第4章 章末复习课 指数函数、对数函数与幂函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

该高中数学讲义通过知识网络框架图系统构建指数对数运算、函数图象应用、比较大小及函数综合性质四大模块的知识体系，每个模块以知识点梳理为基础，结合典型例题、反思感悟和跟踪训练，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“例题-反思-训练”的递进式设计，如函数图象应用中通过数形结合解决不等式问题（例2），比较大小中利用函数单调性分类讨论（例3），培养数学运算、直观想象与逻辑推理素养。分层训练满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

一、指数、对数运算 1.指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，指数、对数的运算法则以及换底公式等，会利用运算法则进行化简、计算、证明等. 2.掌握基本运算法则，重点提升数学运算素养. 例1　计算：(1)(×(÷； (2)2log32-log3+log38-2. 解　(1)原式=(×(1÷1 =2-1×103×1=2-1×1=. (2)原式=log34-log3+log38- =log3- =log39-9=2-9=-7. 反思感悟　指数、对数的运算应遵循的原则 (1)指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式，则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的. (2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算法则，其次对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧. 跟踪训练1　(1)计算：80.25×+(×)6+log32×log2(log327)的值为　　　　.  答案　111 解析　∵log32×log2(log327)=log32×log23 =×=1， ∴原式=×+22×33+1=21+4×27+1 =111. (2)已知2x=3，log4=y，则x+2y的值为　　　　.  答案　3 解析　由2x=3，log4=y得x=log23， y=log4=log2， 所以x+2y=log23+log2=log28=3. 二、函数图象的应用 1.指数函数、对数函数与幂函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数与幂函数等图象的交点个数问题. 2.掌握指数函数、对数函数与幂函数图象的作法以及简单的图象平移、翻折等变换，提升直观想象和逻辑推理素养. 例2　(1)已知f(x)是函数y=log2x的反函数，则y=f(1-x)的图象是(　　) 答案　C 解析　函数y=log2x的反函数为y=2x，故f(x)=2x，于是f(1-x)=21-x=，此函数在R上为减函数，其图象过点(0，2)，所以选项C中的图象符合要求. (2)不等式log3x≥(x-1)的解集是(　　) A.{x|1≤x≤3} B.{x|1≤x≤4} C.{x|x≥1} D.{x|0≤x≤1或x≥3} 答案　A 解析　 在同一平面直角坐标系内作出函数y=log3x，y=(x-1)的图象，如图， 观察图象知，当且仅当1≤x≤3时，函数y=log3x的图象不在直线y=(x-1)的下方， 所以不等式log3x≥(x-1)的解集是 {x|1≤x≤3}. 反思感悟　指数函数、对数函数与幂函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换. 跟踪训练2　(1)若函数y=logax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　) 答案　B 解析　由题意得y=logax(a>0且a≠1)的图象过点(3，1)，可得a=3.选项A中，y=3-x=，显然图象错误；选项B中，y=x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y=(-x)3=-x3，显然与所画图象不符；选项D中，y=log3(-x)的图象与y=log3x的图象关于y轴对称，显然不符. (2)已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A.0<a-1<b<1 B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 答案　A 解析　由图象知，函数为增函数，所以a>1. 又当x=0时，-1<logab<0，故a-1<b<1， 所以0<a-1<b<1. 三、比较大小 1.比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较. 2.掌握指数函数、对数函数和幂函数的图象和单调性，对于不同的底数，注意分类讨论，提升直观想象和逻辑推理素养. 例3　(1)已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a (2)设a=lo2，b=lo3，c=0.，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)∵a=log20.3<log21=0，b=20.3>20=1，0<c=0.30.2<0.30=1，∴b>c>a. (2)∵a=lo2<0，b=lo3<0，lo2>lo3， lo3>lo3，c=0.>0.∴b<a<c. 反思感悟　数的大小比较常用的技巧 (1)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较. (2)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小. 跟踪训练3　若0<x<y<1，则(　　) A.3y<3x B.logx3<logy3 C.log4x<log4y D.< 答案　C 解析　因为0<x<y<1，则 对于A，函数y=3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误； 对于B，根据底数a对对数函数y=logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1，+∞)上“底小图高”.因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，B错误； 对于C，函数y=log4x在(0，+∞)上单调递增，故log4x<log4y，C正确； 对于D，函数y=在R上为减函数，故>，D错误. 四、函数的综合性质的应用 1.以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等. 2.掌握指数函数、对数函数的图象及性质，重点提升数学运算和逻辑推理素养. 例4　已知函数f(x)=，a>0. (1)判断f(x)的单调性，并用定义证明； (2)若f(x)为奇函数，求关于x的不等式f(2ax)<f(4a)的解集. 解　 (1)f(x)的定义域为R，∀x1，x2∈R，且x1<x2， 有f(x1)-f(x2)=1--1+ =， 因为x1-x2<0，所以-<0，又因为a>0， 所以<0，f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在R上单调递增. (2)由题意得f(-x)== =-f(x)，解得a=1. 由(1)可知f(x)在R上单调递增， 所以由f(2x)<f(4)，得2x<4，解得x<2， 故不等式的解集为(-∞，2). 反思感悟　解决此类问题要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质.方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根. 跟踪训练4　已知函数f(x)=lg(x+2)-lg(2-x). (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)求不等式f(x)>1的解集. 解　(1)要使函数f(x)有意义，则 解得-2<x<2. 故所求函数f(x)的定义域为(-2，2). (2)f(x)为奇函数.证明如下： 由(1)知f(x)的定义域为(-2，2)， 设任意的x∈(-2，2)，则-x∈(-2，2)， 且f(-x)=lg(-x+2)-lg(2+x)=-f(x)， 故f(x)为奇函数. (3)因为f(x)在定义域(-2，2)上是增函数， 所以f(x)>1等价于>10，解得x>. 所以不等式f(x)>1的解集是. 学科网（北京）股份有限公司 $