第5章 统计与概率 阶段测评(4)(范围5.3)(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

阶段测评(四)(范围5.3) (时间：50分钟，满分：100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．从4名男生和2名女生中任选3人参加某项社会公益活动，所选3人中至少有1名女生的概率是，那么所选3人中都是男生的概率为(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析　“所选3人中至少有1名女生”与“所选3人中都是男生”互为对立事件，故“所选3人中都是男生”的概率为1－＝. 答案　B 2．自然对数的底数e＝2.718 281 828 459 045…，e是一个奇妙有趣的无理数，它取自数学家欧拉Euler的英文字头．某教师为帮助同学们了解“e”，让同学们从小数点后的3位数字7，1，8中随机选取两位数字，整数部分2不变，那么得到的数字不大于2.78的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　由题意，得到的数字有2.17，2.18，2.71，2.78，2.81，2.87，共6种，其中数字不大于2.78的有2.17，2.18，2.71，2.78，共4个，所以得到的数字不大于2.78的概率为.故选A． 答案　A 3．某校高中毕业生的去向有三种：回家待业、上大学和补习．现取一个样本调查，调查结果如图所示．若该校高中毕业生上大学的概率为，则该校高中毕业生不补习的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　该校高中毕业生上大学的概率为，而该样本中上大学的人数为80，所以样本量为80÷＝100，于是该校高中毕业生回家待业的概率为＝，所以该校高中毕业生不补习的概率为＋＝. 答案　B 4．下列说法正确的是(　　) A．在一次抽奖活动中，“中奖概率是”表示抽奖100次就一定会中奖 B．随机掷一枚硬币，落地后正面一定朝上 C．同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数和一定为6 D．在一副没有大小王的52张扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是 解析　对于A选项，中奖是随机事件，不代表抽奖100次就一定会中奖，故A选项错误；对于B选项，正面朝上是随机事件，故B选项错误；对于C选项，朝上一面的点数和可以是2～12中的任一个数，故C选项错误；对于D选项，根据古典概型概率计算公式可得，所求概率为＝，故D选项正确．故选D． 答案　D 5．甲、乙、丙三台机器是否需要维修相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机器需要维修的概率分别是0.1，0.2，0.4，则一小时内恰有一台机器需要维修的概率是(　　) A．0.444 B．0.008 C．0.7 D．0.233 解析　P＝0.1×0.8×0.6＋0.9×0.2×0.6＋0.9×0.8×0.4＝0.444. 答案　A 6．(2022·新高考全国Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　总事件为23，24，25，26，27，28，34，35，36，37，38，45，46，47，48，56，57，58，67，68，78，共21种情况， 第一个数取2时，第二个数可以是3，5，7； 第一个数取3时，第二个数可以是4，5，7，8； 第一个数取4时，第二个数可以是5，7； 第一个数取5时，第二个数可以是6，7，8； 第一个数取6时，第二个数可以是7； 第一个数取7时，第二个数可以是8； 所以P＝＝＝. 答案　D 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是(　　) A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 解析　对于A、C、D，甲胜、乙胜的概率都是，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平． 答案　ACD 8．一个袋子中装有2件正品和2件次品，按以下要求抽取2件，其中结论正确的是(　　) A．任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率为 B．每次抽取1件，有放回地抽取两次，基本事件总数为16 C．任取2件，“2件都是正品”与“2件都是次品”是互斥事件 D．任取2件，“2件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件 解析　对于A，从中任取2件，恰有1件是次品的概率P＝＝，故A错误； 对于B，每次抽取1件，有放回地抽取两次，则基本事件总数为4×4＝16，故B正确； 对于C，任取2件，其可能结果有2件都是次品、1件次品和1件正品、2件都是正品，所以“2件都是正品”与“2件都是次品”为互斥事件，故C正确； 对于D，“至少有1件是次品”包含两种情况：2件次品、1件次品和1件正品，故“2件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件，故D正确．故选BCD． 答案　BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P()＝ ，P(B)＝ ． 解析　∵事件A，B互斥，∴P(AB)＝0，由题意得[1－P(A)]·[1－P(B)]＝， 即1－P(A)－P(B)＋P(AB)＝1－3P(B)＝，解得P(B)＝， ∴P(A)＝2P(B)＝， ∴P()＝1－P(A)＝. 答案　　 10．某中学青年教师、中年老师和老年老师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人，现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为 ． 解析　由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，知该校共有教师120÷＝300(人). 采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，因为在分层抽样中，不同层中每位教师被抽到的概率相等，所以每位老年教师被抽到的概率为P＝＝. 答案　 11．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第一局甲当裁判，在前三局中乙恰好当1次裁判的概率为 ． 解析　在前三局中乙恰好当1次裁判，有两种情况：①第一局乙、丙比赛时乙负，第二局乙当裁判，甲、丙比赛无论胜负第三局乙均不当裁判； ②第一局乙、丙比赛时乙胜，第二局乙、甲比赛时甲胜，第三局丙、甲比赛，乙当裁判． ∴在前三局中乙恰好当1次裁判的概率P＝＋×＝. 答案　 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(13分)为了了解中学生的视力情况，某机构调查了某高中1 000名学生，其中有200名学生裸眼视力在0.6以下，有450名学生裸眼视力在[0.6，1.0)内，其余的在1.0及以上． (1)估计这个学校的学生需要配镜或治疗(裸眼视力不足1.0)的概率是多少； (2)估计这个学校的学生裸眼视力达到1.0及以上的概率是多少． 解析　(1)记事件A为“裸眼视力在0.6以下”，事件B为“裸眼视力在[0.6，1.0)内”，事件C为“裸眼视力不足1.0”．因为A，B为互斥事件，且C＝A∪B，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝0.65.即这个学校的学生需要配镜或治疗的概率约为0.65. (2)记事件D为“裸眼视力达到1.0及以上”，则事件C与事件D为对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.65＝0.35，即这个学校的学生裸眼视力达到1.0及以上的概率约为0.35. 13．(15分)小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率． 解析　用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件， 则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9， 所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1. (1)由题意得，A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为 P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB) ＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P2＝1－P( )＝1－P()P()P() ＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994. 14．(15分)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下： 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 质量指标 (x，y，z) (1，1，2) (2，1，1) (2，2，2) (1，1，1) (1，2，1) 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标 (x，y，z) (1，2，2) (2，1，1) (2，2，1) (1，1，1) (2，1，2) (1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果； ②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率． 解析　(1)计算10件产品的综合指标S，如下表： 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6. (2)①在该样本的一等品中，随机抽到2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种． ②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $