第5章 5.1.2 第2课时 极差、方差与标准差（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学中极差、方差与标准差的核心知识点，承接集中趋势（平均数、中位数、众数）的学习，构建数据离散趋势分析体系，涵盖定义、计算方法、性质及实际应用，形成完整的数据分析知识支架。 该资料以射击成绩等现实问题情境引入，培养学生用数学眼光观察数据差异，通过例题变式（如数据变换后方差计算）和跟踪训练，提升数学思维中的运算能力与推理意识，用方差、标准差量化波动体现数学语言表达。课中问题链引导探究，课后分层练习助力查漏补缺，有效提升教学效果与学生自主学习能力。

第2课时　极差、方差与标准差 学习目标　1.理解样本数据的极差、方差、标准差的意义和作用，学会计算数据的极差、方差、标准差.2.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、极差、方差、标准差)，并做出合理的解释. 导语 平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法.但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策.这节课我们共同来研究总体离散趋势的有关知识. 一、极值、方差与标准差的计算 问题1　有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4 乙：9　5　7　8　7　6　8　6　 7　7 甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？ 提示　经计算得=×(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7，同理可得=7. 问题2　观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？ 提示　直观上看，还是有差异的.如：甲成绩比较分散，乙成绩相对集中. 问题3　对于甲、乙两人的射击成绩除了画出频率分布条形图比较外，还有没有其他方法来说明两组数据的分散程度？ 提示　还经常用甲、乙命中环数的极差与平均数一起比较说明数据的分散程度.甲的环数极差为10-4=6，乙的环数极差为9-5=4.它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息.显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略. 知识梳理 1.极差 一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差. 2.方差 如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为 s2=(xi-)2=-. 3.标准差 方差的算术平方根称为标准差.标准差描述了数据相对于平均数的离散程度，一般用s表示. s=. 注意点： (1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值极为敏感，一般情况下，极差大，则数据波动性大；极差小，则数据波动性小.极差只需考虑两个极端值，便于计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差. (2)标准差和方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，方差、标准差的运算量较大.因为方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然标准差与方差在体现数据离散程度上是一样的，但解决问题时一般用标准差. 例1　(课本例2)计算下列各组数的平均数与方差： (1)18.9，19.5，19.5，19.2，19，18.8，19.5； (2)2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，5，6，6. 解　(1)将每一个数乘以10，再减去190，可得-1，5，5，2，0，-2，5. 这组新数的平均数为×(-1+5+5+2+0-2+5)=2， 方差为×[(-1-2)2+(5-2)2+(5-2)2+(2-2)2+(0-2)2+(-2-2)2+(5-2)2]=8. 由此可知，所求平均数为19.2，方差为8×=0.08. (2)可将数据整理为 x 2 3 4 5 6 频数 3 4 5 6 2 每一个数都减去4可得 x-4 -2 -1 0 1 2 频数 3 4 5 6 2 这组数的平均数与方差分别为 ×[(-2)×3+(-1)×4+0×5+1×6+2×2]=0， ×[(-2)2×3+(-1)2×4+02×5+12×6+22×2]=. 因此，所求平均数为4，方差为. 例1　甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，得到如下数据： 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 分别计算两组数据的平均数及方差. 解　=×(99+100+98+100+100+103)=100， =×(99+100+102+99+100+100)=100. =×[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=， =×[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1. 反思感悟　求方差的基本方法 (1)先求平均值，再代入公式s2=(xi-)2或s2=-. (2)当一组数据重复数据较多时，可先整理出频数表，再计算s2. 跟踪训练1　某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)： 甲组：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80； 乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85. 试分别计算两组数据的极差、方差和标准差. 解　甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95-60=35(分)， 平均分=×(60+90+85+75+65+70+80+90+95+80)=79(分)， 方差=×[(60-79)2+(90-79)2+(85-79)2+(75-79)2+(65-79)2+(70-79)2+(80-79)2+(90-79)2+(95-79)2+(80-79)2]=119， 标准差s甲==≈10.91. 乙组：最高分为95分，最低分为65分， 极差为95-65=30(分)， 平均分=×(85+95+75+70+85+80+85+65+90+85)=81.5(分)， 方差=×[(85-81.5)2+(95-81.5)2+(75-81.5)2+(70-81.5)2+(85-81.5)2+(80-81.5)2+(85-81.5)2+(65-81.5)2+(90-81.5)2+(85-81.5)2]=75.25， 标准差s乙==≈8.67. 二、方差、标准差的性质 方差、标准差的性质：如果a，b为常数，则ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差为a2s2、标准差为|a|s. 注意点： (1)方差、标准差的取值范围为[0，+∞). (2)方差、标准差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动，数据没有离散性. 例2　已知样本数据x1，x2，…，x100的平均数和标准差均为4，则数据-x1-1，-x2-1，…，-x100-1的平均数与方差分别为(　　) A.-5，16 B.-5，4 C.4，16 D.4，4 答案　A 解析　设样本数据x1，x2，…，x100的平均数为，方差为s2，则ax1+b，ax2+b，…，ax100+b的平均数为a+b，方差为a2s2， 故数据-x1-1，-x2-2，…，-x100-1的平均数为-4-1=-5，方差为(-1)2×42=16. 反思感悟　若样本数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则yi=axi+b，i=1，2，…，n的平均数为a+b，方差为a2s2，标准差为|a|s. 跟踪训练2　若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的标准差为(　　) A.8 B.15 C.16 D.32 答案　C 解析　样本数据x1，x2，…，x10的标准差s=8，则样本数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的标准差s'=2×8=16. 三、数据的数字特征的应用 例3　为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从甲、乙两种麦苗中各抽10株，测得它们的株高分别为(单位：cm)： 甲：25　41　40　37　22　14　19　39　21　42 乙：27　16　44　27　44　16　40　40　16　40 (1)哪种小麦的苗长得高？ (2)哪种小麦的苗长得齐？ 解　(1)=×(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=×300=30(cm). =×(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=×310=31(cm). 显然<，所以乙种小麦的苗长得高. (2)=×[(25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+(22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+(42-30)2]=×(25+121+100+49+64+256+121+81+81+144) =×1 042=104.2. =×[(27-31)2+(16-31)2+(44-31)2+(27-31)2+(44-31)2+(16-31)2+(40-31)2+(40-31)2+(16-31)2+(40-31)2]=×(16+225+169+16+169+225+81+81+225+81) =×1 288=128.8. 显然<，所以甲种小麦的苗长得齐. 反思感悟　用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似值，实际应用中，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况. 跟踪训练3　甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取5次成绩(单位：分，满分10分)，如表所示： 甲射击成绩 10 7 8 10 10 乙射击成绩 10 6 10 10 9 (1)分别求出甲、乙两名运动员5次射击成绩的平均数与方差； (2)判断哪位运动员的射击成绩更好？ 解　(1)甲运动员5次射击成绩的平均数为 =×(10+7+8+10+10)=9， 乙运动员5次射击成绩的平均数为 =×(10+6+10+10+9)=9， 甲运动员5次射击成绩的方差为 =×[3×(10-9)2+(7-9)2+(8-9)2]=， 乙运动员5次射击成绩的方差为 =×[3×(10-9)2+(6-9)2+(9-9)2]=. (2)∵甲、乙两名运动员的平均成绩相同，方差<， ∴甲运动员的射击成绩更稳定，即甲运动员的射击成绩更好. 1.知识清单： (1)极差、标准差、方差的计算方法. (2)方差、标准差的性质. (3)数据的数字特征的应用. 2.方法归纳：数据分析. 3.常见误区： (1)数据同时增加或减少相同的数，平均数变化，方差不变. (2)方差、标准差的计算. (3)在计算方差或标准差时，当数据的重复数据较多时，要先把数据整理为频数表再用公式或性质计算. 1.下列说法中正确的是(　　) A.在两组数据中，平均数较大的一组方差较大 B.平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小 C.求出各个数据与平均数的差的平方后再相加，所得的和就是方差 D.众数能反映一组数据的离散程度 答案　B 解析　由平均数、众数、方差的定义及意义可知选B. 2.某同学5天上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为12，8，10，9，11，则这组数据的方差为(　　) A.4 B.2 C.9 D.3 答案　B 解析　由题意可得==10， 由方差公式可得s2=×[(12-10)2+(8-10)2+(10-10)2+(9-10)2+(11-10)2]=2. 3.一组数据6，7，8，a，12的平均数为7，则此组数据的极差为　　　　.  答案　10 解析　由这组数据的平均数为=7，解得a=2， 所以此组数据的极差为12-2=10. 4.国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均成绩 8.5 8.8 8.8 8 方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7 则应派　　　　参赛最为合适.  答案　丙 解析　由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适. 课时对点练 [分值：90分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.某演讲比赛8位参赛选手的最终得分分别为92，88，95，93，91，97，94，96，其中位数和极差分别为(　　) A.92，8 B.93.5，9 C.93，9 D.93.5，8 答案　B 解析　把这八个数据从小到大排列为88，91，92，93，94，95，96，97， 中位数为=93.5， 极差为97-88=9. 2.已知数据：2，4，4，6，6，6，8，8，8，8，则这10个数的标准差为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　这10个数的平均数=×(2+4×2+6×3+8×4)=6， 方差s2=[(2-6)2+(4-6)2×2+(6-6)2×3+(8-6)2×4]=4， 则标准差为2. 3.若一组数据a，3，5，7的平均数是b，且a，b是方程x2-5x+4=0的两根，则这组数据的方差是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　C 解析　x2-5x+4=0的两根是1，4.当a=1时，a，3，5，7的平均数是4；当a=4时，a，3，5，7的平均数不是1.所以a=1，b=4，则方差为s2=×[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5. 4.某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，得到的数据分别为36，36，37，37，40，43，43，44，44，若用样本估计总体，年龄在(-s，+s)内的人数占公司人数的百分比是(其中是平均数，s为标准差，结果精确到1%)(　　) A.14% B.25% C.56% D.67% 答案　C 解析　因为= =40，s2=×(16+16+9+9+0+9+9+16+16)=，即s=. 年龄在(-s，+s)内，即内的人数有5人，所以百分比为≈56%. 5.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下： 甲：7　8　10　9　8　8　6 乙：9　10　7　8　7　7　8 则下列判断正确的是(　　) A.甲射击的平均成绩比乙好 B.甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数 C.乙射击的平均成绩比甲好 D.甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差 答案　D 解析　甲命中的环数的平均数为 =×(7+8+10+9+8+8+6)=8， 乙命中的环数的平均数为 =×(9+10+7+8+7+7+8)=8， 所以甲、乙射击的平均成绩相等，故A，C均错误；甲射击的成绩的众数是8，乙射击的成绩的众数是7，所以甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，故B错误；甲射击的成绩的极差为10-6=4，乙射击的成绩的极差为10-7=3，所以甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差，故D正确. 6.在2024年巴黎奥运会上，中国跳水队表现卓越，成功包揽了全部8枚跳水金牌，这一成绩不仅创造了历史，也再次证明了“梦之队”的实力.跳水比赛计分规则如下：针对运动员每次跳水，共有7个裁判评分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数相加后乘以难度分，即可得出最终得分.下列说法正确的是(　　) A.去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的中位数一定改变 B.去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的方差可能不变 C.去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的平均数一定不变 D.去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的众数一定不变 答案　B 解析　若7个裁判的评分分别为10，10，9.9，9.9，9.9，9.8，9.7，中位数为9.9，平均数为=×(10+10+9.9+9.9+9.9+9.8+9.7)≈9.89， 去掉一个最高分与一个最低分后评分为10，9.9，9.9，9.9，9.8，中位数为9.9，平均数为'=×(10+9.9+9.9+9.9+9.8)=9.9，即去掉一个最高分和一个最低分前后中位数不变，平均数可能改变，故A，C错误； 若7个裁判的评分分别为10，10，10，9.9，9.9，9.9，9.8，众数为10和9.9， 去掉一个最高分与一个最低分后评分为10，10，9.9，9.9，9.9，众数为9.9，即去掉一个最高分和一个最低分前后众数可能改变，故D错误； 若7个裁判的评分为10，10，10，10，10，10，10，则去掉一个最高分和一个最低分前后平均数都为10，方差都为0，即两组数据方差可能不变，故B正确. 7.(5分)新莽铜嘉量是由新莽时期刘歆等人设计制造的量器标准器，它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位.每一个量又有详细的分铭，可测量各器的径、深、底面积和容积.现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.154 7，3.199 2，3.149 8，3.203 1，比《周髀算经》的“径一而周三”前进了一大步，则上面4个数据与祖冲之给出的约率3.142 9、密率3.141 6这6个数据的极差为　　　，60%分位数为　　　.  答案　0.061 5　3.154 7 解析　根据题意，所给的6个数据从小到大排列依次为3.141 6，3.142 9，3.149 8，3.154 7，3.199 2，3.203 1， 所以这6个数据的极差为3.203 1-3.141 6=0.061 5， 因为6×60%=3.6，所以60%分位数为3.154 7. 8.(5分)某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，则更正后平均分和方差分别是　　　，　　　.  答案　70　50 解析　甲少记30分，乙多记30分，则总分不变，由此平均分不发生变化；原方差s2=++…++502+1002-48×702)=75，更正后方差s'2=++…++802+702-48×702)=++…++502+1002-48×702-1 200)=s2-×1 200=50. 9.(10分)为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展“中国汉字听写大会”的活动.为响应学校号召，高二9班组建了兴趣班，其中甲、乙两人近期8次成绩所得数据分别为 甲：68，69，71，72，74，78，83，85； 乙：65，70，70，73，75，80，82，85. (1)求甲、乙两人成绩的平均数和中位数；(4分) (2)现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度你认为派哪位学生参加比较合适？(6分) 解　(1)甲的平均数为= (68+69+71+72+74+78+83+85)÷8=75，中位数为(72+74)÷2=73， 乙的平均数为=(65+70+70+73+75+80+82+85)÷8=75，中位数为(73+75)÷2=74. (2)甲的方差为=[(68-75)2+(69-75)2+(71-75)2+ (72-75)2+(74-75)2+(78-75)2+(83-75)2+(85-75)2]÷8=35.5， 乙的方差为=[(65-75)2+(70-75)2+(70-75)2+(73-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(82-75)2+(85-75)2] ÷8=41， ∵<， ∴甲成绩更稳定，派甲参加比较合适. 10.(12分)在一个文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分.如下是两个评判组对同一选手打分的情况. A：49，50，47，50，47，47，46，55，45，44，42，42 B：42，49，47，46，58，62，68，66，55，73，70，36 (1)求A组数据的众数和B组数据的中位数；(4分) (2)对每一组计算用于衡量相似性的数值，回答：小组A与小组B哪一个更像是由专业人士组成的？并说明理由.(8分) 解　(1)由题意可得，A组数据的众数为47，将B组数据按从小到大排列为36，42，46，47，49，55，58，62，66，68，70，73，故B组数据的中位数为=56.5. (2)A，B两组数据的平均数分别为 =×(42+42+44+45+46+47+47+47+49+50+50+55)==47， =×(36+42+46+47+49+55+58+62+66+68+70+73)==56. A，B两组数据的方差分别为 =×[(42-47)2+(42-47)2+…+(55-47)2]=×(25+25+9+4+1+4+9+9+64)=12.5， =×[(36-56)2+(42-56)2+…+(73-56)2]=×(400+196+100+81+49+1+4+36+100+144+196+289)=133. 因为<，<，所以A组成员对同一选手打分的相似程度高，由于专业人士给分更符合专业规则，所以对同一选手打分的相似程度应该高，因此小组A更像是由专业人士组成的. 11.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9，(x，y∈N)，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案　A 解析　由这组数据的平均数为10，方差为2可得x+y=20，(x-10)2+(y-10)2=8，设x=10+t，y=10-t，由(x-10)2+(y-10)2=8得t2=4，所以|x-y|=2|t|=4. 12.(多选)已知一组数据x1，x2，…，xn的极差为m，平均数为a，方差为b，另外一组数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的极差为9，平均数为11，方差为13，则(　　) A.am=9 B.a2+b=11 C.a2b+b=13 D.|a2-b|= 答案　BD 解析　假设x1最小，xn最大，则xn-x1=m， 若a<0，则另外一组数据axn+b最小，ax1+b最大， 此时极差为(ax1+b)-(axn+b)=a(x1-xn)=-am=9，A错误； 易得所以|a2-b|==，B，D正确，C错误. 13.(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参加学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表： 班级 参加人数 中位数 方差 平均数 甲 55 149 191 135 乙 55 151 110 135 下列结论中，正确的是(　　) A.甲、乙两班学生成绩的平均水平相同 B.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀) C.甲班的成绩比乙班的成绩波动大 D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 答案　ABC 解析　甲、乙两班成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均水平相同，所以A正确；=191>110=，所以甲班成绩不如乙班稳定，即甲班成绩波动较大，所以C正确；甲、乙两班人数相同，但甲班成绩的中位数为149，乙班成绩的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数≥150个的人数要多于甲班，所以B正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，所以D错误. 14.(5分)A工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续5天生产的手套数(单位：万只)依次为x1，x2，x3，x4，x5，若这组数据的方差为1.44，且，，，，的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产手套　　　　万只.  答案　1.6 解析　依题意得++++=20， 设x1，x2，x3，x4，x5的平均数为， 根据方差的计算公式有 [(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2+(x5-)2]=1.44， ∴(++++)-2(x1+x2+x3+x4+x5)+5=7.2， 即20-10+5=7.2，又>0，∴=1.6. 15.(多选)安徽师范大学在建校96周年之际，为回馈师生，学校安排专业人员驾船于校内花津湖中打捞“花津鱼”，为师生们筹备了一场为期三天的春日鱼宴.为调查该活动中同学们的参与情况，调查部门认为该活动大部分同学参与的标志为“连续调查10次，每次未参与的人数不超过7”.在过去的10次调查中，甲、乙、丙、丁四个调查小组调查的未参与人数的信息如下，一定符合该活动大部分同学参与的标志的是(　　) A.甲组：中位数为2，极差为5 B.乙组：总体平均数为2，总体方差为3 C.丙组：总体平均数为1，总体方差大于0 D.丁组：总体平均数为2，众数为2 答案　AB 解析　对于A，设每次未参与的人数最少为x，而中位数为2，故x≤2， 因为极差为5，所以x+5≤7，即每次未参与的人数最多不超过7，故符合情况，故A正确； 对于B，假设有1个数据不小于8，方差为s2， 则s2>×(8-2)2=3.6>3， 故假设不成立，故此时符合情况，故B正确； 对于C，假设数据为1，9，0，0，0，0，0，0，0，0，此时总体平均数为1，总体方差大于0， 但不满足每次未参与的人数不超过7，故C错误； 对于D，假设数据为8，2，2，2，2，2，2，0，0，0，满足总体平均数为2，众数为2， 但不满足每次未参与的人数不超过7，故D错误. 学科网（北京）股份有限公司 $