6.1.2 向量的加法-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦向量的加法这一核心知识点，系统梳理三角形法则、平行四边形法则及多边形法则的原理与几何意义，构建从基本法则到多个向量相加再到实际应用的梯度学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学，通过“微点助解”细化法则要点，“思维建模”总结方法规律，结合小船航行、机器人传球等实例培养数学眼光与思维，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

6.1.2　向量的加法 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义. 2.本节课的重点是掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则做两个向量的加法运算. 1.向量加法的三角形法则 原理 一般地，平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作=a，=b，作出向量，则向量称为向量a与b的和(也称为向量a与b的和向量)，记作a+b，因此+= 图示 结论 ||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| |微|点|助|解| (1)用三角形法则求和必须使两个向量“首尾相连”，即前一个向量的终点与后一个向量的始点重合，其和是第一个向量的始点指向第二个向量的终点的向量.简述为“加向量，首尾连；和向量，始点到终点”. (2)零向量与任一向量a的和都有a+0=0+a=a. 2.向量加法的平行四边形法则　 原理 平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作=a，=b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为=，所以=+=+ 图示 运算律 a+b=b+a 3.多个向量相加 原理 已知n个向量，依次把这n个向量首尾相接，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫作这n个向量的和.这个法则叫作向量求和的多边形法则 图示 运算律 (a+b)+c=a+(b+c) |微|点|助|解| 向量加法的运算律及模之间的不等式 (1)向量加法的运算律 ①加法交换律对于任意的向量a，b，都有a+b=b+a. ②加法结合律对于任意的向量a，b，c，都有(a+b)+c=a+(b+c). (2)不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.当a，b共线，并且a，b方向相反或至少有一个为零向量时，不等式左边等号成立； 当a，b共线，并且a，b方向相同或者至少有一个为零向量时，不等式右边等号成立. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个向量相加，结果有可能是个数量. (　　) (2)向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加. (　　) (3)在△ABC中，若=a，=b，则a+b=. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2.化简：++等于 (　　) A. B. C. D. 解析：选C　根据平面向量的加法运算，得++=(+)+=+=. 3.(多选)下列等式不正确的是 (　　) A.a+(b+c)=(a+c)+b B.+=0 C.=++ D.|a+b|=|a|+|b| 解析：选BD　B错误，+=0；D错误，当a，b方向相同时成立，故选BD. 题型(一)　向量加法的三角形法则和平行四边形法则 [例1]　(1)如图(1)，已知向量a，b，求作向量a+b；(2)如图(2)，已知向量a，b，c，求作向量a+b+c. 解：(1)作法：在平面内任意取一点O，作=a，=b，则=a+b. (2)在平面内任意取一点O，作=a，=b，=c，则=a+b+c. |思|维|建|模| 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 (1)区别：①三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调“共起点”. ②三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和. (2)联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的. 　 [针对训练] 1.如图，按下列要求作答. (1)以A为始点，作出a+b； (2)以B为始点，作出c+d+e； (3)若图表中小正方形边长为1，求|a+b|，|c+d|. 解：(1)将a，b的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出a+b，如图所示. (2)先将共线向量c，d的起点同时平移到B点，计算出c+d，再平移向量e与之首尾相接，利用三角形法则即可作出c+d+e，如图所示. (3)由a是单位向量可知，|a|=1，根据作出的向量利用勾股定理可知，|a+b|==.由共线向量的加法运算可知|c+d|=|-c|=|c|=1. 题型(二)　向量的加法运算律 [例2]　如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： (1)++； (2)+++. 解：(1)++=++=++=+=. (2)+++=+++=++=+=0. |思|维|建|模| (1)解决该类题目要灵活应用向量加法的运算律和向量加法法则，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0. (2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点. [针对训练] 2.设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)++； (2)++； (3)++++. 解：(1)原式=++=0+=. (2)++=++ =(+)+=+ =0. (3)++++ =++++ =+++ =++ =+=0. 题型(三)　向量加法的实际应用 [例3]　已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少? (2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30°有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头?(河水自西向东流) 解：(1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km/h；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h，此时小船是静止的. (2)如图所示，设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度，表示小船在静水中的速度. 设MC⊥MA，||=||=10，∠CMN=30°. ∵+=，∴四边形MANB为菱形. 又∠AMN=60°，∴△AMN为等边三角形. 在△MNB中，||=||=||=10， ∴∠BMN=60°，而∠CMN=30°，∴∠CMB=30°. ∴小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西30°. |思|维|建|模| 　　解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题→作出解答. 　　[针对训练] 3.甲、乙、丙、丁四个机器人按下列路线组织传球：机器人甲按北偏东30°的方向将球传2 m给机器人乙，然后机器人乙按南偏东30°的方向将球传2 m给机器人丙，机器人丙再按西南方向传 m给机器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小. 解：根据题意画出示意图如图所示.用A，B，C，D分别表示甲、乙、丙、丁四个机器人的位置，则球的位移为++=，故球的最终位移为，依题意知△ABC为正三角形，故||=||=||=2 m.又因为∠ACD=45°，CD= m，所以∠ADC=90°， 所以△ACD为等腰直角三角形， 所以||= m. 学科网（北京）股份有限公司 $