6.1.5向量的线性运算-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)

第六章 平面向量初步 6.1平面向量及其线性运算 6.1.5向量的线性运算 知识梳理 一．向量的加法与数乘向量的混合运算 1.一般地，对于实数和，以及向量，有. 2.一般地，对于实数，以及向量与向量，有. 二.向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘向量以及他们的混合运算，统称为向量的线性运算。 常见考点 考点一 平面向量的混合运算 典例1．等于（ ） A． B． C． D．0 【答案】C 【解析】 故选C 变式1-1．等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用向量的数乘运算可得结果. 【详解】 . 故选：D. 变式1-2．化简的结果是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 直接利用平面向量线性运算法则求解即可. 【详解】 ， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查平面的线性运算法则，意在考查对基本运算掌握的熟练程度，属于基础题. 变式1-3．4(－)－3(＋)－等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据向量的运算法则，计算化简，即可求得答案. 【详解】 原式4(－)－3(＋)－＝. 故选：D 考点二 向量的线性运算 典例2．在中，D是AB边上的一点，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用图形中线段的关系，结合平面向量的线性运算即可求出结果. 【详解】 故选：D. 变式2-1．设为所在平面内一点，，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由已知即可求解. 【详解】 解：因为，为的中点， 所以， 故选：A. 变式2-2．在△ABC中，点D满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 作出简图，结合平面向量的线性运算即可得到答案. 【详解】 如图， 由题意，. 故选：C. 变式2-3．如图，在平行四边形中，是的中点，设，，则向量（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据平行四边形的性质，利用向量加法的几何意义有，即可得到与、的线性关系. 【详解】 由题设，，则，又， ∴. 故选：B 考点三 三点共线问题 典例3．已知不共线的两个非零向量与，若，，，则下列一定共线的三点是（ ） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【答案】A 【分析】 三点共线定理：A、B、D三点共线﹒ 【详解】 ∵， ∴，因为都过点，所以共线﹒ 故选：A 变式3-1．已知向量，，，则（ ） A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 【答案】A 【分析】 利用向量共线定理依次判断即可. 【详解】 ∵向量，， ∴=2，即点A，B，D三点共线. 故选：A. 变式3-2．已知，，，则（ ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【分析】 根据向量的线性运算可得即可得出三点共线. 【详解】 ， 又， 所以，则与共线， 又与有公共点， 所以、、三点共线． 故选：A 变式3-3．设为基底向量，已知向量，若A，B，D三点共线，则k的值是（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】 根据向量共线定理求解． 【详解】 ，A，B，D三点共线，则共线， 所以存在实数使得，所以， 所以，解得． 故选：A． 考点四 向量平行（共线）问题 典例4．已知向量，，其中不共线，则与的关系是（ ） A．不共线 B．共线 C．相等 D．无法确定 【答案】B 【分析】 根据平面向量的加法和减法的运算法则，结合共线向量的性质进行判断即可. 【详解】 因为，，所以， 因此与的关系是共线， 故选：B 变式4-1．已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】 利用平面向量的减法法则以及向量共线即可判断选项. 【详解】 因为＋＋＝， 所以＋＋-， 即， 所以与共线. 故选：B. 变式4-2．已知， 是不共线的非零向量，则下列各式中与不共线的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】 根据共线向量基本定理，排除选项A，B，C. 假设与共线，根据，列方程组，求解，即可. 【详解】 选项A中，，则与共线.不符合题意，排除选项A. 选项B中，，则与共线. 不符合题意，排除选项B. 选项C中，，则与共线. 不符合题意，排除选项C. 选项D中，假设与共线，则，为实数，则， ∴ ∴，这样的不存在，因此假设不成立，所以与不共线.符合题意. 故选：D 【点睛】 本题考查共线向量基本定理，属于中档题. 变式4-3．已知是两个不共线的向量，且向量共线，则实数m的值为（ ）