5.1.4 用样本估计总体-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教B版2019）

续表 “.在上班高峰时段在该地铁站乘车等待时间少于20分 分组 频数 频率 频率/组距 钟的人数的估计值为25， [答案]0.03625 [115,120) 9 0.09 0.018 跟踪训练 [120,125) 11 0.11 0.022 3.A由频率分布直方图可知合格率是1一0.003×20× 100%=94%.(0.003+0.014+0.020+a+0.003)×20 [125,130) 6 0.06 0.012 =1.解得a=0.010. [130,135] 2 0.02 0.004 【随堂巩固促应用】 1.B根据小长方形的宽及高的意义，可知小长方形的面 合计 100 1.00 0.200 积为一组样本数据的頓率， 注：表中加上“频率！组距”一列，这是为画频率分布直方 图准条的，因为它是频率分布直方图的纵坐标 2.B由表得样本载据落在区间[10,40)的频率为易 (2)根据频率分布表中的有关信息画出频卓分布直方图 0.45. 及折线图如图所示， 三A由因可知频率-经是×组是，如复率为Q02X5 领率 0.1.所以所抽取的女生中，体重在40~45kg的有0.1 105 ×100=10(人). 0.04 4.A由(0.006+a十0.040+0.020+0.006)×10=1得 0.02 001 a=0.028. 07580859095100105110115120125130135140发绩7分 跟踪训练 5.1.4用样本估计总体 2.解(1)频率分布表如下： 【自主学习探新知】 分组 频数 频率 知识点一 最高长方形的底边中点相等面积中点重心 [-20.-15) 7 0.035 知识点二 越大 [-15,-10) 11 0.055 微判断 (1)√(2)×(3)×(4)× [-10,-5) 15 0.075 【互动探究解疑难】 [-5,0) 40 0.200 探究一 [例1][解](1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8， [0.5) 49 0.245 9,910,所以。=0×(2+4+6+8+7+7+8+9+9 [5,10) 41 0.205 十10)=7：乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8， [10,15) 20 0.100 8,9,9,10,所以中位数是78-=7,5：甲的射靶环数从小 17 到大排列为5,6,6.7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7. [15,20] 0.085 于是填充后的表格如下表所示： 合计 200 1.000 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 (2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示 甲 7 1.2 7 1 损率 组靶 Z 2 5.4 7.5 3 0.05 (2)①甲、乙的平均教相同，均为7，但s。<x,+说明甲偏 离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大 5.03 ②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，视明乙 0.02 射粑成绩比甲好 0.01 ③甲，乙的平均水平相同，而乙命中9环以上（包含9 -25-20-15-10-50510152025数据 环)的次数比甲多2次，可知乙的射把成绩比甲好. (3)样本数据不足0的频率为0.035十0.055+0.075+ ④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在 0.200=0.365. 平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力. 探究三 跟踪训练 例3][解析]0.012×5×3+0.040×5×2+0.048 1.解将样本中的每一个数都减去50，可得 ×5+a×5=1,,∴.a=0.036. -5,-1,-3,-1,-4,-4,1,8,9,10, 由题意知乘客在地铁站平均等待时间少于20分钟的频 这组数的平均数为 率为(0.012十0.040十0.048)×5=0.5， -5-1-3-1-4-4+1+8+9+10=1. ,.50×0.5=25. 10 19 样本中10个数的平均数为50十1=51， 第四组中，样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8，标准差为 方差为5+2++2+5+5+0+7+8+9=30,4 22. 10 故标准差最大的一组是第四红】 因此可估计这个学校学生体重的平均数为51，方羞为 方法二：从四个柱形图可看出第一组教据没有波动性 30.4. 第二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波 探究二 动性相对较大，利用标准差的意义可以直现得到答案， [例2][解](1)该市1000名跑步爱好者周跑量的频 率分布直方图如下： 4甲，-号×(9.8+9.9+10.1+10+10.2) 1频率 =10(t/km). 组距 04H 佳44 玉。-号×(9.4+10.3+10.8+9.7+9.8 =10(t:km). 0.036 即甲、乙两种冬小麦的平均产量都为101km.其方差 0.032 0028 0.024 分别为元=号×(0.04+0.01+0.01+0+0.04)= 0.020 0.02. 0016 )2 0008 元=吉×0.36+0.09+0.61+0.09+0.04)=0.24， 004 即<2，故甲种冬小麦的产量比较稳定 0内0公动西00周粥周 5.3 概率 (2)由频率分布表得[10,20)的频率为100+120 1000 0.22, [20.25)的频单为10-0130.13+0,2>0.25 5.3.1 样本空间与事件 【自主学习探新知】 因此，样本的第一四分位敦位于[20,25)内，由20十5× 知识点一 0.25-0.22≈21,2，所以样本的第一四分住数约为21,2 1,不能确定确定 0.13 2.(1)相同(2)可能出现所有 由频幸分布直方图得样本的众教为30十35=32.5， 2 知识点二 由频率分布表得样本的平均数估计为 1.(1)非空真子集是(2)必然事件不可能事件 12.5×0.1+17.5×0.12+22.5×0.13+27.5×0.18+ (3)子集(4) 32.5×0.22+37.5×0.15+42.5×0.06+47.5×0.03 微判断 十52.5×0.01=28.5，所以样本的第一四分位数钓为 (1)×(2)×(3)×(4) 21.2,众数为32.5，平均数为28.5. 2.0101 跟踪训练 微思考 2.解(1)由于组距为10，所以有a十0.02+0.025+ [提示]不能，只能反映事件A发生的可能性的大小， 0.035+a=0.1.从而a=0.01. 【互动探究解疑难】 (2)平均数0,1×55十0.2×65+0.35×75十0.25×85+ 探究一 0.1×95=75.5(分). [例1门「解】(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中 (3)因为50到80的频率和为0.65,50到90的频率和为 奖，所以是随机事件， 0.9,所以75%分位数为80+0.75=0.1+0.2+0.352× (2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件. 0.25 (3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人 10=84(分). 美无法生存，所以是不可能事件， 【随堂巩固促应用】 (4)同时抛将两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以 1.B因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离数 是随机事件， 程度，所以要评估前产量稳定程度，应该用样本数据的 (5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所 极差、方差或标准差，故选B. 以是随机事件， 2.D由频率分布直方图可知，这100名同学的得分的众 (6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不 数为7080-75. 会出现，所以是不可能事件 2 跟踪训练 3.D方法一：第一组中，样本数据都为5，数据没有波动 L.解(1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵 幅度，标准差为0： 袭，也可能不是3次，是随机事件， 第二组中，样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6，标准差 (2)对任意实数a,al≥0总成立，是必然事件。 (3)抛掷硬币10次，也可能全是反而向上，也可能有正 面向上，是随机事件， 第三组中，样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7，标准差 (4)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也 书 可能不是50%，是随机事件. (5)没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件. 20第五章 统计与概率 A.0.35 B.0.45 4.为了解学生在“弘扬传统文化,品读经典文学” C.0.55 D.0.65 月的阅读情况,现从全校学生中随机抽取了部 3.某校为了解高三学生的身体状况,抽取了 分学生,并统计了他们的阅读时间(阅读时间 100名女生的体重,将所得的数据整理 7[0,50]),分组整理数据得到如图所示的频 ( 率分布直方图,则图中a的值为 后,画出了如图的频率分布直方图,则所 - 抽取的女生中,体重在40~45kg的人 蔺中 1 数是 ) 0.040--- 般 0.020 0.10.-. 0.08{ 0.06--- 0.006 0.04 0 102030 4050 时问(小时) A.0.028 B.0.030 C.0.280 A.10 B.2 D.0.300 C.5 D. 15 提示请完成《素能提升训练》训练十七 5.1.4 用样本估计总体 [学习任务] 1.能用样本的数字特征估计总体的数字特征 2.能用样本的分布估计总体的分布 D自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 用样本的数字特征来估计总体的元,π,...,,样本在每一组对应的频率记为 数字特征 二 众数 众数是 所对应的数据 1[(n一)十(n。-)十.十(.一。)”]不 (1)在频率分布直方图中,中位数左边和右边的 直方图面积 ,由此可以估计中位数的 中位数 等于零,同样,大数定律可以保证,当样本的容量 值,但是有偏差; (2)表示样本数据所占频率的等分线 越来越大时,上式很小的可能性将越来 微判断 (1)平均数等于每个小矩形的 乘以小矩 形底边 的横坐标之和; 判断正误(正确的画“”,错误的画“×”). 平均数 (2)平均数是频率分布直方图的 ,是频 (1)样本的平均数描述了样本数据的平均 率分布直方图的平衡点 水平。 一般来说,在估计总体的数字特征时,只需 (2)方差越大,数据越集中在平均数左右.( 直接算出样本对应的数字特征即可 (3)中位数是样本数据中最中间位置的数据 知识点二 用样本的分布估计总体的分布 f -. 同数字特征的估计一样,分布的估计一般 (4)用样本估计出的总体中位数一定是样本 也有误差,如果总体在每一个分组的频率记为 数据中的某个数 ( ) 531 高中数学·必修 第二册(RJB) 互动探究解疑难 要点归纳 重难突 探究一 用样本的数字特征估计总体的数字 D跟踪训练 特征 1.为了快速了解某学校学生 [例1] 甲、乙两人在相同条件下各打靴10 体重(单位:kg)的大致情 次,每次打靴的成绩情况如图所示; 况,随机抽取了10名学生称重,得到的数据 70/ 乙 整理成茎叶图,如图所示,估计这个学校学生 □甲 体重的平均数和方差 (1)填写下表: 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 阳 乙 5.4 3 探究二 频率分布直方图与数字特征的综合应用 (2)请从四个不同的角度对这次测试进行 [例2](2022·深圳高一期末)某科研课题组 分析: 通过一款手机APP,调查了某市1000名跑 ①结合平均数和方差,分析偏离程度 步爱好者平均每周的跑步量(简称“周路 ②结合平均数和中位数,分析谁的成绩好些 量”),得到如下的频数分布表及直方图: ③结合平均数和命中9环及以上的次数,看 周跑量(km/周) 人数 周跑量(km/周) 人数 谁的成绩好些; [10.15) 100 [35,40) 150 ④结合折线图上两人射击命中环数及走势 [15,20) 120 [40,45) 分析谁更有潜力. [20.25) 130 [45,50 [25,30) 180 [50,55] 10 [30,35) 220 (1)请补全该市1000名跑步爱好者周跑量 的频率分布直方图; , 组距 0.048 0.044 0.040 0.036 n.032 a028 I|I规律方法lI 0.024 在日常生活中,当面对一组数据时,相比每一个 0.020 0016 观浏值,有时我们更关心的是能反映这组数据特征的 0012 一些健,例如上述数据,我们可以从平均数、中位数、 0.008 百分位数、众数、极差、方差,标准差等角度进行比较。 n.004 10 15 20 25 30 35 40 45 5055 周跑量(km/周 52 第五章 统计与概率 (2)根据以上图表数据,估计样本的第一四分 C跟踪训练 位数、众数及平均数(结果保留一位小数) 2.(2022·温州高一期末)某校对100名高一学 生的某次数学测试成绩进行统计,分成[50. 60).[60,70),70,80),[80,90),[90,100]五 组,得到如图所示的频率分布直方图 题率 0.035 .-... 0.025 0.02 (1)求图中a的值 (2)估计该校学生数学成绩的平均数 (3)估计该校学生数学成绩的75%分位数 IlI规律方法lI (1)利用频率分布直方图求数字特征 ①众数是最高的矩形的底边的中点; ②中位数左右两侧直方图的面积相等; ③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底 边中点的横坐标之和. (2)利用直方图求的众数、中位数、平均数均为近 似值,往往与实际数据得出的不一致,但它们能粗略 估计其众数,中位数和平均数。 随堂巩固促应用 验证反 迁移运用 1.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地 如图所示的频率分布直方图,则估计这100 名同学的得分的众数为 作试验田,这》块地的亩产量(单位:)分别 7 ) 为&,x...,t.,下面给出的指标中可以用来 评估这种农作物亩产量稳定程度的是 ) 0.040---- A.x.x.....x.的平均数 0.030 B.r.x。....,x.的标准差 0.015 ..... C.x.,x....,x.的最大值 0.0. 0.005.- D.r.x....,x.的中位数 50 60 70 80 90 100 分数 2.保护生态环境是每个公民应尽的义务!某校 A.70 B.72.5 随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷 C.80 D.75 测试,测试结果发现这100名同学的得分都 3.样本容量为9的四组数据,它们的平均数都 在[50,100]内,按得分分成5组:[50,60), 是5,它们的杜柱形统计图如图所示,则标准差 [60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到 最大的一组是 ( ) 3 高中数学·必修 第二册(RJB) A.第一组 频率 1率 B.第二组 10o..... 1.0 C.第三组 D.第四组 [□ 4.甲、乙两种冬小麦连续5年的平均单位面积 5数掘 n 0{ 456数 产量如下(单位;t/km}): 第一组 第二组 品种 第1年 第2年 第3年 率 频率 第4年 第5年 1.0 甲 9.8 0.9 10.1 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 0.3 9.8 01fi叫 5 8数据 034567数据 其中产量比较稳定的冬小麦品种是 第三组 第四组 提示请完成《素能提升训练》训练十八 5.3 概率 5.3.1 样本空间与事件 [学习任务] 1.了解随机现象和必然现象. 2.了解随机试验,理解样本点和样本空间含义,了解事件的分类,能用 样本空间的子集表示事件。 3.了解随机事件的概率不等式 自主学习探新知 课前习 花北实 知识点一 样本点和样本空间 知识点二 随机事件 1.必然现象与随机现象 1.随机事件 我们日常生活中的现象,根据结果是否 (1)随机事件 可以准确预测,可以分为两类,即随机现象和 如果随初试验的样本空间为2,则随初事 必然现象,一定条件下,发生的结果事先 件A是2的一个 .而且:若试验 的结果 的现象就是随机现象(或偶然现 A中的元素,则称A发生(或出 象),发生的结果事先能够 的现象就 现等):否则,称A不发生(或不出现等) 是必然现象(或确定性现象) (2)必然事件与不可能事件 2.样本点和样本空间 任何一次随机试验的结果,一定是样本 (1)随机试验 空间2中的元素,因此可以认为每次试验中 为了方便起见,我们把在 条件 2一定发生,从而称2为 ;汉因 下,对随机现象所进行的观察或实验称为随 为空集②不包含任何样本点,因此可以认为 机试验(简称为试验) 每次试验中②一定不发生,从而称②为 (2)样本点和样本空间 把随机试验中每一种 的结 (3)事件及其表示 果,都称为样本点,把由 样本点组成 不可能事件、随机事件、必然事件都可简称 的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母 为事件,通常用大写英文字母A,B,C...来表示 2表示). 事件,事件一定是样本空间的 24