第6章 6.1.4 数乘向量 6.1.5 向量的线性运算（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“数乘向量”与“向量的线性运算”核心知识点，从实数乘法类比引入数乘向量定义及几何意义，延伸至线性运算律，再到用已知向量表示其他向量，最终应用于三点共线判断，构建递进式知识支架。 该资料以问题驱动类比迁移，通过问题1类比实数乘法抽象数乘向量，培养数学眼光中的抽象能力与几何直观。结合例题与跟踪训练强化运算推理，提升数学思维的运算能力与推理意识。课中辅助教师分层教学，课后课时对点练助力学生巩固知识，查漏补缺。

6.1.4　数乘向量 6.1.5　向量的线性运算 学习目标　1.理解向量的数乘运算及其几何意义.2.会利用向量共线判断三点共线及线线平行. 导语　 实数的运算中，3个5相加，我们可以写成5+5+5，也可以用乘法表示成5×3；3个a相加，我们可以写成a+a+a，也可以用乘法表示成3a；在向量的运算中，3个a相加，我们可以写成a+a+a，能不能写成3a？这就是我们今天要研究的向量的数乘运算. 一、数乘向量 问题1　如图，已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？ 提示　=++=a+a+a=3a. =++=(-a)+(-a)+(-a)=-3a. 显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，-3a的方向与a的方向相反，-3a的长度是a的长度的3倍. 知识梳理 1.定义：一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中： (1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下： ①当λ>0时，与a的方向相同； ②当λ<0时，与a的方向相反. (2)当λ=0或a=0时，λa=0. 2.数乘向量的几何意义：把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小. 3.当λ和μ都是实数，且a是向量时：μa是向量，λ(μa)也是向量；λμ是实数，但(λμ)a是向量，可以看出λ(μa)=(λμ)a. 注意点： (1)数乘向量与实数的乘法的区别，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数.特别注意λ=0时，λa=0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa=0. (2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ+a，λ-a是无法运算的. 例1　(1)已知λ∈R，则下列结论正确的是(　　) A.|λa|=λ|a| B.|λa|=|λ|a C.|λa|=|λ|·|a| D.|λa|>0 答案　C 解析　当λ<0时，|λa|=λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，B错误；当λ=0或a=0时，|λa|=0，D错误. (2)已知点C在线段AB上，且=，则=　　　 ，=　　　 . 答案　　- 解析　因为C在线段AB上，且=， 所以与方向相同，与方向相反， 且=，=， 所以=，=-. 例1　(2)(课本例1)已知a=3e，b=-2e，其中e为非零向量，判断a与b是否平行，并求|a|∶|b|的值. 解　由b=-2e得e=-b， 代入a=3e得a=-b. 因此a∥b，且|a|=|b|，即|a|∶|b|=. 反思感悟　对于数乘运算，要认识到任意实数λ与任意向量a的乘积λa仍是向量，要明确两向量的关系，应从两方面入手，一是方向，二是大小. 跟踪训练1　(多选)已知a，b是两个非零向量，则下列说法中正确的是(　　) A.-2a与a是共线向量，且-2a的模是a的模的两倍 B.3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的 C.-2a与2a是一对相反向量 D.a-b与-(b-a)是一对相反向量 答案　ABC 解析　A中，∵-2<0， ∴-2a与a方向相反，两向量共线， 又|-2a|=2|a|，∴A正确； B中，∵3>0，∴3a与a方向相同，且|3a|=3|a|， ∵5>0，∴5a与a方向相同，且|5a|=5|a|， ∴3a与5a方向相同，且3a的模是5a的模的， ∴B正确； C中，按照相反向量的定义可以判断C正确； D中，∵-(b-a)=-b+a=a-b， ∴a-b与-(b-a)为相等的向量，∴D不正确. 二、向量的线性运算 1.一般地，对于实数λ与μ，以及向量a与b，有 ①λa+μa=(λ+μ)a； ②λ(a+b)=λa+λb. 2.向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算. 例2　(课本例2)化简下列各式： (1)2(a+b)-2(a-b)； (2)-(a+b-c)+2(a-b+c)； (3)2a-×3b+×4a； (4)(λ+μ)(a-b)+(λ-μ)(a+b). 解　(1)原式=2a+2b-2a+2b=2a-2a+2b+2b=4b. (2)原式=-a-b+c+2a-2b+2c=a-3b+3c. (3)原式=2a-b+2a=4a-b. (4)原式=(λ+μ)a-(λ+μ)b+(λ-μ)a+(λ-μ)b =[(λ+μ)+(λ-μ)]a+[(λ-μ)-(λ+μ)]b =2λa+(-2μ)b =2λa-2μb. 例2　计算：(1)3(6a+b)-9； (2)-2； (3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a. 解　(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a. (2)原式=-a-b =a+b-a-b=0. (3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c. 反思感悟　向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用. (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解. 跟踪训练2　若已知向量a，b满足(3a-2c)+4+(a+6b)=0，则c=　　　　.  答案　-6a-6b 解析　因为(3a-2c)+4+(a+6b) =a-c+c-4b+a+6b=2a+2b+c=0， 所以c=-2a-2b，c=-6a-6b. 三、用已知向量表示其他向量 例3　在△ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a=，b=，用向量a，b表示=　　　　　　　　　.  答案　a+b或a+b 解析　因为D为BC的三等分点， 当BD=BC时，如图1， 则=+ =+ =+-) =+=a+b. 当BD=BC时，如图2， 则=+ =+-) =+=a+b. 反思感悟　用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法.结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中，然后利用向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量. (2)方程法.当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. 跟踪训练3　如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且=e1，=e2，试用e1，e2表示，. 解　设=x，则=x， =+=e1-x， ===e1-x. 又==x，由+=， 得x+e1-x=e2. 解方程得x=e2-e1，即=e2-e1. 由=-，=e1-x， 得=-e1+e2. 四、三点共线问题 问题2　如果存在一个实数λ使b=λa，那么向量a，b是否平行？ 提示　平行. 知识梳理 一般地，如果存在实数λ，使得=λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线. 注意点： 证明三点共线，除证明两向量平行外还需要说明两向量有公共点. 例4　(1)(课本例6)已知A，B，C是三个不同的点，=a-b，=2a-3b，=3a-5b.求证：A，B，C三点共线. 证明　因为=-=(2a-3b)-(a-b)=a-2b， =-=(3a-5b)-(a-b)=2a-4b， 所以=2，因此A，B，C三点共线. 例4　(1)设a，b是不共线的两个向量. 若=2a-b，=3a+b，=a-3b， 求证：A，B，C三点共线. 证明　∵=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b， 而=-=(a-3b)-(3a+b) =-(2a+4b)=-2， ∴与共线，且有公共点B， ∴A，B，C三点共线. (2)设P是△ABC所在平面内的一点，+=2，则(　　) A.P，A，C三点共线 B.P，A，B三点共线 C.P，B，C三点共线 D.以上均不正确 答案　A 解析　在△ABC 中，取AC的中点D(图略)， 则+=2，∴2=2， ∴D和P重合，∴P，A，C三点共线. 反思感悟　证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得=λ(或=λ等)即可. 跟踪训练4　已知向量a，b，且=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b，则一定共线的三点是(　　) A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D 答案　A 解析　=+=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2(a+2b)=2，又，有公共点B，所以A，B，D三点共线. 1.知识清单： (1)数乘向量的定义及几何意义. (2)数乘向量的运算律. (3)向量的线性运算. (4)向量平行、三点共线. 2.方法归纳：数形结合法、分类讨论法、转化法. 3.常见误区： (1)忽视零向量这一个特殊向量. (2)数乘向量的方向错误导致解题失误. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若=a，=b，则等于(　　) A.(a-b) B.-(a-b) C.(a+b) D.-(a+b) 答案　C 解析　因为M是BC的中点， 所以=(a+b). 2.若|a|=5，b与a的方向相反，且|b|=7，则a等于(　　) A.b B.-b C.b D.-b 答案　B 解析　∵ b与a反向，∴a=λb(λ<0)， ∴|a|=-λ|b|，即-7λ=5，解得λ=-， ∴a=-b. 3.已知a，b是不共线的两个平面向量，=a+5b，=-2a+8b，=3(a-b)，则(　　) A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线 C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线 答案　B 解析　∵=+=-2a+8b+3(a-b) =a+5b=，∴与共线， 又AB与BD有公共点B，则A，B，D三点共线. 4.若a=2b+c，则3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)=　　　　.  答案　-c 解析　原式=3a+6b-6b-2c-2a-2b =a-2b-2c=2b+c-2b-2c=-c. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分 1.下列说法中正确的是(　　) A.λa与a的方向不是相同就是相反 B.若a，b共线，则b=λa C.若|b|=2|a|，则b=±2a D.若b=±2a，则|b|=2|a| 答案　D 2.化简：-等于(　　) A.a-b+2c B.5a-b+2c C.a+b+2c D.5a+b 答案　A 解析　-=(3a-2a)++(c+c)=a-b+2c. 3.已知=a+3b，=5a+3b，=-3a+3b，其中a，b是不共线的非零向量，则(　　) A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线 C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线 答案　B 解析　∵=+=2a+6b =2(a+3b)=2，又AB，BD有公共点B， ∴A，B，D三点共线. 4.如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则等于(　　) A.-+ B.+ C.- D.- 答案　D 解析　利用向量的三角形法则， 可得=-，=+， ∵E为BC的中点，F为AE的中点， ∴=，=， ∴=-=- =+)-=+-. 又∵=，∴=-. 5.若=3e1，=-5e1，且||=||，则四边形ABCD是(　　) A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.不等腰的梯形 答案　C 解析　∵=3e1，=-5e1，∴=-，∴与平行，且||=||，又||=||，故四边形ABCD是等腰梯形. 6.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若-3+2=0，则等于(　　) A. B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　因为-3+2=0， 所以-=2(-)，所以=2， 所以=2. 7.(5分)若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0，则x=　　　　.  答案　4b-3a 解析　由原方程得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0，即x+3a-4b=0，∴x=4b-3a. 8.(5分)已知=，=λ，则实数λ=　　　.  答案　-3 解析　∵=-， ∴==-)， 即=-3，∴λ=-3. 9.(10分)已知向量a，b. (1)计算6a-[4a-b-5(2a-3b)]+(a+7b)；(5分) (2)把满足3m-2n=a，-4m+3n=b的向量m，n用a，b表示出来.(5分) 解　(1)原式=6a-(4a-b-10a+15b)+a+7b=6a-(-6a+14b)+a+7b =6a+6a-14b+a+7b=13a-7b. (2) ①×4+②×3， 得(12m-8n)+(-12m+9n)=4a+3b， 即n=4a+3b，代入①式， 得m=(a+2n)=(a+8a+6b)=3a+2b， 故m=3a+2b，n=4a+3b. 10.(12分)(1)如图所示，已知=，=，求证：∥；(5分) (2)已知两个非零向量e1和e2不共线，如果=2e1+3e2，=6e1+23e2，=4e1-8e2，求证：A，B，D三点共线.(7分) 证明　(1)由已知得=-=-=-)=，∴∥. (2)∵=++=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6， ∴向量与共线. 又和有共同的起点A， ∴A，B，D三点共线. 11.如图，在平面直角坐标系中，已知=a，=b，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则等于(　　) A.a+b B.2a-3b C.3a-2b D.2b-2a 答案　D 解析　=-=2-2=2=2(-)=2-2=2b-2a. 12.已知|a|=2，|b|=4，a=λb(λ∈R)，则|a-b|等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.2或6 答案　D 解析　∵|a|=2，|b|=4，a=λb(λ∈R)， ∴|a|=|λb|=|λ||b|，即2=4|λ|， ∴λ=或λ=-，即a=±b ∴|a-b|==|b|=2或|a-b|==|b|=6. 13.(5分)过△OAB的重心G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q，设=h，=k，则+=　　　　.  答案　3 解析　不妨设PQ∥AB，因为点G为△OAB的重心，所以=，=，此时h=k=，即+=3. 14.(5分)已知点M是△ABC所在平面内的一点，若满足6--2=0，且S△ABC=λS△ABM，则实数λ的值是　　　　　.  答案　3 解析　记2=.∵6--2=0， ∴-+2-2=0， ∴=2，∴S△ABC=S△ABN. 又∵S△ABM=S△ABN， ∴S△ABC=3S△ABM，从而有λ=3. 15.已知平面上一定点O，不共线的三点A，B，C，动点P满足=+λ，λ∈[0，+∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心 答案　C 解析　如图所示，因为，均为单位向量，且两向量方向分别与，相同.由向量加法的几何意义知+对应一个平行四边形AMQN的对角线. 又因为==1， 所以四边形AMQN是菱形.所以AQ在∠BAC的平分线上. 因为-=，所以=λ(λ∈[0，+∞)). 所以点P在∠BAC的平分线上，即点P的轨迹必过△ABC的内心. 16.(13分)如图，在平行四边形OACB中，BD=BC，OD与BA相交于点E.求证：BE=BA. 证明　如图，设E'是线段BA上的一点，且BE'=BA，只要证E，E'重合即可. 设=a，=b， 则=a，=+=b+a. ∵=-b，=a-，3=， ∴3(-b)=a-， ∴=(a+3b)=， 即=，∴O，E'，D三点共线，∴E与E'重合.∴BE=BA. 学科网（北京）股份有限公司 $