第5章 周末练4 范围：§5.3～§5.4（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

**基本信息** 聚焦概率初步核心知识，以题载法系统呈现对立事件判断、古典概型计算等方法，强化数学思维与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-2、多选7-9|定义辨析法、对立事件转化法|从互斥与对立事件概念出发，构建事件关系判断框架| |古典概型|单选3-6、填空10-12|列举法、树状图法|通过样本空间分析，建立“事件-概率”计算模型| |综合应用|解答13-14|分类讨论法、分步计数法|结合实际情境，实现概率知识的迁移与综合运用|

周末练4　范围：§5.3~§5.4 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.从4双不同的鞋中任意取出4只，事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”(　　) A.是对立事件 B.不是互斥事件 C.是互斥但不对立事件 D.都是不可能事件 答案　A 解析　从4双不同的鞋中任意摸出4只，可能的结果为“恰有2只成对”“4只全部成对”“4只都不成对”， 故事件“4只全部不成对”的对立事件为“恰有2只成对”或“4只都成对”，即“至少有2只成对”. ∴事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”是对立事件. 2.下列说法正确的是(　　) A.在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率 B.掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是对立事件 C.甲、乙两人对同一个靶各射击一次，记事件A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A∪B=“恰有一人中靶” D.抛掷一枚质地均匀的硬币，若前3次均正面向上，则第4次正面向上的概率小于 答案　A 解析　对于A，在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率，A正确； 对于B，掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是互斥事件，但不是对立事件，B错误； 对于C，A∪B=“靶被击中”，C错误； 对于D，抛掷一枚质地均匀的硬币，无论哪一次，正面向上的概率都等于，D错误. 3.某市对创建全国文明城市工作进行验收时，有关部门对某校高二年级6名学生进行了问卷调查，6人得分分别为5，6，7，8，9，10.把这6名学生的得分看成一个总体.如果用简单随机抽样的方法从这6名学生的得分中抽取2个组成一个样本，那么该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　总体平均数为×(5+6+7+8+9+10)=7.5.“从这6名学生的得分中抽取2个”的样本空间Ω={(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(5，10)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，(7，10)，(8，9)，(8，10)，(9，10)}，则n(Ω)=15.记事件A=“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”，则A={(5，9)，(5，10)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)}，所以n(A)=7，则P(A)==. 4.甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A=“甲击中靶”，事件B=“乙击中靶”，事件E=“靶未被击中”，事件F=“靶被击中”，事件G=“恰有一人击中靶”，对下列关系式(表示A的对立事件，表示B的对立事件)：①E= ，②F=AB，③F=A+B，④G=A+B，⑤G=B+A，⑥P(F)=1-P(E)，⑦P(F)=P(A)+P(B).其中正确的关系式的个数是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　B 解析　由题可得①E= ，正确；②事件F=“靶被击中”，AB表示甲、乙同时击中，F=AB+B+A，错误； ③F=A+B，正确；④A+B表示靶被击中，错误；⑤G=B+A，正确；⑥E，F互为对立事件，P(F)=1-P(E)，正确；⑦P(F)=P(A)+P(B)-P(AB)，错误. 5.甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0，5，10三个数，每人则可喊0，5，10，15，20五个数，当两人所出数之和等于某人所喊数时，喊该数者获胜.若甲喊10，乙喊15，则(　　) A.甲胜的概率大 B.乙胜的概率大 C.甲、乙胜的概率一样大 D.不能确定谁获胜的概率大 答案　A 解析　甲、乙两人喊拳，每人用手出0，5，10三个数，有(0，0)，(0，5)，(0，10)，(5，0)，(5，5)，(5，10)，(10，0)，(10，5)，(10，10)，共9种情况，若甲喊10，则有(0，10)，(5，5)，(10，0)，共3种情况获胜，所以甲胜的概率为；乙喊15，有(5，10)，(10，5)，共2种情况获胜，所以乙胜的概率为，所以甲胜的概率大. 6.三人制足球(也称为笼式足球)以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球爱好者.在某次三人制足球传球训练中，A队有甲、乙、丙三名队员参加.甲、乙、丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人.若由甲开始发球(记为第一次传球)，则第四次传球后，球仍回到甲的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　画出树状图表示传球事件： 由树状图知，第四次传球后，球仍回到甲的概率P==. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入决赛(比赛采用三局两胜制，即率先获得两局胜利者赢得比赛，随即比赛结束).假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.某同学利用计算机产生了1~5之间的随机数，当出现1，2或3时表示甲获胜，当出现4或5时表示乙获胜，以每3个随机数为一组进行冠军模拟预测，如果产生如下20组随机数： 423　123　423　344　114　453　525　332 152　342　534　443　512　541　125　432 334　151　314　354 根据频率估计概率的思想，下列说法正确的有(　　) A.甲获得冠军的概率近似值为0.65 B.甲以2∶0的比分获得冠军的概率近似值为0.5 C.比赛总共打满三局的概率近似值为0.55 D.乙以2∶0的比分获得冠军的概率近似值为0.15 答案　ACD 解析　表示甲获得冠军的数有：423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，共13组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为=0.65，故A正确； 表示甲以2∶0的比分获得冠军的数有：123，114，332，125，334，314，共6组数，故估计甲以2∶0的比分获得冠军概率为=0.3，故B错误； 表示比赛总共打满三局的数有：423，423，344，525，152，342，534，512，432，151，354，共11组数，故估计比赛总共打满三局的概率为=0.55，故C正确； 表示乙以2∶0的比分获得冠军的数有：453，443，541，共3组数，故估计乙以2∶0的比分获得冠军的概率为=0.15，故D正确. 8.某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站(首发站)乘车，假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的，则下列结论正确的是(　　) A.甲、乙两人下车的所有可能的结果有8种 B.甲、乙两人同时在第2号车站下车的概率为 C.甲、乙两人同时在第4号车站下车的概率为 D.甲、乙两人在不同的车站下车的概率为 答案　BD 解析　甲、乙两人下车的所有可能的结果为(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共9种，A错误；甲、乙两人同时在第2号车站和第4号车站下车的概率都是，B正确，C错误；甲、乙两人在不同的车站下车的概率为1-3×=，D正确. 9.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回地依次取出两个球，事件A表示“取出的两球不同色”，事件B表示“第一次取出的是黑球”，事件C表示“第二次取出的是黑球”，事件D表示“取出的两球同色”，则下列结论正确的是(　　) A.A与D相互独立 B.A与B相互独立 C.B与D相互独立 D.A与C相互独立 答案　BCD 解析　不放回依次取出两个球，样本点有12，13，14，23，24，34，21，31，41，32，42，43，共12个， 事件A={13，14，23，24，31，41，32，42}； 事件B={12，13，14，21，23，24}； 事件C={12，21，31，41，32，42}； 事件D={12，21，34，43}. 则事件AD=∅，事件AB={13，14，23，24}， 事件BD={12，21}，事件AC={31，41，32，42}， 则P(A)==，P(B)==， P(C)==，P(D)==， P(AD)=0，P(AB)==， P(BD)==，P(AC)==， 所以P(AD)≠P(A)P(D)，所以A与D不相互独立； P(AB)=P(A)P(B)，所以A与B相互独立； P(BD)=P(B)P(D)，所以B与D相互独立； P(AC)=P(A)P(C)，所以A与C相互独立. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.一个袋子中装有一定数量的红、绿玻璃球，从中不放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则至少取得一个红球的概率为　　　　.  答案　 解析　由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率P(A)=1-P(B)=1-=. 11.现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为　　　　　　　.  答案　 解析　从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名， 所有可能的结果组成的样本空间为Ω={(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)}，共包含12个样本点. 设事件A为“A1和B1全被选中”，共包含(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)两个样本点，则其对立事件为“A1和B1不全被选中”，共有10个样本点，概率为=. 12.★★由1，2，3，…，1 000这1 000个正整数构成集合A，先从集合A中随机取一个数a，取出后把a放回集合A，然后再从集合A中随机取出一个数b，则>的概率为　　　　　　.  答案　 解析　由题可知，A={x∈N+|1≤x≤1 000}，且a，b∈A， 要使得>，即a>b，则有 当a=1时，b=1或2，有2种取法； 当a=2时，b的取值增加3，4，5，有2+3种取法； 当a=3时，b的取值增加6，7，8，有2+2×3种取法； … 当a=333时，b有2+332×3种取法； 当334≤a≤1 000时，b都有1 000种取法. 故P= ==. 四、解答题(共27分) 13.(13分)一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球. (1)求第二次取到红球的概率；(4分) (2)求两次取到的球的颜色相同的概率；(4分) (3)如果是4个红球，n(n∈N+)个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少？(5分) 解　从10个球中依次不放回地取出2个球，共有10×9=90(个)等可能的结果. (1)如图(1)，设A=“第一次取到红球”，B=“第二次取到红球”，则B=AB∪B，且AB和B互斥，所以P(B)=P(AB)+P(B)=+=. (2)如图(1)及(1)设可知，“两次取到的球的颜色相同”=AB∪，且AB和互斥，所以P(AB∪)=P(AB)+P()=+=. (3)如图(2)，样本点总数为(4+n)(3+n)，两个球都是红球的样本点个数为4×3=12，则=，又n∈N+，解得n=5. 14.(14分)某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总积分不低于60分则晋级复赛. 小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. (1)求小明在第一轮得40分的概率；(6分) (2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？(8分) 解　(1)对A类的5个问题进行编号：a，b，c，d，e，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，则有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种选法， 设小明只能答对4个问题的编号为：a，b，c，d， 则小明在第一轮得40分，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6种选法， 则小明在第一轮得40分的概率为=. (2)由(1)知，小明在第一轮得40分的概率为， 则小明在第一轮得0分的概率为1-=， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分， ①当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为 P1=0.5×0.5×[0.5×(1-0.5)+(1-0.5)×0.5]=0.125； P2=×(0.4×0.6+0.6×0.4)=0.288； ②当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为 P3=0.5×0.5×0.5×0.5=0.062 5； P4=×0.4×0.4=0.096； ③当第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为 P5=[0.5×(1-0.5)+(1-0.5)×0.5]×0.5×0.5=0.125； P6=×0.4×0.4=0.064； ④当第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时， 小芳晋级复赛的概率为 P7=[(1-0.5)×(1-0.5)]×0.5×0.5 =0.062 5； ∴小芳晋级复赛的概率为P1+P3+P5+P7=0.125+0.062 5+0.125+0.062 5=0.375； 小明晋级复赛的概率为P2+P4+P6=0.288+0.096+0.064=0.448. ∵0.448>0.375， ∴小明更容易晋级复赛. 学科网（北京）股份有限公司 $