专题6.2.2 直线上向量的坐标及其运算&6.2.3 平面向量的坐标及其运算（高效培优讲义）数学人教B版2019高一必修第二册

本讲义聚焦直线与平面向量的坐标及其运算核心知识点，先阐述直线上向量的坐标定义、模与方向关系及运算规则，再延伸至平面向量正交分解、坐标表示与运算，通过即学即练衔接，构建从一维到二维的学习支架。 资料以分层题型设计为亮点，涵盖基础运算到几何应用（如正六边形动点问题），融入数学思维（运算能力、推理意识）与数学眼光（几何直观），课中助力教师系统教学，课后通过变式训练与综合题帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

专题6.2.2 直线上向量的坐标及其运算&6.2.3 平面向量的坐标及其运算 教学目标 1．理解直线上向量的坐标定义、模与方向的关联，掌握其加减、数乘运算及中点坐标公式，能规范进行相关计算。 2．掌握平面向量正交分解与坐标表示，熟练运用加减、数乘的坐标运算规则，会求向量坐标与模长。 3．熟记平面向量共线的坐标条件，能依据条件判断向量共线，解决相关参数求解问题。 教学重难点 重点：直线与平面向量的坐标表示及加减、数乘运算规则，运算的准确性与规范性。平面向量共线的坐标条件，向量坐标与有向线段起点、终点坐标的关系。 难点：灵活运用向量坐标运算解决复杂问题，理解正交分解的本质。结合共线坐标条件分析问题，避免运算中坐标对应错误或忽略隐含条件。 知识点01 直线上向量的坐标及其运算 1．直线上向量的坐标 (1)定义：给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量，一定存在唯一的实数x，使得，此时，称为向量的坐标． (2)向量的模和方向与x的关系 为单位向量)． 当时，的方向与的方向相同； 当时，是零向量； 当时，的方向与的方向相反． 在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定． (3)直线上向量的坐标：在直线l上指定一点O作为原点，以的方向为正方向，的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量，如果我们把它的始点平移到原点O，那么的终点对应的数就是向量的坐标． 2．直线上向量的运算与坐标的关系 如果直线上两个向量的坐标分别为 （1）的充要条件是. （2）的坐标为，的坐标为，的坐标为. （3）设是数轴上的两点，是线段AB的中点，则 【即学即练】 1．直线上向量，的坐标分别为-3，5，则向量的坐标和模分别是（    ） A．-19，19 B．21，21 C．-19，5 D．1，1 【答案】A 【详解】由题可知，向量的坐标为， 向量的模为 故选：A 2．已知是直线l上的一个单位向量，则直线l上的向量，的坐标分别是 . 【答案】，/， 【详解】由直线上线向量的坐标的定义知，，的坐标分别是，. 故答案为：，. 知识点02 平面向量的坐标及其运算 1．平面向量的坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量. （2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. （3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标. （4）坐标表示. （5）特殊向量的坐标: 2．平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则 模 3．平面向量共线的坐标表示 （1）条件: ,其中； （2）结论:当且仅当时,向量共线. 【即学即练】 1．已知向量，，若，则实数 . 【答案】 【详解】由可得：， 即 故答案为： 2．已知向量，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】已知向量， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 题型01 直线上向量的坐标及运算 例1．已知数轴上两点的坐标分别是0，，则的坐标是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】因为数轴上两点的坐标分别是， 所以向量的坐标是. 故选：A. 例2．已知A，B都是数轴上的点，，，则的坐标为 A．17 B．1 C．-1 D．-17 【答案】B 【详解】由题意，可得的坐标为，向量的坐标为， 所以向量的坐标为． 故选:B． 【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 变式1-1．数轴上点M，N，P的坐标分别为3，-1，-5，则等于 A．-4 B．4 C．-12 D．12 【答案】A 【详解】， 故选：A. 【点睛】本题考查数轴上的向量坐标表示，是基础题. 变式1-2．数轴上点P，M，N的坐标分别为-2，8，-6，则在①；②；③中，正确的表示有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】①数轴上的两点对应的向量的数量是实数，等于终点的坐标减起点的坐标，，故①不正确； ②③，，故②③正确. 故选：C. 【点睛】本题考查数轴上的向量坐标表示，是基础题. 变式1-3．数轴上点的坐标为，若点在数轴上，且对应的坐标为，则点对应的坐标是 . 【答案】 【详解】数轴上点的坐标为， 设点对应的坐标是， 因为对应的坐标为，则， 即点对应的坐标是. 故答案为：. 题型02 平面向量的坐标表示 例3．在平面直角坐标系中，，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以. 故选：A. 例4．在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ． 【答案】 【详解】设点A的坐标为，因为点B的坐标为， 所以向量， 向量，所以，解得， 所以点A的坐标为. 故答案为： 变式2-1．已知，，则与向量方向相反的单位向量为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，可得向量， 则与向量方向相反的单位向量为， 故选：C. 变式2-2．已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 【答案】 【详解】点P为线段AB的中点，所以，则， 故答案为：. 变式2-3．已知平面内平行四边形的三个顶点，求第四个顶点的坐标． 【答案】，或，或 【详解】因为，所以 设第四个顶点的坐标为． 可分别以为对角线构建平行四边形 如图1，若构成的平行四边形是以为对角线的平行四边形，则有. 所以，解得. 所以点的坐标为. 图1    如图2，若构成的平行四边形是以为对角线的平行四边形，则有. 所以，解得. 所以点的坐标为. 图2    如图3，若构成的平行四边形是以为对角线的平行四边形，则有. 所以，解得. 所以点的坐标为. 图3    所以，第四个顶点的坐标为，或，或. 题型03 平面向量的坐标运算 例5．如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【详解】用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，则，且，， 若， 则，则. 故选：D. 例6．已知，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，又， 所以，所以. 故选：D. 变式3-1．已知点，，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点、，且， 设点的坐标为，则， 所以，，，求得，，故点的坐标为， 故选：A． 变式3-2．已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 因为， 所以⇒ 故. 故选：A. 变式3-3．已知平面向量，，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，解得，所以． 故答案为：. 题型04 根据线段比例求点的坐标 例7．已知三点、、在一条直线上，点，，且，则点的坐标为 . 【答案】； 【解析】先设点，再结合向量相等的坐标表示求解即可. 【详解】解：设点， 由，， 则，， 又， 则 ，解得， 即， 故答案为：. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，重点考查了向量相等的坐标表示，属基础题. 例8．已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点在线段的延长线上，且，所以点为中点， 设点，则，解得，所以点的坐标为. 故选：C. 变式4-1．已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，，， ∴，， ∵分所成的比为，∴，即， ∴有，解得. 故选：D. 变式4-2．的重心为，顶点，则 ． 【答案】1 【详解】的重心为，顶点 则，解之得，则 故答案为：1 变式4-3．已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 先明确线段端点坐标与比例关系，将分点对应的向量表示为两端点向量的线性组合，再通过“向量坐标=终点坐标起点坐标”转化为坐标方程，代入端点坐标求解，注意区分内分点、外分点，确保比例对应与运算准确。 题型05 根据坐标求向量的模 例9．已知向量，，，则m的值为（   ） A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2 【答案】D 【详解】向量，，故， 所以，解得或2． 故选：D． 例10．已知向量，则下列选项中与同向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与同向的单位向量为， 则，解得（负根舍去），所以. 故选：A. 变式5-1．已知向量、满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为向量、满足，， 则. 故选：A. 变式5-2．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则（    ） A． B． C． D．20 【答案】C 【详解】由图可得，，所以， 所以， 故选：C 变式5-3．已知向量满足，且，则的值为 . 【答案】 【详解】根据题意，设，则， ， 由于，所以， 则，得， 所以，即，所以. 故答案为： 题型06 向量共线的坐标表示 例11．已知平面向量和，若，则 ． 【答案】 【详解】由向量和，因为，可得，解得. 故答案为：. 例12．（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A选项：，∴不共线，可以作为基底； B选项：，∴不共线，可以作为基底； C选项：，∴不共线，可以作为基底； D选项：，∴共线，不能作为基底； 故选：ABC． 变式6-1．已知向量，，若//，则k＝ ． 【答案】 【详解】由题得，，， 因为//， 所以，解得， 故答案为：． 变式6-2．已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 【答案】A 【详解】根据A，B，C三点共线可知存在实数满足， 可知且， 解得，此时，满足题意. 故选：A 变式6-3．已知向量，，且，则的最小值为 . 【答案】6 【详解】由题可得：，即, 则, 当时，, 则的最小值为， 故答案为： 题型07 利用坐标法求最值（范围） 例13．已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为A，B, C三点共线，所以与共线，因为平面向量，，， 故可得， 整理可得， 化为关于的一元二次方程为，因为存在实数解， 故，即， 解得或， 即或， 故选：. 例14．如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，不失一般性可假设正六边形边长为2， 则，，设， 则， 因为，即， 即， 则，解得， 则，因为，则 故答案为：. 变式7-1．若向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为向量，，能作为平面内所有向量的一组基底， 所以， 当时，，解得， 所以若，则，即的取值范围为， 故答案为： 变式7-2．已知向量，，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】由题意得，,， 因为，所以，即. 所以，即，当且仅当，时等号成立. 所以的最大值为2. 故选：B. 变式7-3．在直角梯形中，，，，，点E为边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】建立如图所示的直角坐标系，过点C作，垂足为F，因为， 所以有, 设，， 因此有 因为，所以有, 而，所以， 当时，有最大值，当有最小值0， 所以的取值范围为， 故选：A 题型08 坐标法在几何中的应用 例15．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形，其中心为O，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】法一：如图①，过点作，，垂足分别是，， 因为，所以， 又，所以四边形为正方形，所以， 又，所以，则，故； 法二：以，所在直线分别为，轴，建立如图②所示的平面直角坐标系， 设，则， 因为，所以，， 由，得，解得，故. 故选：A 例16．如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）以点为坐标原点，分别以，方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 由可得：， 所以，解得， 因此； （2）设，因为三点共线，所以 则存在唯一实数，使得， 则，可得，， 即， 又三点共线，且，，则， 所以，解得， 则，所以， 所以， 所以线段的长. 变式8-1．三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以B为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系. 作，交的延长线于点F， 由题中数据可得，，，， 则，，. 因为，所以，则， 解得，故. 故选：B 变式8-2．（多选）如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）    A． B．3 C．7 D．9 【答案】ACD 【详解】由题可建立如图以A为坐标原点的平面直角坐标系，    则，不妨设，则， 则， 设，则， 因为，所以， 所以，整理得 因为，所以. 故选：ACD 变式8-3．如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点.    (1)用和表示； (2)以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； (3)设，求的取值范围. 【答案】(1) (2)，，. (3)答案见解析 【分析】 【详解】（1）依题意，， ， ； （2）    以O为坐标原点，以OA、OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，，， 由，可得，又P是BC中点，可得， 又，因为A、C、D三点共线，所以，解得，所以， ∴，则. （3）由已知， 因P是线段BC上动点，则令， ， 又不共线，则有， ， ，在上递增， 所以， 故的取值范围是. 先建立合适的直角坐标系，给图形关键点赋坐标，再将几何关系（平行、共线、长度等）转化为向量坐标问题，通过坐标加减、数乘运算或共线坐标条件计算，求解未知量或验证结论， 一、单选题 1．已知向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】详解】， 故选：B. 2．已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】设，则，. 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故选：B. 3．已知向量，在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】详解】建立平面直角坐标系可得，，， 所以，所以. 故选：A. 4．已知点，向量，，点P是线段AB靠近点A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】由题意得，所以，即， 设，则，所以. 故选：B 5．已知直角△ABC中，，，为边的中点，是边上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】因为，所以以为原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    则，设，， 则，得到， 所以， 当且仅当，即时，， 所以. 故选：. 二、多选题 6．已知向量，，且与共线，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】详解】因为，，且与共线， 则当与同向时，，则； 则当与反向时，，则. 故选：AD. 7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，点在直线上，且，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】详解】设，由题意得，且点在直线上，故可得以下两种情况： ①，此时有，可得，解得. ②，此时有，可得，解得. 综上所述，点的坐标为或. 故选：AB 三、填空题 8．已知向量，若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】详解】由向量，存在实数x，使得与的方向相同， 则，即，可得，所以，则,取. 故答案为： 9．已知O为坐标原点，，若，则与共线的单位向量为 ． 【答案】或. 【分析】详解】因为，所以， 由，可得，即，所以， 可得，所以， 则， 所以与向量同向的单位向量为，与向量反向的单位向量为， 所以向量共线的单位向量为或. 故答案为：或. 10．在中，，点满足，点使得，直线与相交于点，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】详解】由题知，， ，则， 由三点共线设，则， 所以，， 因为点三点共线，所以， 则，解得， 所以，则， 故答案为：． 四、解答题 11．如图，四边形是正方形.在边上运动，在边上运动，与交于点.      (1)若是的中点，，，求实数的值； (2)若，，求的最大值. 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为6，    则，所以，， 设点，则， 由，得， 所以，即，得到， 设，则， 所以，解得. （2）因为三点共线，且， 所以， 设正方形的边长为1，， 则， 所以，，， 所以， 又，所以， 所以，， 所以， 若，则， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述：的故大值为1. 12．已知平面向量，. (1)求向量的坐标； (2)当实数k为何值时，与共线. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2），， 与共线，，解得：. 13．已知向量，，点，若 (1)求与向量方向相同的单位向量的坐标； (2)求点M的坐标； (3)若点满足，求y与的值. 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）因为，所以， 与向量方向相同的单位向量； （2）因为，所以， 整理得， 因为点，所以； （3）因为，所以，所以， 即，所以， 解得， 14．已知是平面内两个不共线向量，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)已知，若，，且四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 因为三点共线，所以存在使得， 即， 因为是平面内两个不共线向量， 所以，解得. （2）当，时， ， 设，则， 因为四点按逆时针顺序构成平行四边形， 所以，则，解得， 所以. 15．已知向量、. (1)求的模和其单位向量； (2)若，以、为基表示向量. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∴的单位向量. （2）设，则， ∴解得，∴ 16．在平面直角坐标系中，为坐标原点，． (1)求的坐标； (2)已知，且，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）设，由可知，， 又，，由可得， 即，于是，解得或， 即或 （2）根据三角形的三边关系可知，若三点不共线，则和条件矛盾， 故三点共线，且在射线或上. ， 由（1）知，当时，根据三点共线可得，， 解得，此时，在线段上，不符题意； 当时，根据三点共线可得，， 解得，此时，在射线上，符合题意. 综上， 17．如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若为中点，连接，交于点，求证. 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【详解】（1）如下图，以点为坐标原点，分别以方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则， 则， 由可得， 即，解得， 因此； （2）易知，设， 易知三点共线，可得，即， 可得，即， 又三点共线，且， 所以，解得，则， 所以，，易知； 即可得. 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2.2 直线上向量的坐标及其运算&6.2.3 平面向量的坐标及其运算 教学目标 1．理解直线上向量的坐标定义、模与方向的关联，掌握其加减、数乘运算及中点坐标公式，能规范进行相关计算。 2．掌握平面向量正交分解与坐标表示，熟练运用加减、数乘的坐标运算规则，会求向量坐标与模长。 3．熟记平面向量共线的坐标条件，能依据条件判断向量共线，解决相关参数求解问题。 教学重难点 重点：直线与平面向量的坐标表示及加减、数乘运算规则，运算的准确性与规范性。平面向量共线的坐标条件，向量坐标与有向线段起点、终点坐标的关系。 难点：灵活运用向量坐标运算解决复杂问题，理解正交分解的本质。结合共线坐标条件分析问题，避免运算中坐标对应错误或忽略隐含条件。 知识点01 直线上向量的坐标及其运算 1．直线上向量的坐标 (1)定义：给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量，一定存在________的实数x，使得，此时，称为向量的坐标． (2)向量的模和方向与x的关系 为单位向量)． 当时，的方向与的方向________； 当时，是________； 当时，的方向与的方向________． 在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定． (3)直线上向量的坐标：在直线l上指定一点O作为原点，以的方向为正方向，的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量，如果我们把它的始点________到原点O，那么的终点对应的数就是向量的坐标． 2．直线上向量的运算与坐标的关系 如果直线上两个向量的坐标分别为 （1）的充要条件是________. （2）的坐标为________，的坐标为________，的坐标为________. （3）设是数轴上的两点，是线段AB的中点，则 【即学即练】 1．直线上向量，的坐标分别为-3，5，则向量的坐标和模分别是（    ） A．-19，19 B．21，21 C．-19，5 D．1，1 2．已知是直线l上的一个单位向量，则直线l上的向量，的坐标分别是 . 知识点02 平面向量的坐标及其运算 1．平面向量的坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相________的向量. （2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. （3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标. （4）坐标表示. （5）特殊向量的坐标: 2．平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 ________ 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则________ 模 ________ 3．平面向量共线的坐标表示 （1）条件: ,其中； （2）结论:当且仅当________时,向量共线. 【即学即练】 1．已知向量，，若，则实数 . 2．已知向量，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型01 直线上向量的坐标及运算 例1．已知数轴上两点的坐标分别是0，，则的坐标是（   ） A． B．1 C．2 D． 例2．已知A，B都是数轴上的点，，，则的坐标为 A．17 B．1 C．-1 D．-17 变式1-1．数轴上点M，N，P的坐标分别为3，-1，-5，则等于 A．-4 B．4 C．-12 D．12 变式1-2．数轴上点P，M，N的坐标分别为-2，8，-6，则在①；②；③中，正确的表示有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式1-3．数轴上点的坐标为，若点在数轴上，且对应的坐标为，则点对应的坐标是 . 题型02 平面向量的坐标表示 例3．在平面直角坐标系中，，，则向量（    ） A． B． C． D． 例4．在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ． 变式2-1．已知，，则与向量方向相反的单位向量为（    ）． A． B． C． D． 变式2-2．已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 变式2-3．已知平面内平行四边形的三个顶点，求第四个顶点的坐标． 题型03 平面向量的坐标运算 例5．如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．2 D．0 例6．已知，，则等于（　　） A． B． C． D． 变式3-1．已知点，，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式3-2．已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 变式3-3．已知平面向量，，则 . 题型04 根据线段比例求点的坐标 例7．已知三点、、在一条直线上，点，，且，则点的坐标为 . 例8．已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．的重心为，顶点，则 ． 变式4-3．已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 先明确线段端点坐标与比例关系，将分点对应的向量表示为两端点向量的线性组合，再通过“向量坐标=终点坐标起点坐标”转化为坐标方程，代入端点坐标求解，注意区分内分点、外分点，确保比例对应与运算准确。 题型05 根据坐标求向量的模 例9．已知向量，，，则m的值为（   ） A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2 例10．已知向量，则下列选项中与同向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知向量、满足，，则（   ） A． B． C． D． 变式5-2．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则（    ） A． B． C． D．20 变式5-3．已知向量满足，且，则的值为 . 题型06 向量共线的坐标表示 例11．已知平面向量和，若，则 ． 例12．（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 变式6-1．已知向量，，若//，则k＝ ． 变式6-2．已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 变式6-3．已知向量，，且，则的最小值为 . 题型07 利用坐标法求最值（范围） 例13．已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例14．如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是 ． 变式7-1．若向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为 . 变式7-2．已知向量，，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 变式7-3．在直角梯形中，，，，，点E为边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型08 坐标法在几何中的应用 例15．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形，其中心为O，若，则（    ） A． B． C．2 D． 例16．如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 变式8-1．三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（   ） A． B． C． D． 变式8-2．（多选）如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）    A． B．3 C．7 D．9 变式8-3．如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点.    (1)用和表示； (2)以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； (3)设，求的取值范围. 先建立合适的直角坐标系，给图形关键点赋坐标，再将几何关系（平行、共线、长度等）转化为向量坐标问题，通过坐标加减、数乘运算或共线坐标条件计算，求解未知量或验证结论， 一、单选题 1．已知向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 2．已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知点，向量，，点P是线段AB靠近点A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．已知直角△ABC中，，，为边的中点，是边上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 二、多选题 6．已知向量，，且与共线，则可能是（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，点在直线上，且，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．已知向量，若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为 ． 9．已知O为坐标原点，，若，则与共线的单位向量为 ． 10．在中，，点满足，点使得，直线与相交于点，则的坐标为 ． 四、解答题 11．如图，四边形是正方形.在边上运动，在边上运动，与交于点.      (1)若是的中点，，，求实数的值； (2)若，，求的最大值. 12．已知平面向量，. (1)求向量的坐标； (2)当实数k为何值时，与共线. 13．已知向量，，点，若 (1)求与向量方向相同的单位向量的坐标； (2)求点M的坐标； (3)若点满足，求y与的值. 14．已知是平面内两个不共线向量，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)已知，若，，且四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标. 15．已知向量、. (1)求的模和其单位向量； (2)若，以、为基表示向量. 16．在平面直角坐标系中，为坐标原点，． (1)求的坐标； (2)已知，且，求的值． 17．如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若为中点，连接，交于点，求证. 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $