第5章 5.1.3 第1课时 柱形图、折线图、扇形图、茎叶图（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“数据的直观表示”核心知识点，前承抽样获取数据的基础，后续通过柱形图、折线图、扇形图、茎叶图的学习，构建从原始数据到信息提取的学习支架，系统梳理各图表的作用、特征及应用场景。 该资料以居民消费价格、汽车燃油效率等现实情境为切入点，通过问题驱动、例题解析与跟踪训练结合，培养学生用数学眼光观察数据规律，用数学思维分析图表差异，用数学语言表达数据信息。课中辅助教师引导直观理解，课后分层练习助力学生巩固知识，查漏补缺。

5.1.3　数据的直观表示 第1课时　柱形图、折线图、扇形图、茎叶图 学习目标　1.了解统计图表的作用与意义.2.会利用合适的统计图表研究生活中的例子. 导语 抽取样本是为了从样本中获取信息，来估计总体的一些性质和特点，但是面对多而杂的数据，我们往往无法直接从原始数据中获取它们所包含的信息.因此，必须借助于图、表、计算来分析数据，帮助我们从中找出数据的规律. 一、柱形图与折线图 问题1　观察以下两种统计图，你能说出各自的优点吗？ (1)柱形图(如图). (2)折线图(如图). 提示　柱形图能直观地显示每组中的具体数据； 折线图能直观显示数据的变化趋势. 知识梳理 1.柱形图(也称为条形图) 作用 形象地比较各种数据之间的数量关系 特征 (1)一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例； (2)每一矩形都是等宽的 2.折线图 作用 形象地表示数据的变化趋势 特征 一条轴上显示的通常是时间，另一条轴上是对应的数据 注意点： (1)当数据量很大时一般选用柱形图，它能更直观地反映数据分布的大致情况，并能清晰地表示出各个区间的具体数目，但是柱形图会损失数据的部分信息. (2)折线图能够表现出数据的变化趋势，但不能直观反映数据的分布情况. 例1　(1)(多选)2024年4月份居民消费的各类商品及服务价格环比(与3月份相比)变动情况，如图所示. 则下列叙述正确的是(　　) A.八大类消费价格环比呈现四涨四平 B.其他用品和服务价格环比涨幅最大 C.生活用品及服务和医疗保健价格环比涨幅相同 D.4月份居民消费平均价格环比持平 答案　ABC 解析　在八大类消费价格中，食品烟酒、衣着、居住、交通和通信持平，另外四类分别上涨，A正确；其中其他用品和服务价格环比涨幅最大，为0.4%，B正确；生活用品及服务和医疗保健价格环比涨幅均为0.1%，C正确；居民消费平均价格环比涨幅为(0.1%+0.3%+0.1%+0.4%)÷8=0.112 5%，D错误. (2)(多选)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中错误的是(　　) A.消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C.甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗8 L汽油 D.某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用乙车比用丙车更省油 答案　ABD 解析　从图可知消耗1 L汽油，乙车最多可行驶的里程超过了5 km，故A错误；以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车燃油效率最高，消耗汽油最少，故B错误；若甲车以80 km/h的速度行驶，由图可知，“燃油效率”为10 km/L，所以行驶1 h，消耗8 L汽油，所以C正确；若某城市机动车最高限速80 km/h，从图可知，丙车比乙车“燃油效率”高，所以在相同条件下，丙车比乙车省油，D错误. 反思感悟　(1)柱形图中，各小矩形宽相等. (2)注意横、纵轴的意义. (3)由柱形图可以作出折线图：取各小矩形上边的中点，再用线段连接，取各小矩形下边的中点并标注上数字，要说明标注数字所对应的数据类型. 跟踪训练1　(1)某班计划开展一些课外活动，全班有40名学生报名参加，他们就乒乓球、足球、跳绳、羽毛球4项活动的参加人数做了统计，绘制了柱形图如图所示，那么参加羽毛球活动的人数的频率是　　　　.  答案　0.1 解析　由图可知，参加羽毛球活动的人数为4，所以频率为=0.1. (2)据报道，某咨询公司对1 500个家庭进行了关于奶粉市场的调查，如图是关于每月购买奶粉袋数的有关数据，则每月购买1袋奶粉的比率同每月购买2袋奶粉的比率合计为(　　) A.79.9% B.70.9% C.38.8% D.32.1% 答案　B 解析　根据折线图，每月购买1袋奶粉和每月购买2袋奶粉的比率分别为38.8%和32.1%，故所求值为38.8%+32.1%=70.9%. 二、扇形图 问题2　观察扇形图(如图)，你能说出它的优点吗？ 提示　扇形图能直观地显示各部分所占总体的百分比. 知识梳理　扇形图(也称为饼图、饼形图) 作用 形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况 特征 每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比 注意点： 扇形图可以直观地反映出各种情况所占的比例，但是看不出具体数据是多少. 例2　(多选)如图为某商场一天营业额的扇形图，根据统计图你能得出的信息为(　　) A.该商场家用电器日销售额占全商场日营业额的40% B.服装鞋帽和百货日杂的日销售额共29 000元 C.家用电器部所得利润最高 D.副食的日销售额为该商场日营业额的10% 答案　ABD 解析　对于A，由图可知显然正确； 对于B，由副食的销售额和占比可得商场一天总的营业额为5 800÷10%=58 000(元)，故服装鞋帽和百货日杂的日销售额为58 000×(30%+20%)=29 000(元)，故B正确； 对于C，由图不能得出家用电器部所得利润最高，故C错误； 对于D，由图可知，副食的日销售额占比为1-40%-30%-20%=10%，故D正确. 反思感悟　在扇形图中，部分数据在全部数据中的比例等于对应扇形的圆心角度数与360°之比，等于对应扇形的弧长与周长之比，也等于对应扇形的面积与圆的面积之比. 跟踪训练2　某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示，现在用分层抽样的方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为　　　　；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为　　　　小时.  答案　50　1 015 解析　由分层抽样可知，第一分厂应抽取100×50%=50(件)，该产品的平均使用寿命为=1 015(小时). 三、茎叶图 问题3　林业部门在植树前，为了保证树苗的质量，从同一种树的甲、乙两批树苗中各抽取了10株树苗进行检测，量出它们的高度如下(单位：cm)： 甲：37，21，31，20，29，19，32，23，25，33； 乙：10，30，47，27，46，14，26，10，44，46. 你能用适当的统计图表示上面的数据吗？ 提示　如图所示，中间的数字表示每株树苗高度的十位数，两边的数字分别表示个位数. 知识梳理　茎叶图 作用 (1)如果每一行的数都是按从大到小(或从小到大)顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征； (2)可以看出一组数的分布情况，可能得到一些额外的信息； (3)比较两组数据的集中或分散程度 特征 所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列 注意点： 对于样本数据较少，但较为集中的一组数据，若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶；若样本数据是小数，则将整数部分作茎，小数部分作叶. 例3　某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下： 甲：95，81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110，107； 乙：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101. 画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较. 解　甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示. 从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，叶主要集中在8，9，10的茎上；甲同学的得分情况也是大致对称的，叶主要集中在7，8，9的茎上.所以乙同学的成绩总体情况比甲同学好. 反思感悟　茎叶图的画法步骤 (1)将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分. (2)将最小的茎和最大的茎之间的数按从小到大的顺序从上到下列出，茎相同者共用一个茎，再画上竖线作为分界线. (3)将各个数据的叶写在其茎右(左)侧. 跟踪训练3　(多选)为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分，制成如图所示的茎叶图.则下列结论正确的是(　　) A.甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数 B.甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数 C.从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定 D.从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定 答案　BC 解析　对于A，甲得分的中位数为29，乙得分的中位数为30，错误； 对于B，甲得分的平均数为×(25+28+29+31+32)=29，乙得分的平均数为×(28+29+30+31+32)=30，正确； 对于C，甲得分的方差为×[(25-29)2+(28-29)2+(29-29)2+(31-29)2+(32-29)2]=×(16+1+0+4+9)=6， 乙得分的方差为×[(28-30)2+(29-30)2+(30-30)2+(31-30)2+(32-30)2]=×(4+1+0+1+4)=2，所以乙比甲更稳定，C正确，D错误. 1.知识清单： (1)柱形图、折线图、扇形图、茎叶图的识别. (2)四种统计图表的比较. 2.方法归纳：数据分析、图表识别. 3.常见误区： (1)统计图表的选择. (2)对茎叶图的绘制规则认识不够致错. 1.下面哪种统计图没有数据信息的缺失，所有的原始数据都可以从该图中得到(　　) A.柱形图 B.茎叶图 C.扇形图 D.折线图 答案　B 解析　由茎叶图的特点知，茎叶图满足上述条件. 2.(多选)某班班长统计了去年1~8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位：本)，并绘制了如图所示的折线图，则下列说法正确的是(　　) A.阅读数量最大的是8月份 B.阅读数量最小的是1月份 C.阅读数量最大的月份比最小的月份多55本 D.每月阅读数量超过40的有4个月 答案　AC 解析　由折线图可得，阅读数量最大的月份为8月份，阅读量为83本，故A正确；阅读数量最小的月份为6月份，阅读量为28本，故B错误；阅读数量最大的月份比最小的月份多55本，故C正确；每月阅读数量超过40的有2月、3月、4月、5月、7月、8月共有6个月，故D错误. 3.在某校选拔毕业晚会主持人的决赛中，参与投票的每名学生必须从进入决赛的四名选手中选1名，且只能选1名，根据投票结果，绘制了如图所示两幅不完整的统计图，则选手B的票数为(　　) A.300 B.90 C.75 D.85 答案　C 解析　调查总人数为105÷35%=300， C选手的票数为300×30%=90， B选手的票数为300-105-90-30=75. 4.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均分为　　　　；若乙的平均分是89，则污损的数字是　　　　.  答案　90　3 解析　甲的平均分为=90. 设污损处对应的数字为x，由题意可得， 89×5=83+83+87+x+90+99，解得x=3. 故污损的数字是3. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.某校有文科教师120名，理科教师225名，其男女比例如图，则该校女教师的人数为(　　) A.96 B.126 C.144 D.174 答案　D 解析　由统计图可知，该校文科教师中女教师的人数为120×0.7=84，该校理科教师中女教师的人数为225×0.4=90，所以该校女教师的人数为84+90=174. 2.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示(如图所示)，据此计算该校被抽取的20名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[15，25)内的人数为(　　) A.3 B.6 C.7 D.5 答案　B 解析　由茎叶图可得，被抽取的20名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15，25)内的人数为6. 3.(多选)某校秋季运动会中A，B两班的各个单项得分(满分5分，分值高者为优)的雷达图如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.在200米项目中，A班的得分比B班的得分高 B.在铅球项目中，A班的得分比B班的得分高 C.在跳高项目中，B班的得分比A班的得分高 D.B班的总分比A班的总分高 答案　ACD 解析　对于A，在200米项目中，A班的得分为4分，B班的得分为3分，A班的得分比B班的高，A正确； 对于B，在铅球项目中，A班的得分为3分，B班的得分为4分，A班的得分比B班的低，B错误； 对于C，在跳高项目中，B班的得分为4分，A班的得分为3分，B班的得分比A班的高，C正确； 对于D，B班的总分为5+3+4+5+3+4=24(分)， A班的总分为4+4+3+5+4+3=23(分)，即B班的总分比A班的总分高，D正确. 4.下面是两户居民家庭全年各项支出的统计图. 根据统计图，下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是(　　) A.甲户比乙户大 B.乙户比甲户大 C.甲、乙两户一样大 D.无法确定哪一户大 答案　B 解析　柱形图反映具体数值，则由图甲可知，甲户教育支出占全年总支出的百分比为1 200÷(1 200+2 000+1 200+1 600)=20%；从扇形图乙可知，乙户教育支出占全年总支出的百分比为25%.所以乙户比甲户大. 5.“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游)，春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿.某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以免费领取一张“福”字或一副春联.茎叶图的统计数据是在不同时段内领取“福”字和春联的人数，则它们的中位数依次为(　　) A.25，27 B.26，25 C.26，27 D.27，25 答案　B 解析　左侧一组数据从小到大排列为14，16，21，22，25，27，30，32，33，38，所以中位数是×(25+27)=26；右侧一组数据从小到大排列为12，18，22，24，25，27，31，32，33，所以中位数是25. 6.(多选)给出如图所示的三幅统计图及四个命题，其中命题正确的是(　　) A.从折线图能看出世界人口的变化情况 B.2050年非洲人口大约将达到15亿 C.2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 D.从1957年到2050年各洲中北美洲的人口增长速度最慢 答案　AC 解析　从折线图能看出世界人口的变化情况，故A正确；从柱形图中可得到2050年非洲人口数大约将达到18亿，故B错误；从扇形图中能明显得到结论，2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C正确；由上述三幅图并不能得出从1957年到2050年哪个洲的人口增长速度最慢，故D错误. 7.(5分)在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的75%分位数分别是　　　　，　　　　.  答案　57　53 解析　甲组数据为28，31，39，42，45，55，57，58，66，共9个，9×75%=6.75，所以甲组数据的75%分位数是57；乙组数据为29，34，35，42，46，48，53，55，67，共9个，9×75%=6.75，所以乙组数据的75%分位数是53. 8.(5分)某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用分层抽样法，则50岁以上年龄段应抽取　　　　人.  答案　8 解析　由图可知，50岁以上的职工所占的百分比为20%，按分层抽样法应抽取的人数为40×20%=8. 9.(10分)如图是某手机店根据某手机销售的相关数据绘制的统计图的一部分.请根据图①、图②解答下列问题： 图①　　　　　　　　图② (1)来自该店财务部的数据报告表明，该手机店1~4月的手机销售总额一共是290万元，请将图①中的统计图补充完整；(3分) (2)该店1月份音乐手机的销售额为多少万元？(3分) (3)小刚观察图②后，认为4月份音乐手机的销售额比3月份减少了，你同意他的看法吗？请说明理由.(4分) 解　(1)290-(85+80+65)=60(万元)，补图如图. (2)85×23%=19.55(万元)，所以该店1月份音乐手机的销售额为19.55万元. (3)不同意.理由如下：3月份音乐手机的销售额是60×18%=10.8(万元)，4月份音乐手机的销售额是65×17%=11.05(万元).而10.8<11.05，因此4月份音乐手机的销售额比3月份的销售额增多了. 10.(10分)为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如表所示： 甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 (1)画出茎叶图，由茎叶图分别求出甲、乙运动员的最大速度的中位数；(4分) (2)计算甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适.(6分) 解　(1)茎叶图如图所示. 所以甲的最大速度的中位数为=33，乙的最大速度的中位数为=33.5. (2)甲的最大速度的平均数为=×(27+30+31+35+37+38)=33， 乙的最大速度的平均数为=×(28+29+33+34+36+38)=33， 甲的最大速度的方差为 =×(36+9+4+4+16+25)=， 乙的最大速度的方差为 =×(25+16+1+9+25)=， 甲、乙的最大速度的平均数相等，乙的方差更小，则乙的发挥更稳定，故乙参加比赛更合适. 11.如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知以下说法正确的是(　　) A.甲运动员的成绩好于乙运动员 B.乙运动员的成绩好于甲运动员 C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异 D.甲运动员的最低得分为0分 答案　A 解析　由茎叶图可以看出，甲运动员的得分大致对称，平均得分是32分，乙运动员的得分除一个52分外，也大致对称，平均得分是25.1分，因此，甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙好.甲运动员的最低得分为10分. 12.肠胃病的严重程度一般可体现在排便量、排便时长上.某高中为了了解学生中患肠胃病人数占比和患病严重程度，对高一、高二年级的学生单日单次的排便时长进行了统计(记排便10分钟内为正常，排便10~20分钟为轻度肠胃病，排便20分钟以上为重度肠胃病)，并将结果制成统计图(如图所示)，若高一年级有学生1 000人，高二年级有学生1 200人，占比百分数均保留整数，下列说法正确的是(　　) A.高二年级学生的肠胃病人数比高一年级的少 B.高一年级学生轻度肠胃病人数占比比高二年级的低 C.高一年级学生重度肠胃病人数占比比高二年级的低 D.高一年级学生的肠胃质量参数比高二年级的高 答案　C 解析　由扇形图可得高一年级的学生中肠胃病人数为1 000×(1-45%)=550， 高一年级的学生中轻度肠胃病人数占比为42%， 高一年级的学生中重度肠胃病人数占比为13%， 高一年级学生的肠胃质量参数为=≈0.82， 由条形图可得高二年级的学生中肠胃病人数为389+165=554， 高二年级的学生中轻度肠胃病人数占比为≈32%， 高二年级的学生中重度肠胃病人数占比为=≈14%， 高二年级学生的肠胃质量参数为=≈1.17， 所以高二年级学生的肠胃病人数比高一年级的多，A错误； 高一年级学生的轻度肠胃病人数占比比高二年级的高，B错误； 高一年级学生的重度肠胃病人数占比比高二年级的低，C正确； 高一年级学生的肠胃质量参数比高二年级的低，D错误. 13.(多选)如图是甲、乙两人在某次射击测试中6次命中环数的折线图，则(　　) A.若甲、乙射击成绩的平均数分别为，，则< B.若甲、乙射击成绩的方差分别为，，则< C.乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数 D.乙比甲的射击成绩稳定 答案　CD 解析　甲在射击测试中6次命中环数为6，7，8，9，9，10，乙在射击测试中6次命中环数为5，5，6，7，7，7，甲、乙射击成绩的平均数分别为，，甲、乙射击成绩的方差分别为，，则=×(9+10+6+7+9+8)≈8.17，=×(6+7+5+5+7+7)≈6.17，所以>，故选项A错误；由折线图可以看出，乙的射击成绩比甲的射击成绩波动小，所以>，乙比甲的射击成绩稳定，故选项B错误，选项D正确；甲射击成绩的中位数为=8.5，乙射击成绩的中位数为=6.5，故选项C正确. 14.(5分)对某校高一年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分4个等级，将调查结果绘制成如图所示的柱形图和扇形图.根据图中信息，这些学生成绩的平均数是　　　　.  答案　2.95 解析　参加体能测试的人数是12÷30%=40，成绩为3分的人数是40×42.5%=17，成绩为2分的人数是40-3-17-12=8，所以这些学生成绩的平均数是=2.95. 15.(多选)某同学10次测评成绩(成绩均为整数)的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，则下列说法正确的是(　　) A.x+y=4 B.总体的平均数为11.2 C.若要使该总体的标准差最小，则x=2，y=2 D.该总体的最小方差为58.44 答案　ACD 解析　由中位数为12可得=12，解得x+y=4，A正确； 易知依题意可得平均数为×(2×2+3+4+2×12+19×2+20+21)=11.4，B错误； 由于(10-11.4)2+(14-11.4)2=8.72， (11-11.4)2+(13-11.4)2=2.72， (12-11.4)2+(12-11.4)2=0.72， 因为8.72>2.72>0.72， 所以当且仅当x=2，y=2时，总体的标准差最小，C正确； 该总体的最小方差为[(2-11.4)2×2+(3-11.4)2+(4-11.4)2+(12-11.4)2×2+(19-11.4)2×2+(20-11.4)2+(21-11.4)2]×=58.44，D正确. 16.(11分)如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线图，试根据折线图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温(单位： ℃)的柱形图和扇形图. 解　该城市3月1日至10日的最低气温(单位：℃)情况如下表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最低气温 -3 -2 0 -1 1 2 0 -1 2 2 柱形图如图所示. 扇形图如图所示. 学科网（北京）股份有限公司 $