5.3.5 随机事件的独立性-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

　5.3.5　随机事件的独立性[教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.本课时的重点是理解相互独立事件的定义及意义，能够应用相互独立事件的概率公式解决问题. 2.本课时的难点是掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的乘法公式解题. 1.相互独立事件 定义 一般地，设A，B为两个事件，当P(AB)=P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立) 性质 如果事件A与B相互独立，则与B，A与与也相互独立 n个事件相互独立 对于n个事件“A1，A2，…，An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积” |微|点|助|解| 两个事件相互独立与互斥的区别 　　两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 2.相互独立事件的概率公式 (1)若事件A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)； (2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2·…·An)=P(A1)P(A2)·…·P(An). |微|点|助|解| 事件A，B相互独立有关的概率公式 事件A，B的各种情形 概率公式 A，B同时发生 P(AB)=P(A)P(B) A，B都不发生 P()=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B) A，B至少有一个不发生 1-P(AB)=1-P(A)P(B) A，B至少有一个发生 1-P()=1-P()P()=P(A)+P(B)-P(A)P(B) A，B恰好有一个发生 P(A +B)=P(A)P()+P()P(B)=P(A)+P(B)-2P(A)P(B) 基础落实训练 1.掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一枚出现的点数大于2”，B=“第二枚出现的点数小于6”，则A与B的关系为 (　　) A.互斥 B.对立 C.相互独立 D.相等 解析：选C　对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，而且事件A，B可以同时发生，所以A，B相互独立，但不互斥，也不对立，更不相等. 2.已知事件A，B相互独立，且P(A)=，P(AB)=，则P(B)=　　　　.  解析：由题设P(AB)=P(A)P(B)=P(B)=，则P(B)=. 答案： 3.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人都获得一等奖的概率为　　　　.  解析：因为甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，且两人是否获得一等奖相互独立，所以这两个人都获得一等奖的概率为×=. 答案： 4.已知甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中两站恰有一站准确预报的概率为　　　　.  解析：由题意，得在一次预报中两站恰有一站准确预报的概率为0.8×(1-0.7)+(1-0.8)×0.7=0.38. 答案：0.38 题型(一)　相互独立事件的判断 [例1]　(多选)口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回地依次取出两个球，事件A=“取出的两球同色”，B=“第一次取出的是红球”，C=“第二次取出的是红球”，D=“取出的两球不同色”，下列判断正确的是 (　　) A.A与B相互独立 B.A与D对立 C.B与C互斥 D.B与D相互独立 解析：选ABD　由题可得P(A)==，P(B)==，P(D)==， P(AB)==，P(BD)==.所以P(AB)=P(A)P(B)，P(BD)=P(B)P(D)，所以A与B相互独立，B与D相互独立，故A、D正确；对于B，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即A与D互为对立事件，故B正确；对于C，“第一次取出的是红球”，“第二次取出的是红球”，C与B可能同时发生，故C错误.故选ABD. |思|维|建|模| 判断两事件是否具有独立性的方法 (1)直观法：利用事件所包含的样本点直接判断两个事件的发生是否相互影响. (2)公式法：检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立. 　　[针对训练] 1.掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是 (　　) A.互斥但不相互独立 　　　　 B.相互独立但不互斥 C.互斥且相互独立 　　　　 D.既不相互独立也不互斥 解析：选B　事件A={2，4，6}，事件B={3，6}，事件AB={6}，样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}. 所以P(A)==，P(B)==，P(AB)==×，即P(AB)=P(A)P(B).因此，事件A与B相互独立.又当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件. 题型(二)　相互独立事件同时发生的概率 [例2]　甲、乙两种种子的栽培成功率分别是0.7，0.6，现从两种种子中随机的各取一粒，求： (1)两粒都栽培成功的概率； (2)其中一粒成功，另一粒失败的概率； (3)至少有一粒成功的概率. 解：(1)因为甲、乙两种种子的栽培是相互独立的， 所以“两粒都栽培成功”的概率为0.7×0.6=0.42. (2)若甲成功乙失败，概率为0.7×(1-0.6)=0.28， 若乙成功甲失败，概率为(1-0.7)×0.6=0.18， 所以“其中一粒成功，另一粒失败”的概率为0.28+0.18=0.46. (3)“至少有一粒成功”的对立事件为“两粒种子都失败”，其概率为(1-0.7)×(1-0.6)=0.12， 所以“至少有一粒成功”的概率为1-0.12=0.88. |思|维|建|模| (1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件是相互独立的； ②先求每个事件发生的概率，再求其积. (2)公式P(AB)=P(A)P(B)可推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). [针对训练] 2.某大学的入学面试中有4道难度相当的题目，甲同学答对每道题目的概率都是0.6，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止.用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么 (1)求甲同学第3次答题通过面试的概率； (2)求甲同学最终通过面试的概率. 解：(1)因为P(Y)=0.6，所以P(N)=1-0.6=0.4， 于是甲同学第三次答题通过面试的概率为 P(NNY)=0.4×0.4×0.6=0.096. (2)甲同学未通过面试的概率为 P(NNNN)=0.4×0.4×0.4×0.4=0.025 6， 所以甲同学最终通过面试的概率为 1-P(NNNN)=1-0.025 6=0.974 4. 题型(三)　相互独立事件概率的综合问题 [例3]　某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛.决赛阶段进行线上答题.题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立.选择题答对得5分，否则得0分.填空题答对得4分，否则得0分.将得分逐题累加. (1)若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为.求他得分不低于10分的概率； (2)规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止.已知小红做对每道选择题的概率均为，做对每道填空题的概率均为. 现有两种方案 方案一：依次做一道选择题、两道填空题； 方案二：做三道填空题. 请你推荐一种合理的方式给小红. 解：(1)记“他得分不低于10分”为事件A，则 P(A)=××+××+××+××=+++==. (2)记“方案一通过决赛”为事件B， 则P(B)=×+××+×× =++==. 记“方案二通过决赛”为事件C， 则P(C)=×+××+×× =++ ==. 因为P(C)>P(B)，所以推荐方案二给小红. |思|维|建|模| 　　解决此类问题的关键是弄清相互独立的事件，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法的运用，即三个公式的联用：P(A+B)=P(A)+P(B)(A，B互斥)，P(A)=1-P()，P(AB)=P(A)P(B)(A，B相互独立). 　　[针对训练] 3.某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动.已知每位选手闯第一关成功的概率为，闯第二关成功的概率为，闯第三关成功的概率为.若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元.假设选手是否通过每一关相互独立. (1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率； (2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1 100元的概率. 解：(1)设“选手闯第一关成功”为事件A，“闯第二关成功”为事件B，“闯第三关成功”为事件C，所以P(A)=，P(B)=，P(C)=. 设“参加活动的选手没有获得奖金”为事件M， 所以P(M)=P()+P(A)=+×=. (2)设“选手闯关获得奖金300元”为事件E，“选手闯关获得奖金800元”为事件D， 所以P(E)=P(AB)=××=，P(D)=P(ABC)=××=.设“两人最后所得奖金总和为1 100元”为事件F，所以甲、乙两位选手有一人获得800元，一人获得300元， 即P(F)=2P(E)P(D)=2××=. 学科网（北京）股份有限公司 $