第4章 §4.4 幂函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦幂函数这一核心知识点，从概念入手通过问题区分幂函数与指数函数，明确定义及注意点，再引导绘制五个常见幂函数图象，梳理定义域、值域、奇偶性、单调性等性质，最终应用性质解决幂值比较及综合问题，形成完整学习支架。 该资料以数学史导语引入培养数学眼光，通过问题驱动和性质表格化梳理发展数学思维，例题与跟踪训练结合规范数学语言表达。课中助力教师引导学生构建知识体系，课后课时对点练分层巩固，帮助学生查漏补缺。

学习目标　1.掌握幂函数的概念.(重点)2.掌握幂函数y=xα的图象与性质.(重点)3.会根据幂函数的单调性比较幂值的大小.(难点) 导语 同学们，我们说要想学好数学，就要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积.《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了明清时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂.清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念. 一、幂函数的概念 问题1　函数y=是指数函数吗？为什么？ 提示　不是，自变量x的位置在底数位置，不符合指数函数定义. 知识梳理　幂函数的定义 一般地，函数y=xα称为幂函数，其中α为常数. 注意点： (1)xα的系数为1. (2)底数为自变量x. (3)指数α为常数. 例1　(1)(多选)下列函数为幂函数的是(　　) A.y=x3 B.y= C.y=4x2 D.y=x 答案　AD 解析　B项为指数函数；C中的函数的系数不为1；A，D为幂函数. (2)已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数，则m=　　　，n=　　　　.  答案　-3或1　 解析　由题意得 解得或 所以m=-3或1，n=. 反思感悟　幂函数的判断方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量x，③幂的系数为1.形如y=(3x)α，y=2xα，y=xα+5，…形式的函数都不是幂函数. 跟踪训练1　(1)已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数，则a+b等于(　　) A.2 B.1 C. D.0 答案　A 解析　因为f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数， 所以a=1，-b+1=0， 即a=1，b=1，则a+b=2. (2)点A(4，2)在幂函数f(x)的图象上，则f(f(9))=　　　　.  答案　 解析　设f(x)=xa，则f(4)=4a=2⇒a=，故f(x)=， 所以f(9)==3，则f(f(9))=f(3)=. 二、幂函数的图象和性质 问题2　在同一平面直角坐标系中，你能画出幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=x-1的图象吗？ 提示　 知识梳理 1.五个幂函数的图象 2.五个幂函数的性质 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R [0，+∞) {x|x≠0} 值域 R [0，+∞) R [0，+∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在R上是增函数 在[0，+∞)上是增函数，在(-∞，0]上是减函数 在R上是增函数 在[0，+∞)上是增函数 在(0，+∞)上是减函数，在(-∞，0)上是减函数 公共点 (1，1) 注意点： (1)所有的幂函数在区间(0，+∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1).在第四象限内都没有图象.在第二、三象限内的图象可由函数的奇偶性画出. (2)当α>0时，幂函数的图象都通过点(0，0)，在第一象限内，当0<α<1时，曲线上凸；当α>1时，曲线下凸，并且在区间[0，+∞)上是增函数. (3)当α<0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限逼近x轴. (4)在x=1右侧，幂函数y=xα的指数α从下向上看递增，即“指大图高”“指小图低”. 例2　(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则对应于c1，c2，c3，c4的n依次为(　　) A.-2，-，2 B.2，，-，-2 C.-，-2，2， D.2，，-2，- 答案　B 解析　根据幂函数y=xn的性质， 故c1的n=2，c2的n=， 当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭， 所以曲线c3的n=-，曲线c4的n=-2. (2)函数y=的大致图象是(　　) 答案　B 解析　∵函数y=是奇函数，且α=>1， ∴函数y=的大致图象为B. 反思感悟　解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，+∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1 或y=或y=x3)来判断. 跟踪训练2　(1)幂函数y=x2 027的图象一定经过(　　) A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、三象限和原点 D.第二、四象限和原点 答案　C 解析　幂函数y=x2 027是定义在R上的奇函数，其图象经过第一、三象限和原点. (2)若幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示，则(　　) A.-1<n<0<m<1 B.n<-1，0<m<1 C.-1<n<0，m>1 D.n<-1，m>1 答案　B 解析　由图象知，y=xm在(0，+∞)上单调递增， 所以m>0， 由于y=xm的图象增长的越来越慢， 所以0<m<1； y=xn在(0，+∞)上单调递减， 所以n<0， 又当x>1时，y=xn的图象在y=x-1图象的下方， 所以n<-1. 三、幂函数性质的应用 例3　(1)(课本例1)比较下列各题中两个值的大小： ①2.31.1和2.51.1； ②(a2+2和. 解　①考察幂函数y=x1.1，因为其在区间[0，+∞)上是增函数，而且2.3<2.5，所以2.31.1<2.51.1. ②考察幂函数y=，因为其在区间(0，+∞)上是减函数，而且a2+2≥2，所以(a2+2≤. 例3　(1)比较下列各组数中两个数的大小： ①与； ②与； ③与. 解　①∵幂函数y=x0.5在(0，+∞)上单调递增， 且>，∴>. ②∵幂函数y=x-1在(-∞，0)上单调递减， 且-<-，∴>. ③∵函数y=在(0，+∞)上单调递增， 且>1，∴>=1. 又∵函数y=在(0，+∞)上单调递增， 且<1， ∴<=1，∴>. (2)已知幂函数f(x)=(m2-2m+1)的图象过点(4，2). ①求f(x)的解析式； ②判断函数的单调性，并进行证明； ③若f(a+1)>f(2a-3)，求实数a的取值范围. 解　①因为f(x)=(m2-2m+1)为幂函数，所以m2-2m+1=1，所以m=2或m=0. 当m=2时，f(x)=，图象过点(4，2)； 当m=0时，f(x)=，图象不过点(4，2)，舍去. 综上，f(x)=. ②函数f(x)在[0，+∞)上为增函数.证明如下： 设x1，x2∈[0，+∞)，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=-=， 因为0≤x1<x2，则<0， 即f(x1)-f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在[0，+∞)上为增函数. ③函数f(x)在[0，+∞)上为增函数，由f(a+1)>f(2a-3)，则得≤a<4. 综上，实数a的取值范围为. 反思感悟　(1)比较幂值大小的方法 ①直接法：当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较. ②转化法：当幂的指数不相同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小. ③中间量法：常用0和1作为中间量. (2)解决幂函数的综合问题，应注意以下两点 ①充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等； ②注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想. 跟踪训练3　(1)比较大小：1.，1.，1.42. 解　∵y=在[0，+∞)上是增函数，且1.2<1.4， ∴1.<1.. 又∵y=1.4x为增函数，且<2， ∴1.<1.42，∴1.<1.<1.42. (2)已知幂函数y=x3m-9 (m∈N+)的图象关于y轴对称且在(0，+∞)上单调递减，求满足(a+1<(3-2a的a的取值范围. 解　因为函数y=x3m-9在(0，+∞)上单调递减， 所以3m-9<0， 解得m<3.又因为m∈N+，所以m=1或m=2. 因为函数的图象关于y轴对称， 所以3m-9为偶数，故m=1. 则原不等式可化为(a+1<(3-2a. 因为y=在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递减， 所以a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a， 解得<a<或a<-1. 故a的取值范围是. 1.知识清单： (1)幂函数的概念. (2)幂函数的图象. (3)幂函数的性质及其应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：幂函数与指数函数的区别；幂函数的奇偶性. 1.(多选)下列函数中是幂函数的是(　　) A.y= B.y=4x2 C.y=2x+1 D.y= 答案　AD 解析　　幂函数是形如y=xα(α为常数)的函数，选项A是α=-1的情形，D是α=-的情形，所以A和D是幂函数；选项B中x2的系数是4，不是幂函数；易知选项C不是幂函数. 2.设α∈，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为(　　) A.1，3 B.-1，1 C.-1，3 D.-1，1，3 答案　A 解析　可知当α=-1，1，3时，y=xα为奇函数， 又因为y=xα的定义域为R，则α=1或α=3. 3.如图，函数y=，y=x，y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)的解析式可能是(　　) A.f(x)=x2 B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)=x-2 答案　B 解析　因为幂函数f(x)=xα的图象过④⑧部分， 所以f(x)=xα在(0，+∞)上单调递减， 所以α<0， 又易知当x=2时，f(x)>，故B可能符合题意. 4.已知幂函数f(x)的图象过点，若f(3-2m)<1，则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞，1) B. C.(-∞，1)∪ D.(-∞，1)∪ 答案　D 解析　设f(x)=xα， 因为幂函数f(x)的图象过点， 所以2α=，即α=-1，所以f(x)=x-1=， 于是不等式f(3-2m)<1可转化为<1， 即<0， 所以(2m-2)(3-2m)<0，即m>或m<1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2，4)，则f等于(　　) A. B. C.- D.2 答案　B 解析　幂函数f(x)=xα的图象经过点(2，4)， 则2α=4，解得α=2，∴f(x)=x2， ∴f==. 2.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，+∞)上单调递减的函数是(　　) A.y=x-2 B.y=x-1 C.y=x2 D.y= 答案　A 解析　所给选项都是幂函数，其中y=x-2和y=x2是偶函数，y=x-1和y=不是偶函数，故排除选项B，D；又y=x2在区间(0，+∞)上单调递增，故选项C不符合题意，y=x-2在区间(0，+∞)上单调递减，故选项A符合题意. 3.函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) 答案　B 解析　y=的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y=-1的图象可看作由y=的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图象所示)，将y=-1的图象关于x轴对称后即为选项B中的图象. 4.设a=40.4，b=30.8，c=log30.8，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 答案　B 解析　a=40.4=20.8<30.8=b，且b>a>0，c=log30.8<0，故c<a<b. 5.幂函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0，+∞)上为增函数，则实数m的值为(　　) A.-2 B.0或2 C.0 D.2 答案　D 解析　因为f(x)是幂函数，所以m2-2m+1=1， 解得m=0或m=2， 当m=0时，f(x)=x-1在(0，+∞)上为减函数， 不符合题意； 当m=2时，f(x)=x3在(0，+∞)上为增函数， 符合题意，所以m=2. 6.(多选)若函数f(x)=xα，则(　　) A.f(x)的图象经过点(0，0)和(1，1) B.当f(x)的图象经过点(-1，-1)时，f(x)为奇函数 C.当f(x)的图象经过点(-1，1)时，f(x)为偶函数 D.当α>0时，存在f(x)使得f()<f() 答案　BC 解析　根据幂函数的图象和性质可知，当α<0时，幂函数不经过点(0，0)，A错误； 当f(x)的图象经过点(-1，-1)时，f(-1)=(-1)α=-1， 所以当α>0时，f(x)的定义域为R，当α<0时，f(x)的定义域为，都关于坐标原点对称， 又f(-x)=(-x)α=(-1)αxα=-xα=-f(x)， 所以f(x)为奇函数，B正确； 当f(x)的图象经过点(-1，1)时，f(-1)=(-1)α=1， 所以当α>0时，f(x)的定义域为R，当α<0时，f(x)的定义域为，都关于坐标原点对称， 又f(-x)=(-x)α=(-1)αxα=xα=f(x)， 所以f(x)为偶函数，C正确； 当α>0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增，且>， 所以f()>f()，D错误. 7.(5分)已知函数f(x)=是R上的增函数，则实数a的值可以是　　　　.(写出一个满足题意的a即可)  答案　2(答案不唯一，只要在区间[1，3)上即可) 解析　由条件得解得1≤a<3. 8.(5分)已知α∈，若幂函数y=xα的值域与定义域相同，则α的取值集合为　　　　.  答案　 解析　幂函数的定义域和值域相同时，α的值可以是-1，，1，3， 故α的取值集合为. 9.(10分)已知幂函数f(x)=x9-3m(m∈N+)的图象关于原点对称，且在R上单调递增. (1)求f(x)的解析式；(5分) (2)求满足f(a+1)+f(3a-4)<0的a的取值范围.(5分) 解　(1)由幂函数f(x)=x9-3m(m∈N+)的图象关于原点对称，且在R上单调递增，可得9-3m>0， 解得m<3，m∈N+，可得m=1或m=2， 若m=1，则f(x)=x6，图象不关于原点对称，舍去； 若m=2，则f(x)=x3，图象关于原点对称，且在R上单调递增，成立.则f(x)=x3. (2)由(1)可得f(x)是奇函数，且在R上单调递增， 由f(a+1)+f(3a-4)<0， 可得f(a+1)<-f(3a-4)=f(4-3a)， 则a+1<4-3a，解得a<. 10.(10分)已知幂函数g(x)过点，且f(x)=x2+ag(x). (1)求g(x)的解析式；(4分) (2)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由.(6分) 解　(1)设幂函数的解析式g(x)=xα(α为常数). 因为幂函数g(x)过点， 所以2α=，解得α=-1，所以g(x)=. (2)由(1)得f(x)=x2+. ①当a=0时，f(x)=x2. 由于f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，可知f(x)为偶函数. ②当a≠0时，由于f(-x)=(-x)2+=x2-≠x2+=f(x)，且f(-x)=(-x)2+=x2-≠-=-f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数. 综上，当a=0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数. 11.若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数，且其图象过点(2，4)，则函数g(x)= loga(x+m)的单调递增区间为(　　) A.(-2，+∞) B.(1，+∞) C.(-1，+∞) D.(2，+∞) 答案　B 解析　由题意得m+2=1， 解得m=-1， 则f(x)=xa，将(2，4)代入函数的解析式得， 2a=4，解得a=2， 故g(x)=loga(x+m)=log2(x-1)， 令x-1>0，解得x>1， 故g(x)的单调递增区间为(1，+∞). 12.已知点(m，27)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上，设a=f(log4)，b=f(ln 3)，c=f，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c<a<b B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 答案　C 解析　点(m，27)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上，则有 解得即f(x)=x3，则f(x)在R上单调递增. 由0=log41<log4<log42=，ln 3>ln e=1，<=<1， 则log4<<ln 3， 所以f(log4)<f<f(ln 3)， 即a<c<b. 13.(多选)已知实数a，b满足等式=，则下列关系式中可能成立的是(　　) A.0<b<a<1 B.-1<a<b<0 C.1<a<b D.a=b 答案　ACD 解析　画出y=与y=的图象(如图)，设==m，作直线y=m. 由图象知，若m=0或m=1，则a=b；若0<m<1，则0<b<a<1；若m>1，则1<a<b.故其中可能成立的是ACD. 14.(5分)不等式(2x+1<(x-3的解集为　　　　　　.  答案　 解析　幂函数f(x)==的定义域为R，且在[0，+∞)上单调递增， 又f(-x)===f(x)， 则f(x)为偶函数， 所以f(x)在(-∞，0)上单调递减， 则由不等式(2x+1<(x-3可得|2x+1|<|x-3|， 整理得3x2+10x-8<0， 即(3x-2)(x+4)<0， 解得-4<x<， 则不等式的解集为. 15.(多选)若a>b>1>c>0>d，则下列不等式不成立的是(　　) A.ad>bd B.dca<dba C.ac>bc D.b<d 答案　ABD 解析　∵d<0，∴幂函数y=xd在(0，+∞)上单调递减， 又∵a>b>1，∴ad<bd，故A不成立； ∵a>0，∴幂函数y=xa在(0，+∞)上单调递增， 又∵b>c>0，∴ba>ca， 又∵d<0，∴dba<dca，故B不成立； ∵c>0，∴幂函数y=xc在(0，+∞)上单调递增， 又∵a>b>1，∴ac>bc，故C成立； ∵a>b>1，∴>1， ∴幂函数y=在(0，+∞)上单调递增， 又∵b>c>0，∴>>0， 又∵b>0>d，∴b>0，d<0， ∴b>d，故D不成立. 16.(12分)若函数f(x)=(m2-3m+3)为幂函数，且在(0，+∞)上单调递减. (1)求实数m的值；(4分) (2)若函数g(x)=x-f(x)，且x∈(0，+∞)， ①判断函数g(x)的单调性，并证明；(4分) ②求使不等式g(2t-1)<g(t)成立的实数t的取值范围.(4分) 解　(1)由题意知m2-3m+3=1，解得m=1或m=2， 当m=1时，幂函数f(x)=x-1，此时幂函数在(0，+∞)上单调递减，符合题意； 当m=2时，幂函数f(x)=x4，此时幂函数在(0，+∞)上单调递增，不符合题意； 所以实数m的值为1. (2)①g(x)=x-f(x)=x-，g(x)在区间(0，+∞)上单调递增.证明如下： 任取0<x1<x2， 则g(x1)-g(x2)=- =(x1-x2)- =(x1-x2)， 由0<x1<x2可得x1-x2<0，1+>0， 则g(x1)-g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)， 故g(x)在区间(0，+∞)上单调递增. ②由①知，g(x)在区间(0，+∞)上单调递增， 又由g(2t-1)<g(t)可得 解得<t<1，故实数t的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $