第4章 §4.4 幂函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

学习目标　1.掌握幂函数的概念.(重点)2.掌握幂函数y=xα的图象与性质.(重点)3.会根据幂函数的单调性比较幂值的大小.(难点)

导语

同学们，我们说要想学好数学，就要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积.《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了明清时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂.清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念.

一、幂函数的概念

问题1　函数y=是指数函数吗？为什么？

提示　不是，自变量x的位置在底数位置，不符合指数函数定义.

知识梳理　幂函数的定义

一般地，函数y=xα称为幂函数，其中α为常数.

注意点：

(1)xα的系数为1.

(2)底数为自变量x.

(3)指数α为常数.

例1　(1)(多选)下列函数为幂函数的是(　　)

A.y=x3 B.y=

C.y=4x2 D.y=x

答案　AD

解析　B项为指数函数；C中的函数的系数不为1；A，D为幂函数.

(2)已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数，则m=　　　，n=　　　　. 

答案　-3或1　

解析　由题意得

解得或

所以m=-3或1，n=.

反思感悟　幂函数的判断方法

判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量x，③幂的系数为1.形如y=(3x)α，y=2xα，y=xα+5，…形式的函数都不是幂函数.

跟踪训练1　(1)已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数，则a+b等于(　　)

A.2 B.1 C. D.0

答案　A

解析　因为f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数，

所以a=1，-b+1=0，

即a=1，b=1，则a+b=2.

(2)点A(4，2)在幂函数f(x)的图象上，则f(f(9))=　　　　. 

答案　

解析　设f(x)=xa，则f(4)=4a=2⇒a=，故f(x)=，

所以f(9)==3，则f(f(9))=f(3)=.

二、幂函数的图象和性质

问题2　在同一平面直角坐标系中，你能画出幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=x-1的图象吗？

提示　

知识梳理

1.五个幂函数的图象

 

2.五个幂函数的性质

 

注意点：

(1)所有的幂函数在区间(0，+∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1).在第四象限内都没有图象.在第二、三象限内的图象可由函数的奇偶性画出.

(2)当α>0时，幂函数的图象都通过点(0，0)，在第一象限内，当0<α<1时，曲线上凸；当α>1时，曲线下凸，并且在区间[0，+∞)上是增函数.

(3)当α<0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限逼近x轴.

(4)在x=1右侧，幂函数y=xα的指数α从下向上看递增，即“指大图高”“指小图低”.