第4章 4.1.1 实数指数幂及其运算（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦实数指数幂及其运算核心知识点，从n次方根概念切入，通过问题链构建根式性质，进而实现根式与分数指数幂的互化，延伸至有理数及实数指数幂运算性质，最终落脚于指数式条件求值，形成递进式学习支架。 以毕达哥拉斯学派无理数发现为情境引入，培养数学眼光，通过类比平方根、立方根抽象n次方根概念发展数学思维，借助规范运算与符号表达提升数学语言能力。课中助力教师引导探究，课后例题与对点练帮助学生巩固查漏。

4.1.1　实数指数幂及其运算 学习目标　1.理解n次方根及根式的概念.2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.3.掌握根式与分数指数幂的互化.4.掌握有理数指数幂的运算性质. 导语 古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生，这就是本节课我们要学习的根式. 一、n次方根 问题1　若x2=3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎样表示？ 提示　 这样的x有2个，它们叫做3的平方根，表示为，-. 问题2　如果x2=a，那么x叫做a的什么？这样的x有几个？x3=a呢？ 提示　如果x2=a，那么x叫做a的平方根(或二次方根)，当a>0时，这样的x有两个；当a=0时，a只有一个平方根；当a<0时，a在实数范围内没有平方根.如果x3=a，那么x叫做a的立方根(或三次方根)，这样的x有且只有一个. 问题3　类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根的定义，你认为n次方根应该是什么？ 提示　比如(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4=81，我们把±3叫做81的4次方根；(-2)5=-32，我们把-2叫做-32的5次方根；类比上述过程，我们可以得到：如果2n=a，那么我们把2叫做a的n次方根. 知识梳理 1.a的n次方根的概念 一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn=a，则x称为a的n次方根. 2.根式的意义和性质 当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数. 根式的性质： (1)()n=a. (2)= 注意点： (1)对于()n=a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0. (2)()n与意义不同，比如=-3，=3，而没有意义，故()n≠. (3)当a≥0时，()n=；当a<0且n为奇数时，()n=；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序. 例1　(1)化简下列各式： ①+()5； ②+()6； ③(a≤1). 解　①原式=(-2)+(-2)=-4. ②原式=|-2|+2=2+2=4. ③原式=|3a-3|=3|a-1|=3-3a. 延伸探究1　将例1(1)的②+()6改为“+”， 试化简该式. 解　+=a+|a|= 延伸探究2　将例1(1)的③(a≤1)中的条件“a≤1”删去，试化简该式. 解　=|3a-3|=3|a-1|= (2)已知-3<x<3，求-的值. 解　原式=- =|x-1|-|x+3|， ∵-3<x<3，∴当-3<x<1时， 原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2； 当1≤x<3时，原式=(x-1)-(x+3)=-4. ∴原式= 反思感悟　正确区分与()n (1)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性. (2)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围. 二、根式、分数指数幂的化简与求值 问题4　被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，a>0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？ 提示　======. 问题5　根据所学知识，猜测23，2π，24之间的大小关系. 提示　23<2π<24. 知识梳理 1.分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 当a>0时，规定==()m= 负分数指数幂 当a>0时，规定=(n，m∈N+) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2.有理数指数幂的运算法则 (1)asat=as+t(a>0，s，t∈Q)； (2)(as)t=ast(a>0，s，t∈Q)； (3)(ab)s=asbs(a>0，b>0，s∈Q). 拓展：(1)=as-t(a>0，s，t∈Q). (2)=(a>0，b>0，s∈Q). 注意点： (1)分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法. (2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数. 例2　将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)(a>0)； (2)(x>0)； (3)((b>0). 解　(1)原式===(=. (2)原式======. (3)原式=[(==. 反思感悟　根式与分数指数幂互化的规律及技巧 (1)规律：根指数分数指数幂的分母. 被开方数(式)的指数分数指数幂的分子. (2)技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简. 跟踪训练1　(多选)下列各式正确的是(式中字母都是正数)(　　) A.=(m+n B.=a-2b2 C.=(-3 D.= 答案　BD 解析　选项A中，(m+n=，因此不正确； 选项B中，=a-2b2，因此正确； 选项C中，==，因此不正确； 选项D中，===，因此正确. 三、实数指数幂及其运算 实数指数幂 一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数.因此，当a>0，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义，对任意实数s和t，类似前述有理数指数幂的运算法则仍然成立. 例3　(1)=　　　　.(式中字母均是正数)  答案　 解析　原式= === =a-1=. (2)计算：--(π-3)0+. 解　原式=--1+2=2. (3)计算：·. 解　原式=·==25=32. 例3　(1)(课本例2)计算下列各式的值： ①；②×12. 解　①=[(310×(32 = =31=3. ②×12=×(53 ==25. (2)(课本例3)化简下列各式： ①； ②. 解　①原式=×5×× =24x0=24. ②原式= ==+. 反思感悟　关于指数式的化简、求值问题 (1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减. (2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算. 跟踪训练2　计算与化简： (1)+(0.002-10(-2)-1+(-)0； (2)(··z-1)·(x-1··z3(x>0，y>0，z>0). 解　(1)原式=(-1·+-+1=+50-10(+2)+1 =+10-10-20+1=-. (2)原式=(z-1)·(z-1) =··z-1-1=xz-2. 四、指数式的条件求值问题 例4　已知+=3，求下列各式的值. (1)a+a-1；(2)a2+a-2；(3)+. 解　(1)∵+=3，∴=9， 即a+2+a-1=9，∴a+a-1=7. (2)∵a+a-1=7，∴(a+a-1)2=49， 即a2+2+a-2=49. ∴a2+a-2=47. (3)+=()3+()3 =(+)(a-1+a-1)=3×(7-1)=18. 反思感悟　条件求值问题的常用方法 (1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值. (2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果. 跟踪训练3　设-=m，则等于(　　) A.m2-2 B.2-m2 C.m2+2 D.m2 答案　C 解析　将-=m平方得(-)2=m2， 即a-2+a-1=m2，所以a+a-1=m2+2， 即a+=m2+2，得=a+=m2+2. 1.知识清单： (1)n次方根的概念. (2)根式与分数指数幂的互化. (3)实数指数幂及其运算. (4)指数式的条件求值问题. 2.方法归纳：转化化归、整体代换法. 3.常见误区： (1)对于，当n为偶数时，a≥0. (2)在运用分数指数幂的运算法则化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. (3)条件求值问题，一般先化简，再代入求值.有时通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值. 1.若+(a-4)0有意义，则a的取值范围是(　　) A.a≥2 B.2≤a<4或a>4 C.a≠2 D.a≠4 答案　B 解析　要使原式有意义，需满足 解得2≤a<4或a>4. 2.(多选)下列各式错误的是(　　) A.=-3 B.=a C.=2 D.=2 答案　ABD 解析　=3，故A错误；=|a|，故B错误；=2，故C正确；=-2，故D错误. 3.(a>0)的化简结果是(　　) A.1 B.a C. D. 答案　D 解析　原式===. 4.计算：-(-9.6)0-+(1.5)-2=　　　　.  答案　 解析　原式=-1-+ =-1-+=. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.若+有意义，则a的取值范围是(　　) A.a≥0 B.a≥1 C.a≥2 D.a∈R 答案　B 解析　∵∴a≥1. 2.+-0.5-3等于(　　) A.16-π B.π C.-π D.-π-8 答案　C 解析　+-0.5-3=(43+|π-4|-=4+4-π-8=-π. 3.下列运算中正确的是(　　) A.= B.(-a2)3=(-a3)2 C.(-2)0=1 D.(-)5=- 答案　D 解析　=，故A错误；(-a2)3=-a2×3 =-a6，(-a3)2=a6，故B错误；当a=4时，(-2)0无意义，故C错误；(-)5=-，故D正确. 4.已知+=5(x>0)，那么+等于(　　) A. B.- C.± D.7 答案　A 解析　(+)2=++2=5+2=7. 又x>0，故+=. 5.已知ab=-5，则a+b的值是(　　) A.2 B.0 C.-2 D.±2 答案　B 解析　由题意知ab=-5， 所以b=-，a=-，且ab<0， a+b =a+b=a+b=0. 6.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　) A.-=(-x B.=(y>0) C.=(x>0) D.[=(x>0) 答案　BCD 解析　A项错误，-=-(x≥0)，而(-x=(x≤0)； B项正确，=(y>0)； C项正确，==(x>0)； D项正确，[==(x>0). 7.(5分)已知3a=2，3b=，则32a-b=　　　　.  答案　20 解析　32a-b====20. 8.(5分)计算：++-·=　　　　.  答案　2-3 解析　原式=+++1-22=2-3. 9.(10分)化简与计算： (1)+0.1-2+-3π0+；(5分) (2)÷(a>0，b>0).(5分) 解　(1)原式=++-3+ =+100+-3+=100. (2)原式=[·]÷(· =()÷( =()÷()==. 10.(11分)已知a，b是方程x2-6x+4=0的两根，且a>b>0，求的值. 解　因为a，b是方程x2-6x+4=0的两根， 所以 ===. 因为a>b>0，所以>>0， 所以==. 11.计算(n∈N+)的结果为(　　) A. B.22n+5 C.2n2-2n+6 D.27-2n 答案　D 解析　原式===27-2n. 12.已知x2+x-2=2，且x>1，则x2-x-2等于(　　) A.2或-2 B.-2 C. D.2 答案　D 解析　方法一　∵x>1，∴x2>1， 由x2+x-2=2，解得x2=+1， ∴x2-x-2=+1-=+1-(-1)=2. 方法二　令x2-x-2=t， ① 又x2+x-2=2， ② 由①2-②2，得t2=4. ∵x>1，∴x2>x-2，∴t>0， ∴t=2，即x2-x-2=2. 13.(多选)设m，n是方程2x2+3x-1=0的两实数根，则下面各式的值等于8的有(　　) A.m2+n2 B. C.64mn D. 答案　BD 解析　因为m，n是方程2x2+3x-1=0的两实数根，所以由根与系数的关系可得m+n=-，mn=-，所以m2+n2=(m+n)2-2mn=；===8；64mn=6=；===8. 14.(5分)已知a<b<0，n>1，n∈N+，化简+=　　　　.  答案　 解析　∵a<b<0，∴a-b<0，a+b<0， 当n是奇数时，原式=(a-b)+(a+b)=2a； 当n是偶数时，原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b)=-2a. ∴+= 15.(5分)已知2x=72y=A，其+=2，x>0，y>0，则A=　　　　.  答案　7 解析　∵2x=72y=A，∴=2，=72=49， ∴=·=2×49=98， ∵+=2，A>0，∴A=9=7. 16.(12分)(1)已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值；(6分) (2)已知x+y=12，xy=9且x<y，求的值.(6分) 解　(1)∵4x+4-x=(2x)2+(2-x)2 =(2x+2-x)2-2·2x·2-x=a2-2， ∴8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3 =(2x+2-x)[(2x)2-2x·2-x+(2-x)2] =(2x+2-x)(4x+4-x-1) =a(a2-2-1)=a3-3a. (2)= =. ① ∵x+y=12，xy=9， ② ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108. 又∵x<y，∴x-y=-6. ③ 将②③代入①，得==-. 学科网（北京）股份有限公司 $