，λ)(λ<0). 因为|a|=2，所以4λ2+λ2=20， 解得λ2=4，λ=-2，所以a=(-4，-2). 9.(10分)已知向量=(4，3)，=(-3，-1)，点A(-1，-2). (1)求线段BD的中点M的坐标；(5分) (2)若点P(2，y)满足=λ(λ∈R)，求y与λ的值.(5分) 解　(1)设点B的坐标为(x1，y1). ∵=(4，3)=(x1+1，y1+2). ∴∴ ∴B(3，1).同理可得D(-4，-3). 设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)， 则x2==-，y2==-1， ∴点M的坐标为. (2)由已知得=(3，1)-(2，y)=(1，1-y)， =(-4，-3)-(3，1)=(-7，-4). 又=λ， ∴(1，1-y)=λ(-7，-4)=(-7λ，-4λ)， 则∴ 10.(11分)在平面内已知向量a=(3，2)，b=(-1，2)，c=(4，1). (1)求满足a=mb+nc的实数m，n的值；(5分) (2)若向量d满足(d-c)∥(a+b)，且|d-c|=，求向量d的坐标.(6分) 解　(1)由已知条件以及a=mb+nc，可得(3，2)=m(-1，2)+n(4，1)=(-m+4n，2m+n). ∴解得 (2)设向量d=(x，y)，d-c=(x-4，y-1)，a+b=(2，4). ∵(d-c)∥(a+b)，|d-c|=， ∴解得或 ∴向量d的坐标为(3，-1)或(5，3). 11.已知向量a，b满足2a-b=(0，3)，a-2b=(-3，0)，λa+μb=(-1，1)，则λ+μ等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D.25 答案　B 解析　设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 又2a-b=(0，3)，a-2b=(-3，0)， 所以且 解得 即a=(1，2)，b=(2，1). 所以λa+μb=λ(1，2)+μ(2，1)=(λ+2μ，2λ+μ)=(-1，1)， 则解得 故λ+μ=0. 12.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，(1，-5)，则第四个顶点的坐标是(　　) A.(1，5)或(5，5) B.(1，5)或(-3，-5) C.(5，-5)或(-3，-5) D.(1，5)或(5，-5)或(-3，-5) 答案　D 解析　设A(-1，0)，B(3，0)，C(1，-5)，第四个顶点为D， ①若这个平行四边形为▱ABCD， 则=，∴D(-3，-5)； ②若这个平行四边形为▱ACDB， 则=，∴D(5，-5)； ③若这个平行四边形为▱ACBD， 则=，∴D(1，5). 综上所述，D点坐标为(1，5)或(5，-5)或(-3，-5). 13.已知向量a=(-2，1)，b=(m，2)，|a+2b|=|a-2b|，则实数m的值为(　　) A.-1 B.- C. D.1 答案　D 解析　因为向量a=(-2，1)，b=(m，2)， 所以a+2b=(-2+2m，5)，a-2b=(-2-2m，-3)， 又因为|a+2b|=|a-2b|， 所以=， 整理得16m=16，解得m=1. 14.(5分)已知a=(-2，3)，b∥a，b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为　　　　.  答案　或 解析　由b∥a，可设b=λa=(-2λ，3λ). 设B(x，y)，则=(x-1，y-2)=b. 由⇒ 又B点在坐标轴上，则1-2λ=0或3λ+2=0， 所以B或. 15.(多选)设A1，A2，A3，A4是两两不同的四个点，若=λ，=μ，且+=2，则称A3，A4调和分割A1，A2.现已知平面上两点C，D调和分割A，B，则下列说法正确的是(　　) A.点C可能是线段AB的中点 B.点D不可能是线段AB的中点 C.点C，D可能同时在线段AB上 D.点C，D不可能同时在线段AB的延长线上 答案　BD 解析　由已知不妨设A(0，0)，B(1，0)，C(c，0)，D(d，0)， 由C，D调和分割A，B 可知，=λ，=μ，+=2，则(c，0)=λ(1，0)，(d，0)=μ(1，0)， 所以λ=c，μ=d， 代入+=2得+=2，(*) 对于A，B，若C是线段AB的中点，则c=，代入(*)得，d不存在，故C不可能是线段AB的中点，同理D不可能是线段AB的中点，故A错误，B正确； 对于C， 若C，D同时在线段AB上，则0≤c≤1，0≤d≤1代入(*)得，c=d=1， 此时C和D点重合，与已知矛盾，故C错误； 对于D，若C，D同时在线段AB的延长线上时，则c>1，d>1，则+<2，这与+=2矛盾，所以C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确. 16.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2). (1)若++=0，求的坐标；(5分) (2)若=m+n(m，n∈R)，且点P在函数y=x+1的图象上，求m-n的值.(7分) 解　(1)设点P的坐标为(x，y)， 因为++=0， 又++=(1-x，1-y)+(2-x，3-y)+(3-x，2-y)=(6-3x，6-3y). 所以解得 所以点P的坐标为(2，2)， 故=(2，2). (2)设点P的坐标为(x0，y0)， 因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)， 所以=(2，3)-(1，1)=(1，2)， =(3，2)-(1，1)=(2，1)， 因为=m+n， 所以(x0，y0)=m(1，2)+n(2，1) =(m+2n，2m+n)， 所以两式相减得m-n=y0-x0， 又因为点P在函数y=x+1的图象上， 所以y0-x0=1， 所以m-n=1. 学科网（北京）股份有限公司 $