6.1.3 向量的减法-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学向量的减法这一核心知识点，承接向量加法基础，通过相反向量定义将减法转化为加法运算，系统梳理减法法则（三角形法则）、相反向量性质及模的不等式关系，构建从加法到减法的完整知识支架。 资料以梯度进阶式教学为特色，通过“微点助解”揭示减法实质，“思维建模”总结解题思路，结合作图、化简等题型训练，培养学生几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）与向量表达（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后辅助学生巩固提升，有效查漏补缺。

6.1.3　向量的减法 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义. 2.理解向量加法与减法的关系，掌握向量减法的三角形法则. 1.向量的减法法则 向量的差 平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b+x=a，则称x为向量a与b的差，并记作x=a-b 向量减法的三角形法则 在平面内任取一点O，作=a，=b，作出向量，注意到+=，因此向量就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量)，即-= 结论 ||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b| 2.相反向量 定义 给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作-a 性质 (1)因为零向量的始点与终点相同，所以-0=0； (2)任何一个向量与它的相反向量的和等于零向量，即a+(-a)=0，+(-)=0； (3)一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量 |微|点|助|解| (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，就可以把减法转化为加法，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a-b=a+(-b). (2)注意向量加、减法的三角形法则的区别. (3)以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量=a，=b，则两条对角线表示的向量为=a+b，=b-a，=a-b，这一结论应用非常广泛，应该加强理解并记牢. 基础落实训练 1.若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式成立的是 (　　) A.=+ B.=- C.=-+ D.=-- 解析：选B　=+=-. 2.下列等式： ①0-a=-a；②-(-a)=a；③a+(-a)=0； ④a+0=a；⑤a-b=a+(-b)；⑥a+(-a)=0. 其中正确的个数是 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：选C　由向量减法、相反向量的定义可知①②③④⑤都正确，⑥错误. 3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，则-+等于 (　　) A. B. C. D. 解析：选A　-+=++=+0=. 题型(一)　向量减法的三角形法则 [例1]　如图，O为△ABC内一点，=a，=b，=c.求作： (1)b+c-a； (2)a-b-c. 解：(1)如图1所示，以为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则=+=b+c，所以b+c-a=-=. (2)由(1)知，=b+c，如图2所示，则a-b-c=-=. |思|维|建|模| 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a-b，可以先作-b，然后作a+(-b)即可. (2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. [针对训练] 1.如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+b-c. 　 解：法一：如图①，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，则=a+b-c. 法二：如图②，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，连接OC，则=a+b-c. 题型(二)　向量加、减法的基本运算 [例2]　化简下列各式： (1)--； (2)(-)-(-). 解：(1)法一：--=-=. 法二：--=-(+)=-=. 法三：--=+(+)=+(+)=+=+=. (2)法一：(-)-(-) =--+=+++ =+++ =+=0. 法二：(-)-(-)=--+=(-)-+=-+=+=0. 法三：设O是平面内任意一点，则(-)-(-)=--+=(-)-(-)-(-)+(-)=--+-++-=0. |思|维|建|模| 　　利用向量加、减法的基本运算化简向量的一般思路是将若干个求和(差)的向量最终转化为首尾相接的向量，如果遇到差向量可利用相反向量转化为和向量. [针对训练] 2.(多选)下列各式中，化简结果为的是 (　　) A.(-)- B.-(+) C.-(+)-(+) D.--+ 解析：选ABC　(-)-=++=，故A正确；-(+)=-0=，故B正确；-(+)-(+)=-(+)-(+)=--=-(+)=-=，故C正确；--+=2+≠，故D不正确. 题型(三)　用已知向量表示其他向量 [例3]　如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，=a，=b，=c，试用a，b，c表示. 解：法一：=+=a+=a+(-)=a+c-b. 法二：=+++=++(+)=++0=+(+)=a+(-b+c)=a-b+c. |思|维|建|模| (1)用已知向量表示其他向量时，关键是利用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义. (2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤： ①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果. [针对训练] 3.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且=a，=b，=c，试用a，b，c表示向量及. 解：∵四边形ACDE是平行四边形， ∴==c，=-=b-a， =-=c-a， =-=c-b. ∴=+=b-a+c. 题型(四)　向量加、减法几何意义的应用 [例4]　已知||=6，||=9，求|-|的取值范围. 解：∵|||-|||≤|-|≤||+||， 且||=6，||=9， ∴3≤|-|≤15. 当与同向时，|-|=3； 当与反向时，|-|=15. ∴|-|的取值范围为[3，15]. [变式拓展] 1.将本例的条件改为“||=8，||=5”，求||的取值范围. 解：因为=-，||=8，||=5， |||-|||≤|-|≤||+||， 所以3≤||≤13. 当与同向时，||=3； 当与反向时，||=13. 所以||的取值范围是[3，13]. 2.将本例中条件“||=9”改为“||=9”，求||的取值范围. 解：∵=-， 又||=||， ∴|||-|||≤|-|≤||+||. ∴3≤||≤15. ∴||的取值范围是[3，15]. |思|维|建|模| (1)向量a，b的模与a-b的模之间满足的关系式为||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|. (2)利用|a|，|b|，|a+b|，|a-b|的几何意义画出图形，数形结合求解所求的模. 　 　　[针对训练] 4.设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外，||=4，|+|=|-|，则||= (　　) A.8 B.4 C.2 D.1 解析：选C　以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，则由向量加、减法的几何意义可知=+=-.因为|+|=|-|，所以||=||.又四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB.则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此||=||=2. 5.已知a，b是两个非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，求的值. 解：设=a，=b，则=-=a-b. ∵|a|=|b|=|a-b|， ∴BA=OA=OB.∴△OAB为正三角形. 设其边长为1，则|a-b|=||=1， |a+b|=2×=. ∴==. 学科网（北京）股份有限公司 $