第6章 6.1.1 向量的概念（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦向量的概念这一核心知识点，系统梳理向量的定义、模、几何与字母表示法，以及零向量、单位向量、平行向量、相等向量等关键概念。从物理情境引入，通过问题驱动概念形成，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以物理背景培养数学眼光，通过多选例题辨析概念发展数学思维，结合坐标纸作图提升数学语言表达能力。课中助力教师引导概念辨析，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化对向量核心概念的理解与应用。

6.1.1　向量的概念 学习目标　1.理解向量、零向量、单位向量、向量模的意义.2.掌握向量的几何表示，会用字母表示向量，用向量表示点的位置.3.了解平行向量和相等的向量的意义，并会判断向量间共线(平行)、相等的关系. 导语　 向量，最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.在本章我们将探究如何用数学符号确切地描述向量，进一步探究向量的运算与应用. 一、位移与向量的概念及其表示 问题1　如图，在图中分别用向量表示A地至B，C两地的位移. 提示　A地至B，C两地的位移可以用有向线段，表示. 知识梳理 1.定义 既有大小又有方向的量称为向量. 2.向量的长度 向量的大小也称为向量的模(或长度). 3.向量的表示法 (1)向量可以用有向线段来表示，其中有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向. (2)始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为.除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外，还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如，，等来表示向量. 4.向量的有关概念 名称 定义 表示方法 零向量 始点和终点相同的向量 0 单位向量 模等于1的向量 注意点： (1)书写向量时要带箭头. (2)有向线段是表示向量的一种方法，是向量的直观表示，但二者不能划等号.从定义上看，向量有大小和方向两要素，而有向线段有起点、方向、长度三要素，因此这是两个不同的量. (3)向量不能比较大小，向量的模可以比较大小. (4)0与0不同.0表示数量，但0表示零向量，其中|0|=0. 例1　(1)(多选)下列说法错误的是(　　) A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 答案　ABC 解析　A项，向量不能比较大小，不正确； B项，同向的向量也不能比较大小，不正确； C项，向量的大小即向量的模，指的是向量的长度，与方向无关，不正确；D项，向量的模是一个数量，可以比较大小，正确. (2)(多选)下列说法正确的是(　　) A.单位向量只有1个 B.零向量的长度为0 C.零向量的方向是任意的 D.向量的模是一个非负实数 答案　BCD 解析　由单位向量的定义知，长度为1的向量称为单位向量，对方向没有任何要求，单位向量有无数个，故A错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0，方向是任意的，故B，C正确；由向量的模的定义可知，D正确. 反思感悟　解决与向量概念有关问题的方法 (1)向量是既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，但向量的模(长度)是一个数量，可以比较大小. (2)解决此类问题的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：单位向量的核心是长度都是1个单位长度，零向量的核心是长度是0，方向是任意的. 跟踪训练1　(1)下列说法正确的是(　　) A.身高是一个向量 B.平面直角坐标系上的x轴、y轴都是向量 C.温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D.物理学中的摩擦力、重力都是向量 答案　D 解析　A中的身高，C中的温度都是数量，不是向量，故AC错误；B中平面直角坐标系上的x轴、y轴只有方向，但没有长度，也不是向量，故B错误；D中的物理学中的摩擦力、重力都既有大小，又有方向，是向量. (2)(多选)下列命题正确的是(　　) A.若向量a=，b=，则|a|=|b| B.若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反 C.若向量是单位向量，则也是单位向量 D.在Rt△ABC中，∠A=90°，若该三角形的外接圆的半径长为，则为单位向量 答案　ACD 解析　由于|a|=||=AB，|b|=||=BA=AB，因此有|a|=|b|，故A正确； 由单位向量的定义知，长度为1个单位长度的向量均称为单位向量，但是对方向没有任何要求，故B不正确； 因为||=||，所以当是单位向量时，也是单位向量，故C正确； 由于Rt△ABC的斜边BC是外接圆的直径，所以||=1，故D正确. 二、向量的简单应用 例2　在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： (1)，使||=4，点A在点O北偏东45°； (2)，使||=4，点B在点A正东方向； (3)，使||=6，点C在点B北偏东30°. 解　(1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又||=4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示. (2)由于点B在点A正东方向，且||=4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示. (3)由于点C在点B北偏东30°处，且||=6，依据勾股定理可得在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示. 反思感悟　准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点. 跟踪训练2　某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点. (1)作出向量，，； (2)求的模. 解　(1)作出向量，，，如图所示. (2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC=90°，BC=10米，CD=10米，所以BD=10米.△ABD是直角三角形，其中∠ABD=90°，AB=5米，BD=10米，所以AD==5(米)，所以||=5米. 三、向量的相等与平行 问题2　如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，向量与有什么关系？ 提示　大小相等，方向相同. 问题3　如图所示，在梯形ABCD中，向量与有什么关系？ 提示　大小不等，方向相同. 知识梳理 平行向量 (共线向量) 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行；两个向量a和b平行，记作a∥b.规定：零向量与任意向量平行 相等的向量 一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量；向量a和b相等，记作a=b 注意点： 向量平行与直线平行的区别. 例3　(1)(多选)下列命题为真命题的是(　　) A.两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等 B.若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上 C.在菱形ABCD中，一定有= D.a=b，b=c，则a=c 答案　BCD 解析　两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故A不正确；单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故B正确；C，D显然正确. (2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且=a，=b，=c. ①与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ ②与a共线的向量有哪些？ ③请一一列出与a，b，c相等的向量. 解　①与a的长度相等、方向相反的向量有，，，. ②与a共线的向量有，，，，，，，，. ③与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，. 例3　(2)(课本例3)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，以图中字母为始点或终点，分别写出与向量，，相等的向量. 解　因为两个向量相等，只要方向相同大小相等即可，所以===， ===， ===. 反思感悟　寻找共线向量或相等的向量的方法 (1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量. (2)寻找相等的向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. 跟踪训练3　如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形. (1)找出与向量共线的向量； (2)找出与向量相等的向量. 解　(1)依据图形可知，，与方向相同，，，，与方向相反，所以与向量共线的向量为，，，，，，. (2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和. 1.知识清单： (1)向量的概念的辨析. (2)向量的表示方法. (3)向量的相等与平行. 2.方法归纳：定义法、数形结合法. 3.常见误区：0的特殊性.共线向量不一定在一条直线上. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案　D 解析　一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量. 2.(多选)在下列四个命题中，正确的是(　　) A.单位向量都共线 B.长度相等的向量都相等 C.共线的单位向量不一定相等 D.任意向量与零向量都共线 答案　CD 解析　对于A，单位向量长度都相等，但不一定都共线，A错误； 对于B，长度相等的向量，方向不一定相同，故长度相等的向量不一定相等，B错误； 对于C，共线的单位向量方向可能相反，C正确； 对于D，任意向量与零向量都共线，D正确. 3.在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(　　) A.与共线 B.与共线 C.与相等 D.与相等 答案　B 解析　如图所示，因为D，E分别是AB，AC的中点，由三角形的中位线定理可得DE∥BC，所以与共线. 4.如图所示，在正方形网格中，向量为单位向量，则||=　　　　，||=　　　　，||=　　　　.  答案　3　　2 解析　由题意知||==3，||==，||==2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.下列说法正确的是(　　) A.向量与向量是相等向量 B.与实数类似，对于两个向量a，b，有a=b，a>b，a<b三种关系 C.两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行 D.若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 答案　D 解析　对于A，向量与向量是方向相反的向量，所以A错误；对于B，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B错误；对于C，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C错误；对于D，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，向量所在的直线可以平行，也可以重合，所以D正确. 2.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是(　　) A.汽车的速度大于摩托车的速度 B.汽车的位移大于摩托车的位移 C.汽车走的路程大于摩托车走的路程 D.以上都不对 答案　C 解析　向量不能比较大小. 3.如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案　B 解析　向量相等要求模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量. 4.若||=||且=，则四边形ABCD的形状为(　　) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 答案　C 解析　由=，知AB=CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形.又因为||=||，所以四边形ABCD为菱形. 5.如图，点A，B，C是以O为圆心的圆周上的三等分点，则向量，，是(　　) A.方向相同的向量 B.共线向量 C.模相等的向量 D.相等的向量 答案　C 解析　由题图可知，三个向量，，方向均不同，也没任何两个向量方向相反，所以它们不共线，由于它们到点O的距离相等，所以模相等. 6.(多选)给出下列四个条件，其中能使a∥b成立的条件是(　　) A.a=b B.|a|=|b| C.a与b方向相反 D.|a|=0或|b|=0 答案　ACD 解析　A中若a=b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；B中若|a|=|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；C中方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；D中零向量与任意向量平行，所以若|a|=0或|b|=0，则a∥b. 7.(5分)如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，则与向量平行的向量为　　　　　.  答案　，， 8.(5分)已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，则||=　　　　.  答案　2 解析　由题意知AC⊥BD，且∠ABD=30°， 设AC与BD的交点为O， ∴在Rt△ABO中， ||=||·cos 30°=2×=， ∴||=2||=2. 9.(10分)一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向北偏西40°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点. (1)作出向量，，；(5分) (2)求||.(5分) 解　(1)向量，，如图所示. (2)由题意，可知与方向相反， 故与共线， ∵||=||， ∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴=，∴||=||=200(km). 10.(10分)如图所示，已知在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又=且=，求证：=. 证明　因为=， 所以||=||且AB∥DC， 所以四边形ABCD是平行四边形， 所以||=||且DA∥CB. 又因为与的方向相同，所以=. 同理可证，四边形CNAM是平行四边形， 所以=. 因为||=||，||=||， 所以||=||. 又与的方向相同，所以=. 11.已知A={与a共线的向量}，B={与a长度相等的向量}，C={与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系中错误的是(　　) A.C⊆A B.A∩B={a} C.C⊆B D.A∩B⊇{a} 答案　B 解析　因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，故B错误. 12.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=120°，则以下说法正确的是(　　) A.与相等的向量只有一个(不含) B.与模相等的向量有9个(不含) C.的模恰好为的模的倍 D.与不共线 答案　ABC 解析　与相等的向量只有，故A说法正确；在菱形ABCD中，AC=AB=BC=CD=DA，每一条线段可得方向相反的两个向量，它们的模都相等，故有5×2-1=9(个)，故B说法正确；计算得DO=DA，所以BD=DA，即||=||，故C说法正确；由AD∥BC知与共线，故D说法错误. 13.(多选)在下列结论中，正确的有(　　) A.a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件 B.a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件 C.a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件 D.a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件 答案　ACD 解析　若a=b，则a与b方向相同，模相等，所以A，C，D正确，B错误. 14.(5分)如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则在图中标出的向量中，与向量相等的向量为　　　　；与向量共线的向量为　　　　；与向量的模相等的向量为　　　　.(填图中所画出的向量)  答案　　，　，，，， 解析　∵O是正三角形ABC的中心，∴OA=OB=OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形， ∴与相等的向量为；与共线的向量为，；与的模相等的向量为，，，，. 15.(5分)已知四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有9个小正方形，16个顶点，从中选取两个点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为2的向量有　　　　个，与向量同向且长度为2的向量有　　　　个.  答案　8　4 解析　如图所示，满足与平行且长度为2的向量有，，，，，，，，共8个，与向量同向且长度为2的向量占与向量平行且长度为2的向量中的一半，共4个. 16.(12分)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且 ||=. (1)画出所有的向量；(5分) (2)求||的最大值与最小值.(7分) 解　(1)画出所有的向量，如图所示. (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， ||取得最小值=； ②当点C位于点C5或C6时， ||取得最大值=. 所以||的最大值为，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $