第六章 平面向量初步（高效培优讲义）数学人教B版2019高一必修第二册

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理平面向量初步的单元体系，按“向量概念-线性运算-坐标表示-应用”递进结构组织，用表格归纳教学目标与重难点，清晰呈现核心知识内在联系，突出向量运算几何意义及几何问题转化的关键难点。 讲义亮点在于题型分层设计，如例8用坐标法解决三点共线求最值，培养运算能力与推理意识，物理航行问题（例10）发展模型观念与应用意识。即学即练与变式题覆盖不同层次，助力学生自主复习，教师可据此实施精准化分层教学。

第六章 平面向量初步单元复习 教学目标 1．理解向量的定义、表示方法，区分零向量、单位向量，掌握平行（共线）与相等向量的概念； 2．熟练掌握向量的加减、数乘运算及坐标运算，牢记共线向量的坐标条件； 3．会用向量方法解决简单的平面几何问题与物理中的合成、分解问题。 教学重难点 重点：向量的概念与线性运算、坐标运算，共线向量的判定； 难点：向量运算的几何意义理解，几何问题向向量问题的转化。 知识点01 向量的概念 一、向量的概念及表示 1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.表示: （1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. （2）向量的表示： ①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. ②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作. 3.两个特殊向量: （1）零向量与非零向量: 长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量. （2） 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. 二、平行向量与相等向量 1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. 2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作. 【即学即练】 1．设是非零向量，则是成立的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】对于非零向量， 若，则同向，不一定有； 若，则同向，此时. 所以是成立的必要不充分条件. 故选：C 2．（多选）下列说法不正确的有（   ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】AD 【详解】对于A：向量与平行，包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错误； 对于B：若两个向量长度相等，方向相同，则称两个向量为相等向量，故B正确； 对于C：零向量与任一向量平行，故C正确； 对于D：共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误. 故选：AD. 知识点02 向量的加减、数乘运算 一、向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 二、向量的减法 1.相反向量 （1）定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, （2）性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 2.向量的减法 （1）向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. （2）运算法则:在平面内取一点O,作,则. （3）几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. （4）向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 三、向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 【即学即练】 3．“”是“实数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为或， ， 所以“”是“实数”的必要不充分条件. 故选：B 4．已知O为内部一点，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意， 故选：D 知识点03 平面向量的坐标及其运算 一、直线上向量的坐标及其运算 1．直线上向量的坐标 (1)定义：给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量，一定存在唯一的实数x，使得，此时，称为向量的坐标． (2)向量的模和方向与x的关系 为单位向量)． 当时，的方向与的方向相同； 当时，是零向量； 当时，的方向与的方向相反． 在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定． (3)直线上向量的坐标：在直线l上指定一点O作为原点，以的方向为正方向，的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量，如果我们把它的始点平移到原点O，那么的终点对应的数就是向量的坐标． 2．直线上向量的运算与坐标的关系 如果直线上两个向量的坐标分别为 （1）的充要条件是. （2）的坐标为，的坐标为，的坐标为. （3）设是数轴上的两点，是线段AB的中点，则 二、平面向量的坐标及其运算 1．平面向量的坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量. （2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. （3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标. （4）坐标表示. （5）特殊向量的坐标: 2．平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则 模 3．平面向量共线的坐标表示 （1）条件: ,其中； （2）结论:当且仅当时,向量共线. 【即学即练】 5．已知向量，若与同向共线，则为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】∵与共线， ∴，即，解得． 当时，，与同向共线，符合题意． 当时，，，与反向共线，不符合题意，舍去． 综上，， 故选：A． 6．如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标. 【答案】(3，3) 【详解】设P(x，y)，则=(x，y)，因为=(4，4)， 且共线，所以，即x=y. 又=(x-4，y)，=(-2，6)，且共线， 则得(x-4)×6-y×(-2)=0，解得x=y=3， 所以点P的坐标为(3，3). 知识点04 平面向量线性运算的应用 一、向量在几何中的应用 1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”. ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 二、向量在物理中的应用 （1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. （2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上. （3）动量是向量的数乘运算. 用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值. （4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 【即学即练】 7．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】B 【详解】解：如图， 是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短， ，，故C错误； 设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误； ，故B正确； 该船到达对岸的时间为分钟，故D错误． 故选：B. 8．如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【答案】证明见解析. 【详解】由四边形是平行四边形，得，， 因为，， 因此，显然点不在直线上，则，且， 所以四边形是平行四边形. 题型01 向量的概念与辨析 例1．（多选）下列叙述中正确的是（ ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】AD 【分析】详解】对于A，两个非零向量共线，则它们的方向相同或相反，故A正确； 对于B，向量无法比较大小，故B错误； 对于C，若是零向量，则结论不成立，故C错误； 对于D，对任一非零向量，是一个与方向相同的单位向量，故D正确． 故选：AD． 变式1-1．（多选）关于向量，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】详解】，当且仅当方向相同或中至少有一个零向量时等号成立，A正确； 当时，，B正确； 若和无法比较大小，C错误； 当时，与可能不共线，D错误. 故选：AB. 变式1-2．设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】详解】由都是非零向量，且， 因为和分别表示与向量和同向的单位向量，所以向量和的方向相同， 结合选项，可得成立的充分条件为. 故选：C. 变式1-3．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝，＝，＝.    （1）与的长度相等、方向相反的向量有哪些？ （2）与共线的向量有哪些？ （3）请一一列出与，，.相等的向量． 【答案】（1），，， .（2），，，，，，，，. （3）与 相等的向量有，，；与 相等的向量有，，；与 相等的向量有，，. 【解析】（1）根据正六边形的性质，图形中各线段长度都相等，只要方向相反即可. （2）根据共线向量定理求解. （3）根据相等的向量的定义求解. 【详解】（1）因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：，，， .（2）由共线向量定理得：，，，，，，，，.与共线. （3）由相等向量的定义得：与 相等的向量有，，；与 相等的向量有，，；与 相等的向量有，，. 【点睛】本题主要考查平面向量的相关概念和共线向量定理的应用，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题. 题型02 向量的加、减、数乘运算 例2．在菱形中，若，则 ． 【答案】1 【分析】详解】因为四边形为菱形，所以， 又因为，所以是等边三角形，即. 所以. 故答案为：1 变式2-1．（多选）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】详解】对于选项A：，故选项A错误； 对于选项B：，故选项B错误； 对于选项C：，故选项C正确； 对于选项D：，故选项D正确， 故选：CD． 变式2-2．（1）化简； （2）若，求向量. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）； （2）因为，故. 变式2-3．空间内有五点A，P，Q，S，T，则“”是“Q为重心”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】详解】当Q为重心时，可得， 所以，所以， 所以，∴成立； 设，如图所示则Q可不为重心. 所以“”是“Q为重心”的必要不充分条件. 故选：D. 题型03 向量的线性表示 例3．在中，是线段的中点，是线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】因为是线段的中点，所以. 因为是线段的中点，所以， 则. 故选：D 变式3-1．设D为所在平面内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】由，则，，三点共线且，如图所示：    所以，即， 所以． 故选：C． 变式3-2．在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 . 【答案】1 【分析】详解】，则，， 所以. 故答案为：1 变式3-3．在梯形ABCD中，，，与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A：，故A正确； 对B：由，故，故， 则，故B正确； 对C：由，故， 故C错误； 对D：，故D正确. 故选：C. 题型04 向量共线定理证明点共线问题 例4．已知平面向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【分析】详解】A：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； B：，因为，所以本选项三点共线； C：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； D：由上可知：，，因为，且平面向量不共线， 显然不存在实数，使得，因此本选项三点不共线， 故选：B 变式4-1．设，，，为平面四个不同点，它们满足，则（    ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【答案】A 【分析】详解】因为， 所以，即， 所以，所以，所以，，三点共线. 故选：A 变式4-2．已知向量，不共线，且，，． (1)若，求的值； (2)若，求证：，，三点共线． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）若，则，即， 可得，解得，， 所以. （2）若，则， 所以，， 所以，则，，三点共线． 变式4-3．如图，在中，，，点是的中点，点在上，且，求证：、、三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】详解】证明：设，， 由已知点是的中点，点在上，且， ， ， 、、三点共线. 题型05 向量共线定理证明平行问题 例5．已知、、均为非零向量，其中的任意两个向量都不平行，且与是平行向量，与是平行向量，求证：与是平行向量． 【答案】证明见解析 【分析】详解】由题意可设，， 则有，而不共线， 即有，即，则 ， 故与是平行向量. 变式5-1．设，为非零向量，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】详解】表示方向上的单位向量. 若，则与同向，所以，即； 若，当与同向时，；当与反向时，， 即. 故选：A. 变式5-2．是所在平面上一点，满足，则的面积与的面积的比值为 . 【答案】 【详解】由得， ，，且， 设的边上的高为， 则，， 的面积与的面积的比值为. 故答案为：. 变式5-3．已知三角形中，点在线段上，且，延长到，使.设，. （1）用表示向量，； （2）设向量，求证：，并求的值 【答案】（1），（2）证明见解析； 【详解】解：（1）为的中点， ， 可得， 而 （2）由（1）得 故，故 题型06 平面向量基本定理的理解 例6．如图，为中边的中点，过点的直线与所在直线分别交于点，满足，若，则的值为 ．    【答案】 【分析】详解】连接，则， 因为三点共线，所以， 又因为， 可得， 所以，得，所以， 解得，可得. 故答案为：.    变式6-1．已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】详解】如下图所示，延长交于点， 易知为的中点，且 又， 因为，且不共线，所以可知； 因此. 故选：B 变式6-2．（多选）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ABD 【分析】详解】对于：由可得和不共线， 所以和能作为基底，故正确； 对于：由可得和不共线， 所以和能作为基底，故正确； 对于：由，可得， 所以和共线，故不能作为基底，故错误； 对于：由可得和不共线， 所以和能作为基底，故正确. 故选：. 变式6-3．在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】 ， 又因为，所以， 设，则， 所以，解得， 故选：B. 题型07 向量的坐标运算 例7．设点，，若点P在直线AB上，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】详解】∵，，∴． ∵点P在直线AB上，且，∴或， 故或，故点P的坐标为或. 故选：D． 变式7-1．在平行四边形中，为对角线，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】因为四边形是平行四边形， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 变式7-2．（1）已知数轴上A，B两点的坐标依次为，，则对应的坐标为 ， . （2）已知，则的坐标是 . 【答案】 7 【详解】（1）由题意，且； （2）由，则. 故答案为：；7；. 变式7-3．如图，点均在正方形网格的格点上.若，则 . 【答案】/ 【分析】详解】以A为原点，为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图， 不妨设小正方形的边长为1，则， 所以，， 则有， 所以，解得， 所以. 故答案为： 题型08 坐标法解决向量共线问题 例8．已知，且三点共线，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】详解】∵，，， ∴， 又，，三点共线，∴，， ∴， ∴，又， ∴，当时取等号， 即的最小值为2. 故选：C. 变式8-1．已知向量，，若与共线，则实数m=（    ） A．-1 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】详解】由题意得，，所以. 故选：D． 变式8-2．已知向量，，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】详解】向量，， 若与共线，则.解得或， 所以“”是“与共线”的充分不必要条件， 故选：A. 变式8-3．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)若，，求的坐标； (3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在实数使得，即， 又因为是平面内两个不共线的非零向量， 所以，解得. （2）由（1）可知，， 所以， 若，，则. （3）由四点按逆时针顺序构成平行四边形可得， 设，则，由（2）得， 所以，解得， 所以. 题型09 向量在几何中的应用 例9．在四边形中，，设.若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】详解】如图所示，过作，又． ∴四边形是平行四边形． ， 又， ， 又，则. 故选：B．    变式9-1．设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 变式9-2．已知点O是内一点，，则 . 【答案】 【分析】详解】令，，，所以O为的重心，则. 因为，，，所以. 故答案为：. 变式9-3．如图，已知是平行四边形对角线的交点，过点的两条直线分别交四边于四点，用向量证明四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【详解】证法1：因为，， 且，所以． 因为，且和不共线，所以， 同理， 所以四边形是平行四边形． 证法2：根据角边角可得，， 所以，，所以， 所以四边形是平行四边形． 题型10 向量在物理中的应用 例10．已知一个物体在三个力的作用下处于静止状态，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】因为该物体静止，即受力平衡，三个力的合力为，即， 所以. 故选：A. 变式10-1．用两条成角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具重，则每根绳子的拉力大小为（    ）N A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】如图所示，可得，，且， 所以为等边三角形， 所以，即每根绳子的拉力大小为. 故选：A. 变式10-2．如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】如图所示，当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短， 则， 又，故，. 故选：C 变式10-3．一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】若使得船的航程最短，则船的实际速度与水流速度垂直， 作，，以、为邻边作平行四边形，如下图所示： 由题意可知，，且，， 由勾股定理可得， 因此，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间， 则. 故选：B. 一、单选题 1．已知是两个不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【详解】三点共线，可设， 即， ，解得：. 故选：. 2．已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【详解】因为点G为的重心，所以， 所以，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：B. 3．如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 4．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 5．如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸边垂直， 由图可知，所以，故， 所以，又因为，所以， 所以（），故. 故选：D. 6．在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为，分别是，的中点， 所以，， 则， 因为点在线段上，设， 则， 若，则，， 所以，当时，有最大值为. 故选：C 7．在平行四边形中，点E、F分别是边的中点，分别与交于R、T两点，，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】方法一：设， 且B，T，F三点共线， ，解得； 方法二：， 所以， 同理，， 故， 所以. 故选：B. 二、多选题 8．下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，正确； 对于D，，不正确. 故选：ABC. 9．已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（   ） A． B．与共线的单位向量是 C．若，则共线 D．若，则 【答案】ACD 【详解】由相反向量的定义可知A正确； 与共线的单位向量是，故B错误； 由向量共线定理可知，共线，又有公共点，则共线，则C正确； 由可得，所以，D正确. 故选：ACD. 10．已知在等腰梯形ABCD中，，，点P，Q分别是AB，BC所在直线上的动点，且，，连接PQ并延长与DC的延长线交于点M，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若ADMP为平行四边形，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】因为，所以，，，A错误； 因为，所以，，，B正确； 过作，在等腰梯形ABCD中，，所以， 当四边形ADMP为平行四边形时，，即， 所以，即，又，所以，C正确； 当时，C是DM的中点，则， 因为点P，Q，M共线，所以，故，D错误． 故选：BC. 三、填空题 11．已知向量，，则 ． 【答案】 【详解】， ， ． 故答案为：． 12．已知点在线段上，且，则 ； （为直线外一点）． 【答案】 / / / 【详解】由题意得，，即，则； 由得，，则． 故答案为：；； 13．已知为的外心，，，．若，则 ． 【答案】 【分析】 【详解】解法1：如图，设，，， 作于点于点．    易知，其中， 由已知条件可求得，， 故． 解法2：由 得解得故． 解法3：以为圆心，作平面直角坐标系如图所示，则，，， 因为外心是的中垂线和的中垂线的交点， 则，得，，， 从而有故．    故答案为：. 四、解答题 14．设，是两个不共线的向量，已知，，． (1)求证：，，三点共线； (2)若，且，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为，，， 所以， 所以，即， 又与有公共点，所以，，三点共线． （2）由（1）可知，又， 因为，设， ，又，是两个不共线的向量， 所以，解得． 15．已知向量，. (1)若向量，求实数的值； (2)若向量满足，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，， 得，， 因为， 所以，解得. （2）由，，， 则， 由，则， 解得，即，则. 16．在中，点在线段上，满足，过线段中点的直线与边，分别交于点，设，． (1)用表示； (2)设的面积为，四边形的面积为，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）因为，所以，所以，即， 点是线段的中点，所以， 故； （2）因为三点共线，所以存在实数使得，所以，即， 又因为，，所以， 由（1）知，所以，所以，即, 根据基本不等式，，所以，当且仅当即时等号成立，所以， 的面积为， 四边形的面积为， 所以， 故的最小值为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量初步单元复习 教学目标 1．理解向量的定义、表示方法，区分零向量、单位向量，掌握平行（共线）与相等向量的概念； 2．熟练掌握向量的加减、数乘运算及坐标运算，牢记共线向量的坐标条件； 3．会用向量方法解决简单的平面几何问题与物理中的合成、分解问题。 教学重难点 重点：向量的概念与线性运算、坐标运算，共线向量的判定； 难点：向量运算的几何意义理解，几何问题向向量问题的转化。 知识点01 向量的概念 一、向量的概念及表示 1.定义:既有________又有________的量叫做向量. 2.表示:________（1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、________、长度. （2）向量的表示： ①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的________,有向线段的方向表示向量的________.向量的大小称为向量的长度(或称________),记作. ②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作. 3.两个特殊向量: （1）零向量与非零向量: 长度为________的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量. （2） 单位向量:长度等于________个单位长度的向量,叫做单位向量. 二、平行向量与相等向量 1.平行向量（共线向量）:方向________或________的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量________,即对于任意向量,都有. 2.相等向量:长度________且方向________的向量叫做相等向量;向量与相等,记作. 【即学即练】 1．设是非零向量，则是成立的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选）下列说法不正确的有（   ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 知识点02 向量的加减、数乘运算 一、向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为________的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①________律：；②________律： 二、向量的减法 1.相反向量 （1）定义:与向量长度相等、方向________的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, （2）性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是________2.向量的减法________（1）向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. （2）运算法则:在平面内取一点O,作,则. （3）几何意义表示从向量的终点________的终点的向量. （4）向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 三、向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的________是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向________；当时，的方向与的方向________；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 【即学即练】 3．“”是“实数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知O为内部一点，，设，则（    ） A． B． C． D． 知识点03 平面向量的坐标及其运算 一、直线上向量的坐标及其运算 1．直线上向量的坐标 (1)定义：给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量，一定存在________的实数x，使得，此时，称为向量的坐标． (2)向量的模和方向与x的关系 为单位向量)． 当时，的方向与的方向________； 当时，是________； 当时，的方向与的方向________． 在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定． (3)直线上向量的坐标：在直线l上指定一点O作为原点，以的方向为正方向，的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量，如果我们把它的始点________到原点O，那么的终点对应的数就是向量的坐标． 2．直线上向量的运算与坐标的关系 如果直线上两个向量的坐标分别为 （1）的充要条件是________. （2）的坐标为________，的坐标为________，的坐标为________. （3）设是数轴上的两点，是线段AB的中点，则 二、平面向量的坐标及其运算 1．平面向量的坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相________的向量. （2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. （3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标. （4）坐标表示. （5）特殊向量的坐标: 2．平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 ________ 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则________ 模 ________ 3．平面向量共线的坐标表示 （1）条件: ,其中； （2）结论:当且仅当________时,向量共线. 【即学即练】 5．已知向量，若与同向共线，则为（    ） A． B． C． D．0 6．如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标. 知识点04 平面向量线性运算的应用 一、向量在几何中的应用 1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”. ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取________；②用基底表示相关向量； ③利用向量的________找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的________；②把相关向量化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 二、向量在物理中的应用 （1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. （2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上. （3）动量是向量的数乘运算. 用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值. （4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 【即学即练】 7．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 8．如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形. 题型01 向量的概念与辨析 例1．（多选）下列叙述中正确的是（ ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 变式1-1．（多选）关于向量，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式1-2．设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A． B． C． D．且 变式1-3．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝，＝，＝.    （1）与的长度相等、方向相反的向量有哪些？ （2）与共线的向量有哪些？ （3）请一一列出与，，.相等的向量． 题型02 向量的加、减、数乘运算 例2．在菱形中，若，则 ． 变式2-1．（多选）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 变式2-2．（1）化简； （2）若，求向量. 变式2-3．空间内有五点A，P，Q，S，T，则“”是“Q为重心”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 题型03 向量的线性表示 例3．在中，是线段的中点，是线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 变式3-1．设D为所在平面内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 变式3-2．在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 . 变式3-3．在梯形ABCD中，，，与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 题型04 向量共线定理证明点共线问题 例4．已知平面向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 变式4-1．设，，，为平面四个不同点，它们满足，则（    ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 变式4-2．已知向量，不共线，且，，． (1)若，求的值； (2)若，求证：，，三点共线． 变式4-3．如图，在中，，，点是的中点，点在上，且，求证：、、三点共线. 题型05 向量共线定理证明平行问题 例5．已知、、均为非零向量，其中的任意两个向量都不平行，且与是平行向量，与是平行向量，求证：与是平行向量． 变式5-1．设，为非零向量，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式5-2．是所在平面上一点，满足，则的面积与的面积的比值为 . 变式5-3．已知三角形中，点在线段上，且，延长到，使.设，. （1）用表示向量，； （2）设向量，求证：，并求的值 题型06 平面向量基本定理的理解 例6．如图，为中边的中点，过点的直线与所在直线分别交于点，满足，若，则的值为 ．    变式6-1．已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 变式6-2．（多选）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 变式6-3．在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 题型07 向量的坐标运算 例7．设点，，若点P在直线AB上，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 变式7-1．在平行四边形中，为对角线，若，，则（   ） A． B． C． D． 变式7-2．（1）已知数轴上A，B两点的坐标依次为，，则对应的坐标为 ， . （2）已知，则的坐标是 . 变式7-3．如图，点均在正方形网格的格点上.若，则 . 题型08 坐标法解决向量共线问题 例8．已知，且三点共线，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 变式8-1．已知向量，，若与共线，则实数m=（    ） A．-1 B．1 C．2 D．4 变式8-2．已知向量，，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 变式8-3．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)若，，求的坐标； (3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 题型09 向量在几何中的应用 例9．在四边形中，，设.若，则（    ） A． B． C． D．2 变式9-1．设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 变式9-2．已知点O是内一点，，则 . 变式9-3．如图，已知是平行四边形对角线的交点，过点的两条直线分别交四边于四点，用向量证明四边形是平行四边形． 题型10 向量在物理中的应用 例10．已知一个物体在三个力的作用下处于静止状态，则（    ） A． B． C． D． 变式10-1．用两条成角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具重，则每根绳子的拉力大小为（    ）N A． B． C． D． 变式10-2．如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ） A． B． C． D． 变式10-3．一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知是两个不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（   ） A． B． C．1 D．4 2．已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 3．如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 6．在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．在平行四边形中，点E、F分别是边的中点，分别与交于R、T两点，，（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 9．已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（   ） A． B．与共线的单位向量是 C．若，则共线 D．若，则 10．已知在等腰梯形ABCD中，，，点P，Q分别是AB，BC所在直线上的动点，且，，连接PQ并延长与DC的延长线交于点M，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若ADMP为平行四边形，则 D．若，则 三、填空题 11．已知向量，，则 ． 12．已知点在线段上，且，则 ； （为直线外一点）． 13．已知为的外心，，，．若，则 ． 四、解答题 14．设，是两个不共线的向量，已知，，． (1)求证：，，三点共线； (2)若，且，求实数的值． 15．已知向量，. (1)若向量，求实数的值； (2)若向量满足，求的值. 16．在中，点在线段上，满足，过线段中点的直线与边，分别交于点，设，． (1)用表示； (2)设的面积为，四边形的面积为，求的最小值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $