第4章 4.1.1 实数指数幂及其运算（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

4.1.1　实数指数幂及其运算

学习目标　1.理解n次方根及根式的概念.2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.3.掌握根式与分数指数幂的互化.4.掌握有理数指数幂的运算性质.

导语

 古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生，这就是本节课我们要学习的根式.

一、n次方根

问题1　若x2=3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎样表示？

提示　 这样的x有2个，它们叫做3的平方根，表示为，-.

问题2　如果x2=a，那么x叫做a的什么？这样的x有几个？x3=a呢？

提示　如果x2=a，那么x叫做a的平方根(或二次方根)，当a>0时，这样的x有两个；当a=0时，a只有一个平方根；当a<0时，a在实数范围内没有平方根.如果x3=a，那么x叫做a的立方根(或三次方根)，这样的x有且只有一个.

问题3　类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根的定义，你认为n次方根应该是什么？

提示　比如(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4=81，我们把±3叫做81的4次方根；(-2)5=-32，我们把-2叫做-32的5次方根；类比上述过程，我们可以得到：如果2n=a，那么我们把2叫做a的n次方根.

知识梳理

1.a的n次方根的概念

一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn=a，则x称为a的n次方根.

2.根式的意义和性质

当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数.

根式的性质：

(1)()n=a.

(2)=

注意点：

(1)对于()n=a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0.

(2)()n与意义不同，比如=-3，=3，而没有意义，故()n≠.

(3)当a≥0时，()n=；当a<0且n为奇数时，()n=；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序.

例1　(1)化简下列各式：

①+()5；

②+()6；

③(a≤1).

解　①原式=(-2)+(-2)=-4.

②原式=|-2|+2=2+2=4.

③原式=|3a-3|=3|a-1|=3-3a.

延伸探究1　将例1(1)的②+()6改为“+”， 试化简该式.

解　+=a+|a|=

延伸探究2　将例1(1)的③(a≤1)中的条件“a≤1”删去，试化简该式.

解　=|3a-3|=3|a-1|=

(2)已知-3<x<3，求-的值.

解　原式=-

=|x-1|-|x+3|，

∵-3<x<3，∴当-3<x<1时，

原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2；

当1≤x<3时，原式=(x-1)-(x+3)=-4.

∴原式=

反思感悟　正确区分与()n

(1)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性.

(2)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围.

二、根式、分数指数幂的化简与求值

问题4　被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，a>0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？

提示　======.

问题5　根据所学知识，猜测23，2π，24之间的大小关系.

提示　23<2π<24.

知识梳理

1.分数指数幂的意义

 

2.有理数指数幂的运算法则

(1)asat=as+t(a>0，s，t∈Q)；

(2)(as)t=ast(a>0，s，t∈Q)；

(3)(ab)s=asbs(a>0，b>0，s∈Q).

拓展：(1)=as-t(a>0，s，t∈Q).

(2)=(a>0，b>0，s∈Q).

注意点：