第5章 5.3.4 频率与概率（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦“频率与概率”核心知识点，衔接古典概型局限性，通过试验数据（如抛掷硬币、种子发芽率）观察频率稳定性，构建频率与概率的区别联系，形成用频率估计概率的方法框架。 资料以试验探究为特色，通过表格数据、频率分布直方图培养数学眼光，辨析题发展推理意识，实际案例（转盘抽奖、成绩分析）强化数据观念与应用意识。课中助教师直观教学，课后供学生巩固练习，弥补知识盲点。

5.3.4　频率与概率 学习目标　1.了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性.2.正确理解概率的含义，理解频率与概率的区别与联系. 导语 对于样本点等可能的试验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率，但在现实中，很多试验的样本点往往不是等可能的或者是否等可能不容易判断.例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者抛掷一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需要寻找新的求概率的方法. 一、概率概念的理解 问题1　利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A)，结果如表所示： 序号 n=20 n=100 n=500 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.5 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 随着试验次数n的增加，你能观察出频率在哪一个常数附近波动吗？ 提示　随着试验次数n的增加，频率在常数0.5附近波动.当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小. 知识梳理 1.事实上，大数定律能够保证，在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大. 2.概率是一个确定的数，与每次的试验次数无关. 例1　(多选)下列说法不正确的是(　　) A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 C.随机试验的频率与概率相等 D.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为76% 答案　ABC 解析　概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性，则A，B错误；频率受试验次数的影响，不稳定，但当试验次数较多时频率会稳定在概率附近，则C错误，D正确. 反思感悟　概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定发生，只是认为发生的可能性大. 跟踪训练1　(多选)下列说法正确的是(　　) A.由生物学知道生男生女的概率均为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，不一定为一男一女 B.一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖 C.10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大 D.10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1 答案　AD 解析　一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确. 二、用频率估计概率 问题2　在问题1中，频率与概率有什么关系？ 提示　(1)试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性. (2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大. 知识梳理　用频率估计概率 一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为，此时也有0≤P(A)≤1.这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率. 例2　(1)(课本例1)为了确定某类种子的发芽率，从一大批这类种子中随机抽取了2 000粒试种，后来观察到有1 806粒发了芽，试估计这类种子的发芽率. 解　因为=0.903， 所以估计这类种子的发芽率为0.903. (2)(课本例2)2013年，北京地区拥有科普人员48 800人，其中，科普专职人员7 727人，其余均为科普兼职人员.2013年9月的科普日活动中，到某大学附属中学宣讲科普知识的是科普人员张明，估计张明是科普专职人员的概率(精确到0.01). 解　可以算得，2013年北京地区科普专职人员占所有科普人员的比例为≈0.16， 因此张明是科普专职人员的概率可估计为0.16. 例2　某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并做如下规定：顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品. 下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘 的次数n 100 150 200 500 800 1 000 落在区域 “1”的频数m 13 19 24 62 101 125 落在区域 “1”的频率 (1)计算并完成表格(精确到0.001)； (2)当n很大时，落在区域“1”的频率将会接近多少？ (3)获得区域“1”相应奖品的概率大约为多少？ 解　(1)落在区域“1”的频率如下表： 转动转盘 的次数n 100 150 200 500 800 1 000 落在区域 “1”的频数m 13 19 24 62 101 125 落在区域 “1”的频率 0.130 0.127 0.120 0.124 0.126 0.125 (2)由(1)中计算的频率，可判断当n很大时，落在区域“1”的频率将会接近0.125. (3)由(1)，(2)及频率与概率的关系可知获得区域“1”相应奖品的概率大约为0.125. 反思感悟　随机事件概率的理解及求法 (1)理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率.当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率. (2)求法：通过公式fn(A)==计算出频率，再由频率估算概率. 跟踪训练2　某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩记录如下： 射击次数 100 120 150 100 150 160 150 击中飞碟的次数 81 95 123 82 119 127 121 击中飞碟的频率 (1)将各次训练记录击中飞碟的频率填入表中(精确到0.01)； (2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少(精确到0.01)？ 解　(1)表中由左至右，依次填入的数据是0.81，0.79，0.82，0.82，0.79，0.79，0.81. (2)由于频率稳定在常数0.80附近，所以这个运动员击中飞碟的概率约为0.80. 三、用频率估计概率的应用 例3　某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，采用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率； (2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例. 解　(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6， 所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4， 所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4. (2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为 (0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9， 则分数在区间[40，50)内的人数为 100-100×0.9-5=5， 所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为 400×=20. (3)由题意，可知样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60， 所以样本中分数不小于70的男生人数为60×=30， 所以样本中的男生人数为30×2=60， 女生人数为100-60=40， 所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2， 所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2. 反思感悟　(1)频数、频率分布图表中各频数、频率或各小区间内的频数(频率)对应的事件是互斥的. (2)两对立事件的概率和为1以及互斥事件的概率加法公式在频率估计概率时仍成立. 跟踪训练3　为了了解某次数学考试全校学生的得分情况，数学老师随机选取了若干名学生的成绩，并以[50，60)，[60，70)，…，[90，100]为分组，作出了如图所示的频率分布直方图.从该学校中随机选取一名学生，估计这名学生该次数学考试成绩在[80，100]内的概率. 解　由频率分布直方图可以看出，所抽取的学生成绩中，在[80，100]内的频率为 (0.03+0.01)×(90-80)=0.4. 因为由样本的分布可以估计总体的分布，所以全校学生的数学得分在[80，100]内的频率可以估计为0.4. 根据用频率估计概率的方法可知，随机选取一名学生，这名学生该次数学考试成绩在[80，100]内的概率可以估计为0.4. 1.知识清单： (1)理解概率的意义. (2)频率与概率的关系. (3)用频率估计概率. 2.方法归纳：极限法. 3.常见误区：频率与概率的区别与联系. 1.某医院治疗一种疾病的治愈率为，前4个病人都没有治好，第5个病人的治愈率为(　　) A.1 B. C. D.0 答案　B 解析　由概率的意义知，第5个病人的治愈率仍为，与前4个病人都没治好没有关系. 2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，故所求概率为. 3.从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片 号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的 次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9 则取到号码为奇数的频率是(　　) A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37 答案　A 解析　利用公式fn(A)=计算出频率值，取到号码为奇数的频率是=0.53. 4.某中学开展了“读名著、品经典”活动.现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间t(单位：h)，分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图，从该学校中随机选取一名学生，则估计这名学生阅读时间不少于40 h的概率为(　　) A.0.150 B.0.400 C.0.450 D.0.850 答案　D 解析　由频率分布直方图可估计这名学生阅读时间不少于40 h的概率为 (0.040+0.030+0.015)×10=0.850. 课时对点练 [分值：85分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.(多选)以下说法错误的是(　　) A.昨天没有下雨，则说明昨天气象局的天气预报“降水的概率为99%”是错误的 B.“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖 C.做10次抛掷硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为 D.某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品 答案　ABC 解析　A中，降水概率为99%，仍有不降水的可能，故错误； B中，“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故错误； C中，正面朝上的频率为，概率仍为，故错误； D中，次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件或更多次品，故正确. 2.某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次.若用A表示“投进球”这一事件，则事件A发生的(　　) A.概率为 B.频率为 C.频率为8 D.概率接近0.8 答案　B 解析　∵ 投球一次即进行一次试验，投球10次，投进8次， 即事件A发生的频数为8， ∴ 事件A发生的频率为=. 3.我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒.这批米夹的谷约为(　　) A.134石 B.169石 C.338石 D.454石 答案　B 解析　由题意可知这批米内夹谷约为 1 534×≈169(石). 4.从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)： 492，496，494，495，498，497，501，502，504，496，497，503，506，508，507，492，496，500，501，499. 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在497.5 g~501.5 g之间的概率约为(　　) A.0.1 B.0.15 C.0.25 D.0.5 答案　C 解析　在所给的数据中，在497.5 g~501.5 g之间的数据有498，501，500，501，499，共5个， 所以奶粉质量在497.5 g~501.5 g之间的频率为=0.25. 用频率估计概率，则所求概率约为0.25. 5.某市交警部门在调查一起车祸的过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆A型出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆A型出租车，3 000辆B型出租车，乙公司有3 000辆A型出租车，100辆B型出租车.交警部门应先调查哪家公司的车辆较合理(　　) A.甲公司 B.乙公司 C.甲与乙公司 D.以上都对 答案　B 解析　由于甲公司A型出租车所占的比例为=，乙公司A型出租车所占的比例为=，可知应选B. 6.(多选)中国篮球职业联赛(CBA)中，某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况(不包括罚球)如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 记该运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件A，“投中三分球”为事件B，“没投中”为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下列结论中，正确的是(　　) A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18 C.P(C)=0.27 D.P(B+C)=0.55 答案　ABC 解析　依题意，P(A)==0.55， P(B)==0.18， P(C)==0.27，A，B，C正确； P(B+C)==0.45，D错误. 7.(5分)一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10，20)，2个；[20，30)，3个；[30，40)，x个；[40，50)，5个；[50，60)，4个；[60，70]，2个.则x=　　　　；根据样本的频率估计概率，数据落在[10，50)的概率约为　　　　.  答案　4　0.7 解析　样本中数据总个数为20，∴x=20-(2+3+5+4+2)=4；在[10，50)中的数据有14个，故所求概率P==0.7. 8.(5分)对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示： 调查件数 50 100 200 300 500 合格件数 47 92 192 285 478 根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽950件合格品，大约需抽查　　　　件产品.  答案　1 000 解析　由表中数据知，抽查5次，产品合格的频率依次为0.94，0.92，0.96，0.95，0.956，可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约需抽查n件产品，则=0.95，所以n=1 000. 9.(10分)某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100]六组后画出如图所示的频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： (1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；(5分) (2)从成绩在70分以上(包括70分)的学生中任选一人，求选到第一名学生的概率(第一名学生只一人).(5分) 解　(1)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为 (0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75， 所以估计这次考试的及格率约为75%. (2)因为成绩在[70，100]的人数是 60×(0.03+0.025+0.005)×10=36， 所以从成绩在70分以上(包括70分)的学生中任选一人，选到第一名学生的概率P=. 10.(12分)有三张除字母外完全相同的纸牌，字母分别是K，K，Q.进行有放回抽样，每次试验抽出一张纸牌，经过多次试验后结果汇总如下表： 试验总次数 10 20 50 100 200 300 400 500 1 000 抽出K的频数 7 13 32 136 198 270 660 抽出K的频率 65% 67% (1)将上述表格补充完整；(4分) (2)观察表格，计算摸到K的频率为多少；(4分) (3)估计摸到K的概率.(4分) 解　(1)完善后表格如下表所示： 试验总次数 10 20 50 100 200 300 400 500 1 000 抽出K的频数 7 13 32 65 136 198 270 335 660 抽出K的频率 70% 65% 64% 65% 68% 66% 67.5% 67% 66% (2)由(1)可得摸到K的频率约为66%. (3)由频率与概率的关系可得，摸到K的概率约为66%，事实上摸到K的概率为. 11.为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表： 满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2 100 1 000 根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意得，n=4 500-200-2 100-1 000=1 200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200+2 100=3 300，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为=.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为. 12.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是(　　) A.抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 B.掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上 C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D.从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一个球，取得的是黑球 答案　D 解析　由折线图可知，频率在0.3到0.4之间，抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合题意，故A错；掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上的概率为，不符合题意，故B错；一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意，故C错；从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一个球，取得的是黑球的概率为，在0.3到0.4之间，符合题意，故D正确. 13.(多选)近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000 t的生活垃圾，经分拣以后统计数据如表(单位：t).根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况，则下列说法正确的是(　　) “厨余垃圾”箱 “可回收垃圾”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收 垃圾 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 A.厨余垃圾投放正确的概率为 B.居民生活垃圾投放错误的概率为 C.该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾 D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为18 000 答案　ABC 解析　对于A，厨余垃圾投放正确的概率为=，故A正确； 对于B，居民生活垃圾投放错误的概率为 =，故B正确； 对于C，可回收垃圾投放正确的概率为=，其他垃圾投放正确的概率为=，所以该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾，故C正确； 对于D，厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的平均数==200， 所以s2=×[(400-200)2+(100-200)2+(100-200)2]=20 000≠18 000，故D错误. 14.(5分)商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9，若第5组表示的是尺码为40~42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋约为　　　　双.  答案　60 解析　因为第1，2，4组的频数分别为6，7，9， 所以第1，2，4组的频率分别为=0.15， =0.175，=0.225， 又因为第3组的频率为0.25， 所以第5组的频率为1-0.25-0.15-0.175-0.225=0.2， 所以售出的这300双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋约为300×0.2=60(双). 学科网（北京）股份有限公司 $