第6章 §6.3 平面向量线性运算的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦向量在几何与物理中的应用这一核心知识点，系统梳理向量基底法（选基底表向量证几何关系）、坐标法（建系用坐标运算解长度平行问题）及物理应用（力速度等向量合成与分解），构建从工具到应用的完整学习支架。 资料通过分层例题（课本例与拓展例结合）、反思感悟提炼方法，培养学生用数学眼光抽象问题、数学思维推理运算的能力，如例1用基底法证平行四边形，例3解物理力平衡问题。课中辅助教师引导建模，课后跟踪训练与对点练助学生巩固，查漏补缺。

学习目标　1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题.2.体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决几何问题、物理问题的能力. 导语　 向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，另外向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰. 一、向量基底法在平面几何中的应用 例1　(课本例2)如图所示，已知平行四边形ABCD中，E，F在对角线BD上，并且BE=FD. 求证：四边形AECF是平行四边形. 证明　由已知可设==a，==b， 则=+=a+b， =+=b+a. 又因为a+b=b+a，所以=， 因此AE FC，从而可知四边形AECF是平行四边形. 例1　设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用平面向量证明：PQ∥AB. 证明　设=λ(λ>0且λ≠1)， 因为=-=+- =+-) =+[(-)-(+)] =+-) =+)=(-λ+1)， 所以∥，又P，Q，A，B四点不共线， 所以PQ∥AB. 反思感悟　用向量解决平面几何问题的方法之一 向量基底法：选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算. 跟踪训练1　如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且==.求证：点E，O，F在同一条直线上. 证明　设=m，=n. 由==，知E，F分别是CD，AB的三等分点， 所以=+=+=-m+(m+n)=m+n.=+=+=(m+n)-m=m+n， 所以=. 又O为和的公共点，所以点E，O，F在同一条直线上. 二、向量坐标法在平面几何中的应用 例2　如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，四边形PECF是矩形，用平面向量证明PA=EF. 证明　建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，||=λ(λ>0)， 则F，P，E，A(0，a). 所以=， =， 因为||2=+ =λ2-aλ+a2， ||2=+=λ2-aλ+a2， 所以||=||，即PA=EF. 反思感悟　用向量解决平面几何问题的方法之二 向量坐标法：对于有些平面几何问题(如与长方形、正方形、直角三角形等有关的问题)，通过建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，利用代数运算解决平面几何中的长度、平行等问题. 跟踪训练2　如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量=λ+μ，则λ+μ的最大值为　　　　.  答案　3 解析　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为2，点P的横坐标为x，x∈[0，2]，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(x，2). ∴=(2，2)，=(2，-2)，=(x，2). ∵=λ+μ=λ(2，-2)+μ(x，2)=(2λ+xμ，-2λ+2μ)， ∴解得 ∴λ+μ=. 令f(x)==-1(0≤x≤2)， ∵f(x)在[0，2]上单调递减， ∴f(x)max=f(0)=3. 三、向量在物理中的应用 我们在物理中已经学习过，利用向量可以描述物理学中的位移、力、速度、加速度等，因此，在涉及这些量的运算时，我们都可以借助向量来完成. (1)力、速度、位移的合成就是向量的加法，符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则. (2)力、速度、位移的分解就是向量的减法，符合向量减法的三角形法则和平行四边形法则. (3)动量mv就是数乘向量，符合数乘向量的运算律. 注意点： 用向量方法解决物理问题的步骤 (1)转化：把物理问题中的相关量用向量表示，转化为向量问题的模型. (2)运算：通过向量的运算使问题得以解决. (3)还原：把结果还原为物理问题. 例3　(课本例4)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知物体所受的重力大小为50 N，求每条绳上的拉力大小. 解　因为物体处于平衡状态，所以F1+F2是重力的相反向量，因此|F1+F1|=50(N). 又由图与向量加法的平行四边形法则可知，F1+F2的方向是竖直向上的， 且|F1+F2|=2|F1|sin 45°=2|F2|sin 45°， 所以|F1|=|F2|==25(N). 因此，每条绳上的拉力为25 N. 例3　如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°，求绳子AC和BC所受拉力的大小.(绳子的重量忽略不计) 解　如图所示，设，分别表示绳子AC，BC所受的拉力，10 N的重力用表示， 则+=. 由题意可得∠ECG=180°-150°=30°， ∠FCG=180°-120°=60°. ∴||=||cos 30°=10×=5(N)， ||=||cos 60°=10×=5(N). 故绳子AC所受的拉力为5 N，绳子BC所受的拉力为5 N. 反思感悟　由于力、位移、速度都是向量，对于解决力、位移、速度的大小、方向问题均可利用向量知识解决. 跟踪训练3　一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为南偏东30°，风速为4 m/s，这时气象台报告实际风速为2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小. 解　依据物理知识，有三个相对速度：汽车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地=v风车+v车地，如图，根据向量加法的平行四边形法则，可知表示向量v风地的有向线段是▱ACDB的对角线. 因为||=4 m/s，∠ACD=30°，||=2 m/s， 所以∠ADC=90°，在Rt△ADC中， ||=||·cos 30°=2(m/s). 所以风的实际方向是吹向正南方向；汽车速度的大小为2 m/s. 1.知识清单： (1)向量基底法和坐标法在平面几何中的应用. (2)向量在物理中的应用. 2.方法归纳：转化法、数形结合法. 3.常见误区：不能转化为向量问题. 1.在△ABC中，已知顶点A(4，1)，B(7，5)，C(-4，7)，则BC边的中线AD的长是(　　) A.2 B. C.3 D. 答案　B 解析　∵BC的中点为D，=， ∴||=. 2.已知三个力F1=(-2，-1)，F2=(-3，2)，F3=(4，-3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，需再加上一个力F4，则F4等于(　　) A.(-1，-2) B.(1，-2) C.(-1，2) D.(1，2) 答案　D 解析　∵物体保持平衡， ∴F1+F2+F3+F4=0， ∴F4=-F1-F2-F3 =-(-2，-1)-(-3，2)-(4，-3)=(1，2). 3.某人以速度a km/h向东行走，此时正刮着时速为a km/h的南风，那么此人感受到的风向、风速为(　　) A.东南风，a km/h B.东风，a km/h C.南风，a km/h D.西南风，a km/h 答案　A 解析　如图所示，设人的速度为v1，风速为v2，则人感受到的风速为v，且|v|=a. 4.如图，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.  答案　(3，3) 解析　设点P(x，y)， 则=(x，y)，=(4，4)， =(x-4，y-0)=(x-4，y)， =(2-4，6-0)=(-2，6)， 由与共线得4x-4y=0， ① 由与共线得6(x-4)-(-2)y=0， ② 联立①②，解得x=3，y=3， 即点P的坐标为(3，3). 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.已知作用在点A的三个力F1=(3，4)，F2=(2，-5)，F3=(3，1)且A(1，1)，则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为(　　) A.(9，1) B.(1，9) C.(9，0) D.(0，9) 答案　A 解析　F=F1+F2+F3=(3，4)+(2，-5)+(3，1)=(8，0)，设合力F的终点为P(x，y)， 则=+F=(1，1)+(8，0)=(9，1). 2.已知四边形ABCD各顶点坐标是A，B，C，D，则四边形ABCD是(　　) A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形 答案　A 解析　∵=，=(3，4)， ∴=， ∴∥且||≠||. ∴四边形ABCD是梯形. 3.当两个人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F|，若|F|=|G|，则θ的值为(　　) A.30° B.60° C.90° D.120° 答案　D 解析　作=F1，=F2，=-G(图略)， 则=+， 当|F1|=|F2|=|G|时，△OAC为正三角形， 所以∠AOC=60°，从而∠AOB=120°， 即θ的值为120°. 4.O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心).若=+，则∠BAC等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　C 解析　取BC的中点D，连接AD(图略)， 则+=2. 由题意得3=2， ∴AD为BC的中线且O为重心.又O为外心， ∴△ABC为正三角形， ∴∠BAC=60°. 5.已知a=(-1，)，=a-b，=a+b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积是(　　) A. B.2 C.2 D.4 答案　D 解析　因为a=(-1，)， 所以|a|==2. 设AB的中点为C，则=+)=a， 则||=|a|=2. 所以在Rt△AOB中，||=2||=4， 所以S△AOB=×4×2=4. 6.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若=+，=λ，则λ等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD边长为6， 则A(0，0)，B(6，0)，D(0，6)，C(6，6)， E(6，3)，F(3，6)， ∴=+=(6，0)+(0，6)=(4，5)， ∴G(4，5)，=(-2，2)，=(-3，3)， ∴=，∴λ=. 7.(5分)在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足=++)，则||=　　　　.  答案　1 解析　如图，设BC边的中点为D，连接AD，则+)=，=++)⇒=+⇒-=⇒=， 因此||=||=1. 8.(5分)设O是△ABC内部一点，且+=-2，则△AOB与△AOC的面积之比为　　　　.  答案　1∶2 解析　设D为AC的中点， 如图所示，连接OD， 则+=2. 又+=-2， 所以=-， 即O为BD的中点， 从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2. 9.(10分)河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 km/h，求小船的实际航行速度. 解　设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作=a，=b，以，为邻边作矩形OACB，连接，如图，则=a+b，并且即为小船的实际航行速度. ||==20(km/h)， tan∠AOC==， ∴∠AOC=60°， ∴小船的实际航行速度为20 km/h，按北偏东30°的方向航行. 10.(11分)如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，连接BE，BF，分别交AC于R，T两点.求证：AR=RT=TC. 证明　设=a，=b，=r，=t， 则=a+b. 由于与共线， 所以可设r=n(a+b)， 因为=-=a-b，与共线， 所以可设=m=m， 因为=+， 所以r=b+m， 所以n(a+b)=b+m， 即(n-m)a+b=0. 由于向量a，b不共线，要使上式成立， 则有解得 所以=.同理=. 所以AR=RT=TC. 11.(多选)点P是△ABC所在平面内一点，满足|-|-|+-2|=0，则△ABC的形状不可能是(　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案　AD 解析　∵P是△ABC所在平面内一点， 且|-|-|+-2|=0， ∴||-|(-)+(-)|=0， 即||=|+|， ∴|-|=|+|，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC(图略)， 由向量加法和减法的几何意义知平行四边形ABDC为矩形， ∴⊥，∴∠A=90°， 则△ABC一定是直角三角形.故选AD. 12.(5分)设P为△ABC所在平面上一点，且满足+2=m(m>0)，若△ABP的面积为2，则△ABC的面积为　　　　.  答案　3 解析　因为+2=m(m>0)，所以+=(m>0)，令=+，则-=-，所以=，所以D为AC上靠近C的三等分点，因为=，所以∥，所以S△ABP=S△ABD=S△ABC=2，所以S△ABC=3. 13.(5分)一条河宽为800 m，一艘船从A处出发想要垂直到达河正对岸的B处，若船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需的时间为　　　min.  答案　3 解析　由题意作出示意图，如图， ∵v实际=v船+v水=v1+v2， |v1|=20 km/h，|v2|=12 km/h， ∴|v实际|= ==16(km/h). ∴所需时间t==0.05(h)=3(min). ∴该船到达B处所需的时间为3 min. 14.(5分)已知在直角梯形ABCD中，AB=AD=2CD=2，∠ADC=90°，若点M在线段AC上，则|+|的取值范围为　　　　.  答案　 解析　以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)， D(0，2)，设=λ(0≤λ≤1)， 则M(λ，2λ)， 故=(-λ，2-2λ)，=(2-λ，-2λ)， 则+=(2-2λ，2-4λ)， |+|= =， 当λ=0时，|+|取得最大值为2； 当λ=时，|+|取得最小值为， ∴|+|∈. 15.(多选)如图，在△ABC中，=3，AC边上存在点E满足=λ(λ>0)，直线CD和直线BE交于点F，若=μ(μ>0)，则(　　) A.=+ B.λμ=4 C.+的最小值为12 D.≤ 答案　ABD 解析　选项A，由题意可得=+=+=+-)=+，说法正确； 选项B，因为=λ(λ>0)，=μ(μ>0)， 所以由=+可知 =+， 即=+， 又因为B，F，E三点共线， 所以+=1，解得λμ=4，说法正确； 选项C，因为λ>0，μ>0，λμ=4， 所以+==≥×2=4， 当且仅当=，即λ=，μ=4时等号成立，所以+的最小值为4，说法错误； 选项D，因为=λ(λ>0)，=μ(μ>0)， 所以===， 又因为λ+μ≥2=4，当且仅当λ=μ=2时等号成立， 所以=≤，说法正确. 16.(12分)一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天的水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向. 解　如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1+v2=a.易求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为2 km/h.船本身的速度为v3，则a+v3=v，即v3=v-a，由数形结合知，v3的方向是北偏西60°，大小是 km/h. 学科网（北京）股份有限公司 $