第5章 5.1.2 第2课时 极差、方差与标准差（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

第2课时　极差、方差与标准差

学习目标　1.理解样本数据的极差、方差、标准差的意义和作用，学会计算数据的极差、方差、标准差.2.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、极差、方差、标准差)，并做出合理的解释.

导语

平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法.但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策.这节课我们共同来研究总体离散趋势的有关知识.

一、极值、方差与标准差的计算

问题1　有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：

甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4

乙：9　5　7　8　7　6　8　6　 7　7

甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？

提示　经计算得=×(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7，同理可得=7.

问题2　观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？

提示　直观上看，还是有差异的.如：甲成绩比较分散，乙成绩相对集中.

问题3　对于甲、乙两人的射击成绩除了画出频率分布条形图比较外，还有没有其他方法来说明两组数据的分散程度？

提示　还经常用甲、乙命中环数的极差与平均数一起比较说明数据的分散程度.甲的环数极差为10-4=6，乙的环数极差为9-5=4.它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与平均数一起，可以给我们许多关

于样本数据的信息.显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略.

知识梳理

1.极差

一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.

2.方差

如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为

s2=(xi-)2=-.

3.标准差

方差的算术平方根称为标准差.标准差描述了数据相对于平均数的离散程度，一般用s表示.

s=.

注意点：

(1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值极为敏感，一般情况下，极差大，则数据波动性大；极差小，则数据波动性小.极差只需考虑两个极端值，便于计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差.

(2)标准差和方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，方差、标准差的运算量较大.因为方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然标准差与方差在体现数据离散程度上是一样的，但解决问题时一般用标准差.

例1　(课本例2)计算下列各组数的平均数与方差：

(1)18.9，19.5，19.5，19.2，19，18.8，19.5；

(2)2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，5，6，6.

解　(1)将每一个数乘以10，再减去190，可得-1，5，5，2，0，-2，5.

这组新数的平均数为×(-1+5+5+2+0-2+5)=2，

方差为×[(-1-2)2+(5-2)2+(5-2)2+(2-2)2+(0-2)2+(-2-2)2+(5-2)2]=8.

由此可知，所求平均数为19.2，方差为8×=0.08.

(2)可将数据整理为

每一个数都减去4可得

 

这组数的平均数与方差分别为

×[(-2)×3+(-1)×4+0×5+1×6+2×2]=0，

×[(-2)2×3+(-1)2×4+02×5+12×6+22×2]=.

因此，所求平均数为4，方差为.

例1　甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，得到如下数据：

甲：99　100　98　100　100　103

乙：99　100　102　99　100　100

分别计算两组数据的平均数及方差.

解　=×(99+100+98+100+100+103)=100，

=×(99+100+102+99+100+100)=100.

=×[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=，

=×[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.

反思感悟　求方差的基本方法

(1)先求平均值，再代入公式s2=(xi-)2或s2=-.

(2)当一组数据重复数据较多时，可先整理出频数表，再计算s2.

跟踪训练1　某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：

甲组：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80；

乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85.

试分别计算两组数据的极差、方差和标准差.

解　甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95-60=35(分)，

平均分=×(60+90+85+75+65+70+80+90+95+80)=79(分)，

方差=×[(60-79)2+(90-79)2+(85-79)2+(75-79)2+(65-79)2+(70-79)2+(80-79)2+(90-79)2+(95-79)2+(80-79)2]=119，

标准差s甲==≈10.91.