5.1.2 数据的数字特征-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

5.1.2　数据的数字特征

问题1.在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势，那么什么是众数、中位数呢？

提示：众数就是在一组数中出现次数最多的数；中位数就是将一组数按照从小到大的顺序排列，位于中间位置的数，如果中间位置有两个，则为这两个数的平均数．

问题2.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：

甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4

乙：9　5　7　8　7　6　8　6 　7 　7

如果你是教练，你应当如何对两位运动员的射击情况作出评价？

提示：通过甲、乙两人射击的平均成绩及方差或标准差的大小进行综合评价．

知识点一　最值与平均数

1．最值

一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．

2．平均数

如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn)．

这一公式在数学中常简记为＝i，其中的符号“∑”表示求和，读作“西格玛”，∑右边式子中的i表示求和的范围，其最小值与最大值分别写在∑的下面与上面．

求和符号∑具有以下性质：

(1)(xi＋yi)＝i＋i；(2)(kxi)＝ki；(3)＝nt.

[微提醒]　平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值．很多情况下，为了避免过于极端的值对结果影响太大等，会去掉最小值与最大值后再计算平均数．

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知识点二　中位数、百分位数、众数

1．中位数

一般地，有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称为这组数的中位数．(注意：一组数据的中位数是唯一的．)

2．百分位数

(1)定义

一组数的p%(p∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值．

直观来说，一组数的p%分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p%位置的数．

(2)求百分位数的步骤

为了方便，我们按如下方式确定p%分位数：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取x为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数．特别地，规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值).

[微提醒]　(1)中位数就是一个50%分位数．

(2)按照定义可知，p%分位数可能不唯一，也正因为如此，各种统计软件所得出的p%分位数可能会有差异．

(3)实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数(简称为第一四分位数)与75%分位数(简称为第三四分位数).

3．众数

一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．有些情形中，我们用众数来描述一组数据的中心位置．

[微提醒]　(1)众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有．如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数．

(2)众数一定是原数据中的数，百分位数和中位数都不一定是原数据中的数．

知识点三　极差、方差与标准差

1．极差

一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．不难看出，极差反映了一组数的变化范围，描述了这组数的离散程度．

[微提醒]　(1)极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．一般情况下，极差大，则数据较分散，数据的波动性大；极差小，则数据相对集中，数据的波动性小，极差的计算非常简单，但极差只考虑了两个极端值，而没有考虑中间的数据，因此很多时候，极差作为数据的离散程度的统计量，可靠性较差．

(2)极差的取值范围是[0，＋∞).

2．方差

如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为s2＝(xi－)2．

3．标准差

方差的算术平方根称为标准差．

如果一组数中，各数据值都相等，则标准差为0，表明数据没有波动，数据没有离散性；若各数据的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也较大，数据的离散程度较高．因此标准差描述了数据相对于平均数的离散程度．

[微提醒]　标准差与方差的统计意义

(1)标准差(方差)的取值范围是[0，＋∞)(标准差的大小不会超过极差).

(2)标准差(方差)描述了一组数据相对于平均数离散程度的大小．可以根据不同组数据的离散程度比较标准差(方差)的大小．

知识点四　平均数、方差的计算方法总结

1．平均数的计算方法

(1)定义法：当所给数据x1，x2，…，xn比较小，又比较分散时，一般选用公式＝i来计算．

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(2)新数据法：当所给的一组数据都在某一常数a的附近波动时，一般选用简单化公式xi＝a＋xi′，其中常数a通常取接近于这组数据的平均数的较“整”的数，先计算′＝i′＝(xi