第4章 4.1.2 第1课时 指数函数的概念、性质与图象（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦指数函数的概念、图象与性质这一核心知识点，通过折纸游戏情境引入，抽象出指数函数模型，再经列表描点画图、对比不同底数图象特征，归纳定义域、值域、定点、单调性等性质，形成“情境-概念-图象-性质-应用”的学习支架。 资料特色在于情境化与数形结合，以折纸问题引导学生用数学眼光观察现实世界，通过图象对比培养数学思维，例题及延伸探究强化数学语言表达。课中辅助教师直观教学，课后分层练习帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

4.1.2　指数函数的性质与图象 第1课时　指数函数的概念、性质与图象 学习目标　1.理解指数函数的概念，了解底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求简单的函数的定义域、值域. 导语 同学们，让我们来做个小游戏吧！将一张A4纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(假设原面积为1)与折叠的次数有什么关系？今天让我们探究一下这个问题. 一、指数函数的概念 指数函数的定义 一般地，函数y=ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. 注意点： 指数函数解析式的三个特征 (1)ax的系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数a. (3)自变量x为指数. 例1　(1)下列函数中是指数函数的是(　　) A.y=2·3x B.y= C.y=3x D.y=(-2)x 答案　C 解析　A中，3x的系数不是1，故A不是指数函数；B中，的指数是x+1，不是自变量x，故B不是指数函数；C中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故C是指数函数；D中，底数-2<0，故D不是指数函数. (2)已知函数f(x)是指数函数，且f=，则f(3)=　　　　.  答案　125 解析　设f(x)=ax(a>0且a≠1)，由f=得===， 所以a=5，即f(x)=5x，所以f(3)=53=125. 反思感悟　判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)看形式：判断其解析式是否符合y=ax(a>0且a≠1)这一结构形式. (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数. 跟踪训练1　若函数y=a2(2-a)x是指数函数，则(　　) A.a=1或-1 B.a=1 C.a=-1 D.a>0且a≠1 答案　C 解析　因为函数y=a2(2-a)x是指数函数， 所以即a=-1. 二、指数函数的图象和应用 问题1　用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y=2x与y=的图象. x -2 -1 0 1 2 y=2x y= 提示　 (1)　　1　2　4　4　2　1　　 (2)y=2x和y=的图象如图所示. 问题2　比一比y=2x与y=的图象有哪些相同点？有哪些不同点？ 提示　相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点；不同点：单调性、函数值的变化.我们还发现y=2x与y=这两个底数互为倒数的函数的图象关于y轴对称. 问题3　再选取底数，a=3，a=4，a=，a=，在同一个坐标系中画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置和变化趋势. 提示　 知识梳理 函数y=ax(a>0且a≠1)的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 定义域为R 值域 值域为(0，+∞) 过定点 过定点(0，1) 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在x轴上方. (2)当x=0时，有a0=1，故指数函数过定点(0，1). (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴. (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴. (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. 例2　(1)下列几个函数的图象如图所示：①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx.则a，b，c，d与0和1的关系是(　　) A.0<a<b<1<c<d B.0<b<a<1<d<c C.0<b<a<1<c<d D.1<a<b<c<d 答案　B 解析　由指数函数图象和底数的关系知当底数大于1时，底数越大，图象越靠近y轴，因此得到c>d>1，当底数大于0小于1时，底数越小，图象越靠近y轴，因此得到1>a>b>0，所以0<b<a<1<d<c. (2)若函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有(　　) A.0<a<1，且b>0 B.a>1，且b>0 C.0<a<1，且b<0 D.a>1，且b<0 答案　C 解析　函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象是由函数y=ax的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈(0，1).若经过第二、三、四象限，则需将函数y=ax(0<a<1)的图象向下平移大于1个单位长度，即b-1<-1，所以b<0. 反思感悟　(1)解决指数函数图象问题的注意点 ①熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大体形状. ②在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”. (2)与指数函数相关的定点问题 由指数函数y=ax(a>0，且a≠1)过定点(0，1)，可令所给函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可. 跟踪训练2　(1)函数y=ax-3+3(a>0且a≠1)的图象过定点　　　　.  答案　(3，4) 解析　因为指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象过定点(0，1)， 所以在函数y=ax-3+3中， 令x-3=0，得x=3，此时y=1+3=4， 即函数y=ax-3+3的图象过定点(3，4). (2)函数y=a|x|(a>1)的图象是(　　) 答案　B 解析　当x>0时，y=ax，排除D； 因为a>1，所以y=ax在(0，+∞)上是增函数，排除C； 又当x=0时，函数y=a0=1，即函数过定点(0，1)，排除A； 所以选项B的图象符合. 三、与指数函数有关的定义域(值域)问题 例3　求下列函数的定义域、值域： (1)y=32x+1；(2)y=23-x；(3)y=. 解　(1)函数的定义域为R， ∵x∈R，∴2x+1∈R， ∴函数y=32x+1的值域为(0，+∞). (2)函数的定义域为R， ∵x∈R，∴3-x∈R， ∴函数y=23-x的值域为(0，+∞). (3)由x-1≠0得x≠1， ∴函数的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)， ∴≠0，≠1， ∴函数的值域为(0，1)∪(1，+∞). 延伸探究1　将例3(2)的函数解析式变为y=，则该函数在R上的值域为　　　　；  在(0，3)上的值域为　　　　.  答案　(0，2]　 解析　令t=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，则t≥-1， 又函数y=在[-1，+∞)上单调递减， 故值域为(0，2]； 当x∈(0，3)时，t∈[-1，3)，函数y=在[-1，3)上单调递减， 则y≤=2，且y>=，即函数在(0，3)上的值域为. 延伸探究2　将例3(2)的函数解析式变为f(x)=(a>0，且a≠1)，求此函数的值域. 解　f(x)的定义域是R， 因为-x2-2x+3=-(x+1)2+4≤4， 所以当a>1时，函数f(x)的值域为(0，a4]， 当0<a<1时，函数f(x)的值域为[a4，+∞). 反思感悟　y=af(x)(a>0且a≠1)型的定义域与值域的求法 (1)形如y=af(x)(a>0且a≠1)的函数的定义域就是f(x)的定义域. (2)形如y=af(x)(a>0且a≠1)的值域，应先求出f(x)的值域，再由函数的单调性求出af(x)的值域.若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论. 1.知识清单： (1)指数函数的概念. (2)指数函数的图象和应用. (3)与指数函数有关的定义域(值域)问题. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区： (1)在求值域时易忽视指数函数隐含的条件ax>0(a>0且a≠1). (2)形如函数y=af(x)(a>0且a≠1)过定点的问题，要使f(x)=0. 1.若函数y=(k+2)ax+2-b(a>0且a≠1)是指数函数，则k+b等于(　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 答案　B 解析　由题意可知解得 所以k+b=1. 2.函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：中的一个，则a，b，c，d的值分别是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　直线x=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而>>>，所以a，b，c，d的值分别是. 3.函数y=ax+1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点　　　　.  答案　(-1，3) 解析　令x+1=0，得x=-1， 此时y=1+2=3， 即函数y=ax+1+2的图象过定点(-1，3). 4.函数y=的定义域为　　　　，值域为　　　　.  答案　{x|x≥2}　{y|0<y≤1} 解析　由x-2≥0，得x≥2， 所以y=的定义域为{x|x≥2}， 又因为≥0，0<<1， 所以0<≤1， 即y=的值域为{y|0<y≤1}. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.(多选)若函数f(x)=·ax(a>0且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是(　　) A.a=8 B.f(0)=-3 C.f=2 D.a=4 答案　AC 解析　因为函数f(x)是指数函数，所以a-3=1，所以a=8，所以f(x)=8x，所以f(0)=1，f==2，故B，D错误，A，C正确. 2.指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示，则(　　) A.a<0，b<0 B.a<0，b>0 C.0<a<1，b>1 D.0<a<1，0<b<1 答案　C 3.函数y=-1的定义域是(　　) A.R B.{x|x≠1} C.{x|x≠0} D.{x|x≠0且x≠1} 答案　C 解析　要使y=-1有意义， 只需有意义，即x≠0. 4.若函数y=(1-2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　) A. B.(-∞，0) C. D. 答案　B 解析　∵y=(1-2a)x是R上的增函数， 则1-2a>1，∴a<0. 5.函数y=的值域是(　　) A.(-∞，1) B.(-∞，0)∪(0，+∞) C.(-1，+∞) D.(-∞，-1)∪(0，+∞) 答案　D 解析　由知，当-1<2x-1<0时， y∈(-∞，-1)；当2x-1>0时，y∈(0，+∞)； 综上，函数的值域是(-∞，-1)∪(0，+∞). 6.在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=的图象只可能是(　　) 答案　A 解析　根据指数函数的定义，可知a，b同号且不相等，∴-<0，可排除B，D；由选项C中二次函数的图象，可知a-b>0，a<0，∴>1，∴指数函数y=单调递增，故C不正确，排除C，故选A. 7.(5分)函数y=ax-2+1(a>0且a≠1)的图象必经过点　　　　.  答案　(2，2) 解析　∵a0=1，∴当x=2时，ax-2+1=2， ∴函数y=ax-2+1必经过点(2，2). 8.(5分)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0，则实数a的值等于　　　　.  答案　-3 解析　由已知，得f(1)=2； 又当x>0时，f(x)=2x>1， 而f(a)+f(1)=0， ∴f(a)=-2，即a≤0， ∴a+1=-2，解得a=-3. 9.(10分)求下列函数的定义域和值域. (1)y=；(5分) (2)y=5-x-1.(5分) 解　(1)由1-x≥0，得x≤1. ∴定义域为(-∞，1]. 设t=≥0，则3t≥30=1， ∴值域为[1，+∞). (2)定义域为R， ∵5-x>0，∴5-x-1>-1， ∴值域为(-1，+∞). 10.(10分)画出函数y=|2x-1|的图象，根据图象写出函数的定义域、值域、单调区间和最值. 解　函数图象如图所示，定义域为R；值域为{y|y≥0}；单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞)；最小值为0，无最大值. 11.(多选)下列说法中正确的是(　　) A.任取x>0，均有3x>2x B.y=()-x是增函数 C.y=2|x|的最小值为1 D.在同一坐标系中，y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称 答案　ACD 解析　任取x>0，均有3x>2x，故A正确； y=()-x=是减函数，故B错误； y=2|x|的最小值为1，故C正确； 在同一坐标系中，y=2x与y=2-x=的图象关于y轴对称，故D正确. 12.函数y=ax-a(a>0且a≠1)的大致图象可能是(　　) 答案　C 解析　如果函数的图象是A，那么由1-a=1，得a=0，这与a>0且a≠1相矛盾，故A不可能；如果函数的图象是B，那么由a1-a<0，得0<0，这是不可能的，故B不可能；如果函数的图象是C，那么由0<1-a<1，得0<a<1，且a1-a=0，故C可能；如果函数的图象是D，那么由a1-a<0，得0<0，这是不可能的，故D不可能. 13.(5分)函数y=0.的定义域为　　　　　　　　，值域为　　　　　　　　.  答案　{x|x≠±1}　(0，1)∪ 解析　由x2-1≠0，得x≠±1， ∴函数y=0.的定义域为{x|x≠±1}. ∵x2-1≥-1且x2-1≠0， ∴≤-1或>0， ∴0<0.<1或0.≥， ∴函数y=0.的值域为(0，1)∪. 14.(5分)若关于x的方程=k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为　　　　.  答案　(0，1) 解析　由题意知，y=与y=k的图象有两个不同的交点， 又y= = 如图所示， 所以0<k<1. 15.(多选)已知实数a，b满足=，给出下面几种关系，则其中可能成立的是(　　) A.0<a<b B.0<b<a C.a<b<0 D.b=a 答案　BCD 解析　在同一坐标系中作出函数y=与函数y=的图象，如图所示， 若=>1， 则a<b<0； 若0<=<1，则0<b<a； 若==1，则b=a=0. 16.(12分)已知函数f(x)=ax+b(a>0，且a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；(3分) (2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；(4分) (3)在(1)中，若|f(x)|=m有且仅有一个实数根，求实数m的取值范围.(5分) 解　(1)由题图①知f(x)的图象过点(2，0)，(0，-2)，所以 又因为a>0，且a≠1， 所以 (2)由题图②知f(x)单调递减，所以0<a<1， 又f(0)<0，即a0+b<0，所以b<-1. 故a的取值范围为(0，1)， b的取值范围为(-∞，-1). (3)由(1)知f(x)=()x-3，则画出|f(x)|=|()x-3|的图象如图所示，要使|f(x)|=m有且仅有一个实数根，则m=0或m≥3. 故实数m的取值范围为{0}∪[3，+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $