第4章 4.1.2 第1课时 指数函数的概念、性质与图象（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

4.1.2　指数函数的性质与图象

第1课时　指数函数的概念、性质与图象

学习目标　1.理解指数函数的概念，了解底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求简单的函数的定义域、值域.

导语

同学们，让我们来做个小游戏吧！将一张A4纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(假设原面积为1)与折叠的次数有什么关系？今天让我们探究一下这个问题.

一、指数函数的概念

指数函数的定义

一般地，函数y=ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.

注意点：

指数函数解析式的三个特征

(1)ax的系数为1.

(2)底数为大于0且不等于1的常数a.

(3)自变量x为指数.

例1　(1)下列函数中是指数函数的是(　　)

A.y=2·3x B.y=

C.y=3x D.y=(-2)x

答案　C

解析　A中，3x的系数不是1，故A不是指数函数；B中，的指数是x+1，不是自变量x，故B不是指数函数；C中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故C是指数函数；D中，底数-2<0，故D不是指数函数.

(2)已知函数f(x)是指数函数，且f=，则f(3)=　　　　. 

答案　125

解析　设f(x)=ax(a>0且a≠1)，由f=得===，

所以a=5，即f(x)=5x，所以f(3)=53=125.

反思感悟　判断一个函数是否为指数函数的方法

(1)看形式：判断其解析式是否符合y=ax(a>0且a≠1)这一结构形式.

(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数.

跟踪训练1　若函数y=a2(2-a)x是指数函数，则(　　)

A.a=1或-1 B.a=1

C.a=-1 D.a>0且a≠1

答案　C

解析　因为函数y=a2(2-a)x是指数函数，

所以即a=-1.

二、指数函数的图象和应用

问题1　用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y=2x与y=的图象.

 

提示　

(1)　　1　2　4　4　2　1　　

(2)y=2x和y=的图象如图所示.

问题2　比一比y=2x与y=的图象有哪些相同点？有哪些不同点？

提示　相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点；不同点：单调性、函数值的变化.我们还发现y=2x与y=这两个底数互为倒数的函数的图象关于y轴对称.

问题3　再选取底数，a=3，a=4，a=，a=，在同一个坐标系中画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置和变化趋势.

提示　

知识梳理

函数y=ax(a>0且a≠1)的图象和性质

 

注意点：

(1)函数图象只出现在x轴上方.

(2)当x=0时，有a0=1，故指数函数过定点(0，1).

(3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴.

(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴.

(5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.