第6章 6.2.2 直线上向量的坐标及其运算（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦直线上向量的坐标及其运算核心知识点，从向量几何表示过渡到代数表示，通过共线向量基本定理定义坐标，梳理坐标运算（和、数乘）及数轴上两点距离、中点坐标公式，搭建从几何直观到代数抽象的学习支架。 资料以问题驱动设计，通过实例（如平移向量始点求坐标、方程法解向量运算）培养学生抽象能力与运算推理意识，用数学语言精确表达向量关系。课中助力教师引导学生理解，课后课时对点练帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

6.2.2　直线上向量的坐标及其运算 学习目标　1.理解直线上向量坐标的含义及运算.2.能运用直线上向量的坐标公式进行相关的计算. 导语　 之前我们所学的向量都是从几何的角度来进行表示的，那么是否有代数的方法可以对向量进行表示？这节课就让我们来看看向量和坐标相结合会产生什么奇妙的反应！ 一、直线上向量的坐标 问题1　我们已经学过了数轴上点的坐标，如图，已知A(-1)，B(2). 对应的向量用坐标如何表示呢？ 提示　给定一条直线AB以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线AB上的向量，一定存在唯一的实数x，使得=xe，向量的坐标就可以用x表示. 知识梳理 1.向量a的坐标：给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a=xe，此时，x称为向量a的坐标. 2.直线上向量坐标的直观理解 名称 定义 数轴 在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴 向量a 的坐标 对于l上的任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标 注意点： (1)x既能刻画a的模，也能刻画向量a的方向. (2)|a|=|xe|=|x||e|=|x|. ①当x>0时，a的方向与e的方向相同； ②当x=0时，a是零向量； ③当x<0时，a的方向与e的方向相反. 特别地，零向量的坐标是0. (3)向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的始点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点坐标才相同. 例1　(课本例1)如图所示，求出直线上向量a，b的坐标. 解　因为a的始点在原点，所以由a的终点坐标可知a的坐标为2. 因为b=-3e，所以b的坐标为-3. 例1　已知e是直线l上的一个单位向量，向量a与b都是直线l上的向量，分别在下列条件下写出a与b的坐标： a=3e，b=-4e. 解　在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量a，b，把它们的始点平移到原点O，如图，因为a=3e，所以a的终点对应3，a的坐标为3；因为b=-4e，所以b的终点对应-4，b的坐标为-4. 反思感悟　直线上向量的坐标的求法 (1)将向量用单位向量表示出来. (2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标. (3)已知两点求向量的坐标时，用终点坐标减去起点坐标. 跟踪训练1　(1)若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a=-e，则(　　) A.向量a的坐标为 B.向量a的坐标为e C.向量a的坐标为- D.向量a的坐标为-e 答案　C 解析　根据直线上向量坐标的定义知，向量a的坐标为-. (2)如图所示，直线上向量a，b的坐标分别为(　　) A.-2，4 B.2，4 C.4，-2 D.-4，-2 答案　C 解析　向量a的始点在原点，则a的坐标为4，把向量b的始点平移到原点，则b的坐标为-2. 二、直线上向量的运算与坐标的关系 问题2　你能表示出直线上两个向量和的坐标吗？ 提示　设直线上两个向量分别为a=x1e，b=x2e，则a+b=x1e+x2e=(x1+x2)e. 知识梳理　直线上向量的坐标运算 法则(或公式) 文字语言 符号语言 直线上两个向量相等 直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等 设a=x1e，b=x2e， 则a=b⇔x1=x2 直线上两个向量和的坐标 直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和 设a=x1e，b=x2e， 则a+b=(x1+x2)e 例2　(课本例2)已知直线上向量a的坐标为-2，b的坐标为5，求下列向量的坐标： (1)a+b； (2)b； (3)-2a-3b. 解　(1)a+b的坐标为-2+5=3. (2)b的坐标为×5=1. (3)-2a-3b的坐标为(-2)×(-2)-3×5=-11. 例2　直线上向量a的坐标为5，b的坐标为-，求下列向量的坐标： (1)-3b；(2)a-b；(3)2a+3b；(4)-a-6b. 解　(1)-3b的坐标为(-3)×=1. (2)a-b的坐标为5-=. (3)2a+3b的坐标为2×5+3×=9. (4)-a-6b的坐标为-5-6×=-3. 反思感悟　向量的坐标运算可完全类比实数的运算进行. 跟踪训练2　已知直线上的向量a与向量b，向量a的坐标为-10，向量2a-3b的坐标为4，求： (1)向量b的坐标； (2)a+2b的坐标. 解　(1)设直线上向量b的坐标为x， 由题意可得2×(-10)-3x=4， 解得x=-8，即向量b的坐标为-8. (2)a+2b=-10+2×(-8)=-26， 所以a+2b的坐标为-26. 三、数轴上两点间的距离、中点坐标 问题3　设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，A与B两点间的距离如何表示？AB的中点如何表示？ 提示　AB=||=|x2-x1|，x=. 知识梳理 数轴上两点之间的距离公式 设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，AB=||=|x2-x1| 数轴上的中点坐标公式 设A(x1)，B(x2)，M(x)是线段AB的中点，则x= 例3　(课本例3)设数轴上两点A，B的坐标分别为3，-7，求： (1)向量的坐标，以及A与B的距离； (2)线段AB中点的坐标. 解　(1)由题意得的坐标为3，的坐标为-7，又因为=-，所以的坐标为-7-3=-10， 而且AB=||=|-10|=10. (2)设线段AB中点的坐标为x， 则x==-2. 例3　已知数轴上A，B两点的坐标分别为x1，x2，点C是线段AB的中点，求下列条件下，，的坐标及A，B两点间的距离. (1)x1=2，x2=-5.3； (2)x1=10，x2=20.5. 解　(1)∵x1=2，x2=-5.3， ∴的坐标为-5.3-2=-7.3， 的坐标为2-(-5.3)=7.3， 由A，B两点的坐标分别为2，-5.3， 得点C的坐标为=-1.65， 故的坐标为-1.65-2=-3.65， A，B两点间的距离为 |x2-x1|=|-5.3-2|=7.3. (2)∵x1=10，x2=20.5， ∴的坐标为20.5-10=10.5， 的坐标为10-20.5=-10.5， 由A，B两点的坐标分别为10，20.5， 得点C的坐标为=15.25， 故的坐标为15.25-10=5.25， A，B两点间的距离为 |x2-x1|=|20.5-10|=10.5. 反思感悟　求数轴上两点间距离的方法：要先求数轴上向量的坐标，再根据距离公式求解. 跟踪训练3　已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是-4，-1，6，10.分别求A与B，B与C，B与D之间的距离. 解　由题得||=|-1-(-4)|=3，||=|-1-6|=7，||=|10-(-1)|=11. 1.知识清单： (1)直线上向量的坐标表示. (2)直线上向量的坐标运算. (3)数轴上两点间的距离、中点坐标. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：混淆向量的起点和终点，导致求解向量坐标出错. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知直线上向量a，b的坐标分别为-2，2，则向量a+b的坐标为(　　) A.1 B.-1 C.0 D.4 答案　B 解析　因为向量a，b的坐标分别为-2，2，所以向量a+b的坐标为-2+2×=-1. 2.已知数轴上两点A，B的坐标分别为-5，4，则A与B的距离为(　　) A.1 B.-1 C.9 D.-9 答案　C 解析　AB=||=|4-(-5)|=9. 3.已知e是直线l上的一个单位向量，则直线l上的向量-e，e的坐标分别是　　　　.  答案　-， 解析　由直线上向量的坐标的定义知，-e，e的坐标分别是-，. 4.设数轴上A，B的坐标分别是2，6，则AB的中点C的坐标是　　　　.  答案　4 解析　因为xA=2，xB=6.所以AB的中点C的坐标为xC===4. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共24分 1.如图所示，点O，A，B，C，D均在直线l上，向量为单位向量，则向量，的坐标分别是(　　) A.3，2 B.2，4 C.4，-2 D.2，-4 答案　D 解析　由题意得=4-2=2，=-2-2=-4. 2.已知数轴上两点M，N，且||=4.若xM=-3，则xN等于(　　) A.1 B.2 C.-7 D.1或-7 答案　D 解析　||=|xN-(-3)|=4， ∴xN-(-3)=±4，即xN=1或xN=-7. 3.(多选)数轴上三点A，B，C的坐标分别为-1，2，5，则(　　) A.AB=-3 B.BC=3 C.的坐标为6 D.的坐标为3 答案　BCD 4.已知直线上向量a，b的坐标分别为-1，3，则下列向量与a同向的是(　　) A.a+b B.a-b C.a+2b D.3b 答案　B 解析　由题意，a+b的坐标为2，a+2b的坐标为5，3b的坐标为9，都与a反向，a-b的坐标为-4，与a同向. 5.(多选)数轴上点A和点B的坐标分别为-1和3，若P是数轴上一点，且||+||=6，则点P的坐标为(　　) A.-3 B.5 C.-2 D.4 答案　CD 解析　∵||=|3-(-1)|=4，||+||=6，设点P的坐标为xP，当点P在点A的左边时，-1-xP+3-xP=6，得xP=-2；当点P在点B的右边时，xP-3+xP-(-1)=6，得xP=4，综上所述，点P的坐标为-2或4. 6.(多选)已知数轴上点A的坐标为2，||=6，C是AB的中点，则向量的坐标为(　　) A.-4 B.8 C.-3 D.3 答案　CD 解析　∵数轴上点A的坐标为2，且||=6，则点B的坐标为-4或8.而C是AB的中点，则点C的坐标为或，即-1或5，故的坐标为-3或3. 7.(5分)在数轴x上，已知=-3e(e为x轴上的单位向量)，且点B的坐标为3，则向量的坐标为　　　　.  答案　6 解析　由=-3e，得点A的坐标为-3，则的坐标为3-(-3)=6. 8.(5分)数轴上三点A，B，C的坐标分别为1，-1，-5，则+的坐标为　　　　，||+||=　　　　.  答案　-10　10 解析　+的坐标为-6+(-4)=-10， ||+||=6+4=10. 9.(10分)数轴上点A，B，C的坐标分别为4，-6，x，线段AB的中点为D. (1)求向量的坐标及A与B的距离；(3分) (2)求点D的坐标；(3分) (3)若||=8，求x的值.(4分) 解　(1)由A，B的坐标分别为4，-6， 得的坐标为-6-4=-10， A与B的距离AB=||=10. (2)由A，B的坐标分别为4，-6且D为AB的中点，得点D的坐标为=-1. (3)当点C在点A的左侧时，4-x=8，x=-4； 当点C在点A的右侧时，x-4=8，x=12. 故x的值为-4或12. 10.(10分)已知A，B，C为数轴上三点，且xA=-2，xB=6.试求符合下列条件的点C的坐标. (1)的坐标为10；(2分) (2)||=10；(3分) (3)||=3||.(5分) 解　(1)∵的坐标为10，∴xC-xA=10. ∴xC=xA+10=8. (2)∵||=10，∴=10或=-10， 当=10时，xC-xA=10，xC=xA+10=8； 当=-10时，xC-xA=-10， xC=xA-10=-12. ∴点C的坐标为8或-12. (3)∵||=3||，∴=3或=-3. 当=3时，xC-xA=3(xC-xB). ∴xC=(3xB-xA)=10； 当=-3时，xC-xA=-3(xC-xB)， ∴xC=(3xB+xA)=4. ∴点C的坐标为10或4. 11.已知e是直线l上的一个单位向量，向量a与b都是直线l上的向量，且a=2e，b=-5e，则|2a-b|为(　　) A.4 B.9 C.-7 D.1或-7 答案　B 解析　2a-b的坐标为2×2-(-5)=9， 所以|2a-b|=9. 12.(多选)若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a=-e，b=e，则下列说法正确的是(　　) A.a=-b B.b=-a C.a+b的坐标为0 D.|a||b|=1 答案　BD 解析　因为a=-e，b=e，所以|a|=，|b|=；|a||b|=×=1，b=-×=-a， a+b=e=-e，a+b的坐标为-. 13.(5分)若e是直线l上的一个单位向量，向量a=2e，b=-2e是这条直线上的向量，则|a|+|b|=　　　　.  答案　4 解析　因为a=2e，b=-2e， 所以|a|+|b|=2+2=4. 14.(5分)已知M，P，N三点在数轴上，且点P的坐标是5，的坐标为2，的坐标为8，则点N的坐标为　　　　.  答案　11 解析　设点M，N的坐标分别为x1，x2， ∵点P的坐标是5，的坐标为2，的坐标为8， ∴解得 故点N的坐标为11. 15.(5分)如图，点A，B为数轴上的两点，O为原点，A，B两点的坐标分别为m，2m+1，B，O两点间的距离等于A，B两点间的距离，则|2+|=　　　　.  答案　 解析　由题意得，0-(2m+1)=2m+1-m， 得m=-，故点A的坐标为-， 点B的坐标为-×2+1=-， 的坐标为--=， 故2+的坐标为2×-=， 故|2+|=. 16.(11分)已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是-4，-2，c，d. (1)若的坐标为5，求c的值；(3分) (2)若||=6，求d的值；(3分) (3)若=-3，求证：3=-4.(5分) (1)解　∵的坐标为5，∴c-(-4)=5，∴c=1. (2)解　∵||=6，∴|d-(-2)|=6， 即d+2=6或d+2=-6，∴d=4或d=-8. (3)证明　∵的坐标为c+4，的坐标为d+4， 又=-3， ∴c+4=-3(d+4)，即c=-3d-16. 3的坐标为3(d-c)=3d-3c =3d-3(-3d-16)=12d+48， -4的坐标为-4c-16=-4(-3d-16)-16 =12d+48， ∴3=-4. 学科网（北京）股份有限公司 $