第6章 6.1.2 向量的加法（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学向量加法核心知识点，系统梳理向量加法的三角形法则（首尾相接）、平行四边形法则（共起点）及运算律（交换律、结合律）。通过位移合成、力的合成等实际情境引入，衔接向量基本概念，为后续向量运算构建学习支架。 该资料以问题驱动探究，如通过质点位移、力的合成情境培养数学眼光，对比两种法则的区别联系发展数学思维，结合作图与符号表达强化数学语言。课中助力教师清晰授课，课后通过分层练习帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

6.1.2　向量的加法 学习目标　1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则做两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性. 导语　 我们知道，实数可以进行运算，如1+2=3，2×3=6，正是有了运算，数字才有了无穷的威力，在运算中，我们还有加法交换律和结合律，乘法交换律、分配律和结合律，那么向量是否也能像数一样进行运算呢？它的运算规则又是怎样的呢？是不是也有相应的运算律？今天我们就从向量的加法开始，来研究向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用. 一、向量加法的三角形法则 问题1　某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ 提示　这个质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移的结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即可以算作是与的和. 问题2　请结合课本例1，探索一下|a+b|与|a|，|b|之间的关系？ 提示　(1)当向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b方向不同，且|a+b|<|a|+|b|. (2)当a与b同向时，a+b，a，b同向，且|a+b|=|a|+|b|. (3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|. 知识梳理 1.一般地，平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作=a，=b，作出向量，则向量称为向量a与b的和(也称为向量a与b的和向量).向量a与b的和向量记作a+b，因此+=.当a与b不共线时，求它们的和可用图表示，此时a，b，a+b正好能构成一个三角形，所以上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则. 2.对任意向量a，有a+0=0+a=a. 3.向量a，b的模与a+b的模之间满足不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 注意点： 运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，连首尾”. 例1　(1)如图所示， ①a+b=　　　　；  ②c+d=　　　　；  ③a+b+d=　　　　；  ④c+d+e=　　　　.  答案　①c　②f　③f　④g (2)设|a|=8，|b|=12，则|a+b|的最大值与最小值分别为　　　　，　　　　.  答案　20　4 解析　当a，b共线且同向时， |a+b|=|a|+|b|=8+12=20， 当a，b共线且反向时，|a+b|=||a|-|b||=4. 当a，b不共线时，||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|，即4<|a+b|<20， 综上可知，4≤|a+b|≤20，所以最大值为20，最小值为4. 例1　(2)(课本例1)已知|a|=3，|b|=4，求|a+b|的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系. 解　由|a+b|≤|a|+|b|可知，|a+b|的最大值为|a|+|b|=3+4=7， 当且仅当a与b方向相同时取得最大值. 由|a+b|≥||a|-|b||可知，|a+b|的最小值为||a|-|b||=|3-4|=1， 当且仅当a与b方向相反时取得最小值. 反思感悟　向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，即++……+=. 跟踪训练1　(1)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，点F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填一个向量)： ①+=　　　　　；  ②+=　　　　　.  答案　①　② 解析　如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知 +=+=， +=+=. (2)若a，b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则(　　) A.a∥b，且a与b方向相同 B.a，b是方向相反的向量 C.a=-b D.a，b无论什么关系均可 答案　A 解析　由向量加法的几何意义可知，若a，b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则有a∥b，且a与b方向相同，A正确；若a，b是方向相反的向量，则|a+b|=||a|-|b||，B错误；若a=-b，则a+b=0，|a+b|=0，C错误；若a，b为任意非零向量，有|a+b|≤|a|+|b|，D错误. 二、向量加法的平行四边形法则 问题3　图(1)表示橡皮条ME在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图(2)表示橡皮条ME在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度EO.从力学的观点分析，力F与F1，F2之间的关系如何？你能从这个问题出发，给出求解向量之和的另一种方法吗？ 提示　F=F1+F2；平行四边形法则. 知识梳理 1.平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作=a，=b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为=，所以=+=+，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则. 2.从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的. 3.向量的加法运算满足交换律，即对于任意的向量a，b，都有a+b=b+a. 注意点： 运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同. 例2　(1)如图①所示，求作向量a+b； (2)如图②所示，求作向量a+b+c. 图①　　　　　　图② 解　(1)首先作向量=a，然后作向量=b，则向量=a+b.如图③所示. 图③ (2)方法一　(三角形法则)如图④所示， 首先在平面内任取一点O，作向量=a，再作向量=b，则向量=a+b，然后作向量=c，则向量=(a+b)+c=a+b+c即为所求. 图④　　　　　　 　　　　图⑤ 方法二　(平行四边形法则)如图⑤所示， 首先在平面内任取一点O，作向量=a，=b，=c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则=+=a+b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则=+=a+b+c即为所求. 反思感悟　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形 法则 (1)首尾相接； (2)适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边 形法则 (1)共起点； (2)仅适用于不共线的两个向量求和 跟踪训练2　如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量. (1)+=　　　　　；  (2)+=　　　　　；  (3)+=　　　　　.  答案　(1)　(2)　(3)0 解析　(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故+=. (2)因为=，故+与方向相同，长度为的长度的2倍， 故+=. (3)因为=，故+=+=0. 三、多个向量相加 问题4　我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法也满足交换律，是否也满足结合律呢？你能证明自己的猜想吗？ 提示　如图，不难证明满足结合律. 知识梳理 加法结合律(a+b)+c=a+(b+c). 例3　(课本例2)化简下列各式： (1)++； (2)++++. 解　(1)++=(+)+=+=. (2)++++ =++(++) =++=(+)+ =+ ==0. 例3　化简： (1)+； (2)++； (3)++++. 解　(1)+=+=. (2)++=++ =(+)+=+=0. (3)++++ =++++ =+++ =++ =+=0. 反思感悟　向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 跟踪训练3　++++等于(　　) A. B.0 C. D. 答案　B 解析　++++ =+ =0+0=0. 1.知识清单： (1)向量加法的三角形法则. (2)向量加法的平行四边形法则. (3)向量加法的运算律. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点. 1.化简++等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据平面向量的加法运算，得++=(+)+=+=. 2.正方形ABCD的边长为1，则|+|为(　　) A.1 B. C.3 D.2 答案　B 解析　在正方形ABCD中，AB=1，易知AC=，所以|+|=||=AC=. 3.(多选)下列等式不正确的是(　　) A.a+(b+c)=(a+c)+b B.+=0 C.=++ D.|a+b|=|a|+|b| 答案　BD 解析　B错误，+=0；D错误，当a，b方向相同时成立，故选BD. 4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则+++等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　+++=+++=++=+=. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.++++等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　++++=(+)+(+)+=++=(+)+=+=. 2.若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a+b表示(　　) A.向东北方向航行2 km B.向北偏东30°方向航行2 km C.向北偏东60°方向航行2 km D.向东北方向航行(1+)km 答案　B 解析　如图，易知tan α=，所以α=30°.故a+b的方向是北偏东30°. 又|a+b|=2 km，故选B. 3.如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，则++等于(　　) A. B. C. D.0 答案　A 解析　++=+=. 4.设a，b是非零向量，则“|a+b|=|a|-|b|”是“a∥b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　对于充分性，易知|a+b|=|a|-|b|成立的条件是a，b方向相反，且|a|≥|b|， 所以由|a+b|=|a|-|b|可得a∥b，所以充分性成立； 对于必要性，若a∥b，当a，b的方向相同时，|a+b|=|a|+|b|，因此必要性不成立， 所以“|a+b|=|a|-|b|”是“a∥b”的充分不必要条件. 5.在如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则+等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　利用平行四边形法则作出向量+(图略)，平移即可发现+=. 6.若在△ABC中，=a，=b，且|a|=|b|=1，|a+b|=，则△ABC的形状是(　　) A.正三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 答案　D 解析　由于||=|a|=1，||=|b|=1，||=|a+b|=，所以△ABC为等腰直角三角形. 7.(5分)如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.则 (1)++=　　　　；  (2)++=　　　　.  答案　(1)　(2)0 8.(5分)在边长为1的等边三角形ABC中，|+|=　　，|+|=　　　　.  答案　1　 解析　易知|+|=||=1，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，则|+|=||=2||×sin 60°=2×1×=. 9.(10分)如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式： (1)++；(3分) (2)++；(3分) (3)++.(4分) 解　(1)++=+=. (2)++=(+)+=+=. (3)++=++=+=. 10.(12分)某人在静水中游泳，速度大小为4 千米/时，他在水流速度大小为4千米/时的河中游泳.若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 解　如图，设此人游泳的速度为，水流的速度为，以，为邻边作▱OACB，则此人的实际速度为+=. 由勾股定理知||=8，且在Rt△ACO中，∠COA=60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时. 11.在矩形ABCD中，||=2，设=a，=b，=c，则|a+b+c|的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　C 解析　由题意可知a+b+c=++=+， 如图，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE， ∴CE∥AD，CE=AD， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴=， ∴+=+=， ∴|a+b+c|=||=4. 12.已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足+=，则下列结论中正确的是(　　) A.P在△ABC的内部 B.P在△ABC的边AB上 C.P在AB边所在的直线上 D.P在△ABC的外部 答案　D 解析　+=，根据向量加法的平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外. 13.(多选)设a=(+)+(+)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为(　　) A.a∥b B.a+b=a C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b| 答案　AC 解析　由条件得，a=(+)+(+)=+++=0，所以选项中a与b的关系，即0与b的关系，易知A，C正确. 14.(5分)已知点G是△ABC的重心，则++=　　　.  答案　0 解析　如图所示，连接AG并延长交BC于点E，则点E为BC的中点，延长AE到点D，使GE=ED， 则+=，+=0， ∴++=0. 15.(5分)设|a|=2，e为单位向量，则|a+e|的最大值为　　　.  答案　3 解析　在平面内任取一点O，作=a，=e，则a+e=+=， 因为e为单位向量， 所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1的位置时，O，A，B1三点共线，||即|a+e|最大，最大值是3. 16.(12分)如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：++=0. 证明　由题意知，=+， =+，=+. 由平面几何知识可知，=，=， 所以++ =(+)+(+)+(+) =(+++)+(+) =(+++)+0 =++=++=0. 学科网（北京）股份有限公司 $