第5章 §5.4 统计与概率的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

学习目标　1.能用随机模拟的方法进行估计.2.了解游戏、遗传性问题中的概率问题.3.利用统计和概率的知识解决日常生活和其他学科中的一些难题.

导语

统计与概率主要是研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻化，来帮助人们做出合理的决策.随着社会的不断发展，统计与概率的思想方法也越来越重要.

一、统计的应用

例1　某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到如下频数分布表：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

 

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

 

(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；

(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；

(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表)

解　(1)如图所示.

(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天中日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，

因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.

(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为=×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.

该家庭使用了节水龙头50天日用水量的平均数为=×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.

估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).

反思感悟　频率分布直方图是考查数据收集和整理的常用依据，掌握频率分布直方图中常见数据的提取方法是解决此类问题的关键.

跟踪训练1　某销售公司为了解员工的月工资水平，从1 000位员工中随机抽取了100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：

(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资；

(2)该公司的工资发放是以员工的营销水平为重要依据确定的，一般认为，工资低于4 500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4 500元的员工属于成熟员工，进行营销将会成功.现将该样本按照“学徒阶段工资”“成熟员工工资”分成两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动.活动中，每位员工若营销成功，将为公司赚得3万元，否则公司将损失1万元.在此次活动中公司收入多少万元的可能性最大？

解　(1)估计该公司员工的月平均工资为0.000 1×1 000×2 000+0.000 1×1 000×3 000+0.000 2×1 000×4 000+0.000 3×1 000×5 000+0.000 2×1 000×6 000+0.000 1×1 000×7 000=4 700(元).

(2)抽取比为=，

从工资在[1 500，4 500)内的员工中抽出100×(0.1+0.1+0.2)×=2(人)，设这两位员工分别为1，2；从工资在[4 500，7 500]内的员工中抽出100×(0.3+0.2+0.1)×=3(人)，设这三位员工分别为A，B，C.

从中任选2人，共有以下10个样本点：(1，2)，(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C).

两人营销都成功，公司收入6万元，有以下3个样本点：(A，B)，(A，C)，(B，C)，概率为；

其中一人营销成功，一人营销失败，公司收入2万元，有以下6个样本点：(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，概率为=；

两人营销都失败，公司损失2万元，有1个样本点：(1，2)，概率为.

∵<<，∴公司收入2万元的可能性最大.

二、概率的应用

例2　A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：