5.1.2 数据的数字特征-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦数据的数字特征核心知识点，系统梳理集中趋势参数（平均数、中位数、众数）、离散程度参数（极差、方差、标准差）及百分位数的统计含义，衔接初中已学内容，构建从描述数据集中到离散程度的完整知识支架。 资料以问题导思（如射击运动员成绩评价）驱动学习，通过新知构建、自主检测与合作探究，引导学生用数学眼光观察数据，在计算与推理中培养数学思维，提升数据分析素养。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固知识，查漏补缺。

5.1.2　数据的数字特征 知识层面 1.理解集中趋势参数(平均数、中位数、众数)的统计含义.2.理解离散程度参数(标准差、方差、极差)的统计含义.3.理解百分位数的统计含义． 素养层面 通过求数据的数字特征，提升数学运算素养；借助数据的数字特征的求解，培养数据分析素养． 问题1.在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势，那么什么是众数、中位数呢？ 提示：众数就是在一组数中出现次数最多的数；中位数就是将一组数按照从小到大的顺序排列，位于中间位置的数，如果中间位置有两个，则为这两个数的平均数． 问题2.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4 乙：9　5　7　8　7　6　8　6 　7 　7 如果你是教练，你应当如何对两位运动员的射击情况作出评价？ 提示：通过甲、乙两人射击的平均成绩及方差或标准差的大小进行综合评价． 知识点一　最值与平均数 1．最值 一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示． 2．平均数 如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn)． 这一公式在数学中常简记为＝i，其中的符号“∑”表示求和，读作“西格玛”，∑右边式子中的i表示求和的范围，其最小值与最大值分别写在∑的下面与上面． 求和符号∑具有以下性质： (1)(xi＋yi)＝i＋i；(2)(kxi)＝ki；(3)＝nt. [微提醒]　平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值．很多情况下，为了避免过于极端的值对结果影响太大等，会去掉最小值与最大值后再计算平均数． 学生用书第50页 知识点二　中位数、百分位数、众数 1．中位数 一般地，有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称为这组数的中位数．(注意：一组数据的中位数是唯一的．) 2．百分位数 (1)定义 一组数的p%(p∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值． 直观来说，一组数的p%分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p%位置的数． (2)求百分位数的步骤 为了方便，我们按如下方式确定p%分位数：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取x为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数．特别地，规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值). [微提醒]　(1)中位数就是一个50%分位数． (2)按照定义可知，p%分位数可能不唯一，也正因为如此，各种统计软件所得出的p%分位数可能会有差异． (3)实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数(简称为第一四分位数)与75%分位数(简称为第三四分位数). 3．众数 一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．有些情形中，我们用众数来描述一组数据的中心位置． [微提醒]　(1)众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有．如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数． (2)众数一定是原数据中的数，百分位数和中位数都不一定是原数据中的数． 知识点三　极差、方差与标准差 1．极差 一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．不难看出，极差反映了一组数的变化范围，描述了这组数的离散程度． [微提醒]　(1)极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．一般情况下，极差大，则数据较分散，数据的波动性大；极差小，则数据相对集中，数据的波动性小，极差的计算非常简单，但极差只考虑了两个极端值，而没有考虑中间的数据，因此很多时候，极差作为数据的离散程度的统计量，可靠性较差． (2)极差的取值范围是[0，＋∞). 2．方差 如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为s2＝(xi－)2． 3．标准差 方差的算术平方根称为标准差． 如果一组数中，各数据值都相等，则标准差为0，表明数据没有波动，数据没有离散性；若各数据的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也较大，数据的离散程度较高．因此标准差描述了数据相对于平均数的离散程度． [微提醒]　标准差与方差的统计意义 (1)标准差(方差)的取值范围是[0，＋∞)(标准差的大小不会超过极差). (2)标准差(方差)描述了一组数据相对于平均数离散程度的大小．可以根据不同组数据的离散程度比较标准差(方差)的大小． 知识点四　平均数、方差的计算方法总结 1．平均数的计算方法 (1)定义法：当所给数据x1，x2，…，xn比较小，又比较分散时，一般选用公式＝i来计算． 学生用书第51页 (2)新数据法：当所给的一组数据都在某一常数a的附近波动时，一般选用简单化公式xi＝a＋xi′，其中常数a通常取接近于这组数据的平均数的较“整”的数，先计算′＝i′＝(xi－a)，则＝a＋′. (3)频数平均数法(也称为加权平均数法)：在给定的n个数据中，如果x1出现了f1次，x2出现了f2次，…，xk出现了fk次，则一般选用＝ifi(其中i＝n)来计算平均数． 2．方差的计算方法 (1)定义法：s2＝(xi－)2. (2)简化法：s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]. 1．已知一组数据为－3，5，7，x，11，且这组数据的众数为5，那么该组数据的中位数是(　　) A．7 B．5 C．6 D．11 答案：B 解析：由这组数据的众数为5，可知x＝5.把这组数据由小到大排列为－3，5，5，7，11，可知中位数为5. 2．某同学的6次数学测试成绩(满分100分)分别为：78，83，83，85，91，90，给出关于该同学数学成绩的以下说 法：①最大值为91；②中位数为83；③众数为83；④平均数为85.其中正确说法的所有序号是(　　) A．①② B．③④ C．①③④ D．①③ 答案：C 解析：由题中数据可知，最大值为91，故①正确；中位数为84，故②错误；众数为83，故③正确；平均数为85，故④正确．故选C. 3．(多选)下列对一组数据的分析，说法正确的是(　　) A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C．数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定 D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定 答案：ACD 解析：极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中．方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差、标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定．方差、标准差较小的数据波动较小，稳定程度较高．平均数越小，说明数据整体上偏小，不能反映数据稳定与否．故选ACD. 4．某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4，9.4，9.4，9.6，9.7，则该射手成绩的极差和方差分别是(　　) A．0.2，0.127 B．0.3，0.016 C．9.4，0.080 D．0.3，0.216 答案：B 解析：由题意得，该射手在一次训练中五次射击的成绩的极差为9.7－9.4＝0.3，平均值为×(9.4＋9.4＋9.4＋9.6＋9.7)＝9.5，所以该射手成绩的方差s2＝×[(9.4－9.5)2×3＋(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝0.016.故选B. 5．数据1，2，2，3，5，6，6，7，8，8的40%分位数为________，75%分位数为________． 答案：4　7 解析：因为40%×10＝4，所以40%分位数为＝4；因为75%×10＝7.5，所以75%分位数为第8个数据7. 题型一　众数、中位数、平均数的应用 例1　(1)16名参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8名进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则根据其他15名同学成绩的下列数字特征中，能使他得出结论的是(　　) A．平均数　 B．众数　　 C．中位数　　 D．方差 (2)某鞋店试销一种新女鞋，销售情况如下表： 鞋号 34 35 36 37 38 39 40 41 数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2 如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是(　　) A．平均数　　　　　　 B．众数 C．中位数 D．方差 [思路点拨]　掌握中位数、众数、平均数的概念是解题的关键． 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8名，所以只要知道其他15名同学的成绩中是不是有8名高于他，也就是把其他15名同学的成绩排列后看第8名的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，第8名的成绩就是这15名同学成绩的中位数． (2)鞋店经理最关心的是哪种鞋号的鞋销量最大，即数据的众数． 学生用书第52页 中位数、众数、平均数的应用要点 中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需根据实际需要选择使用． (1)求中位数的关键是将数据排序，一般按照从小到大的顺序排列．中位数仅与数据的排列位置有关，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述数据的集中趋势． (2)确定众数的关键是统计各数据出现的频数，频数最大的数据就是众数．当一组数据中有数据多次重复出现时，众数往往更能反映数据的集中趋势． (3)平均数与每一个数据都有关，受个别极端数据(比其他数据大很多或小很多的数据)的影响较大，因此若存在少量极端数据，平均数不能反映数据的集中趋势，这时往往用众数或中位数反映该组数据的集中趋势．有时也采用剔除最大值与最小值后计算所得的平均数反映该组数据的集中趋势．　　 对点练1.(1)气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数，单位：℃). ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24； ③丙地：5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8. 其中肯定进入夏季的地区有(　　) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ (2)已知一组数据的平均数是x，众数是m，中位数是n，将每个数据加上3后得到一组新数据，则这组新数据的平均数、众数、中位数分别为________________________． 答案：(1)B　(2)x＋3，m＋3，n＋3 解析：(1)①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据必为：22，22，24，x，y(x＞24，y＞24)(x∈Z，y∈Z且x≠y)，其连续5天的日平均温度均不低于22，①对； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24. 当5个数据为19，20，27，27，27可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定； ③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，假设取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22.如22，25，25，26，32 这组数据的均值为26，方差为10.8，但是进一步扩大方差就会超过10.8，故③对； 则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地．故选B. (2)根据平均数的计算公式可得平均数变为x＋3.因为原众数为m，原中位数为n，每个数据加上3后，m会变为m＋3，n会变为n＋3，所以众数变为m＋3，中位数变为n＋3. 题型二　百分位数 例2　在某中学高一年级的女生中，抽取27名女生的身高统计数据如下(单位：cm)： 163．0 164.0 161.0 157.0 162.5 165.0 158.0 155.0 164．0 162.0 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170．0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 163．0 157.0 172.0 试分别计算该组数据的25%分位数，50%分位数，75%分位数． [思路点拨]　先从小到大排序，再依据百分数公式求即可． 解：把27个数据按从小到大排序，如下： 148．0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157．0 158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162．5 163.0 163.0 164.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171．0 172.0 172.0 由25%×27＝6.75，50%×27＝13.5，75%×27＝20.25，可知该组数据的25%分位数，50%分位数，75%分位数分别为第7，14，21个数据，分别为155.5，161.0，164.0. 计算一组n个数据的p%分位数的步骤 　　 对点练2.(1)样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是________，第75百分位数是________． (2)一组数据按从小到大的顺序排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据的中位数是16，75%分位数是20，则x＝________，y＝________． 答案：(1)5　7　(2)15　18 解析：(1)样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，从小到大排列为：0，1，2，3，4，6，6，7，8，9，10×50%＝5，所以该组数据的第50百分位数是＝5，因为10×75%＝7.5，第75百分位数是7. (2)因为中位数是16，所以＝16，解得x＝15.因为8×75%＝6，所以75%分位数是＝20，解得y＝18. 题型三　平均数、方差、标准差的计算及应用 例3　(1)若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的方差是________． 学生用书第53页 (2)为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，统计每个班级参加该小组的人数得到5个不同的数据，已知这组数据的平均数为7，方差为4，则这组数据中的最大值为________． [思路点拨]　(1)已知的是40个数据的平方和与平均数，因此计算方差用到公式s2＝(x＋x＋…＋x)－2. (2)利用平均数、方差公式建立5个数据的关系式，再讨论最大值的情况． 答案：(1)　(2)10 解析：(1)这组数据的方差s2＝(x＋x＋…＋x)－2＝－＝. (2)设这组数据为x1，x2，x3，x4，x5，则平均数＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)÷5＝7，方差s2＝[(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2]÷5＝4.从而有x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝35　①，(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20　②.由题意可知，数据均为整数，若最大值为11，不妨设x5＝11，则②式变为(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＝4，由于这组数据互不相同，这是不可能成立的．若这组数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时数据中的最大值为10. 1．计算标准差的五个步骤 第一步：算出样本数据的平均数； 第二步：算出每个样本数据与样本数据平均数的差：xi－(i＝1，2，3，…，n)； 第三步：算出(2)中xi－(i＝1，2，3，…，n)的平方； 第四步：算出(3)中n个平方数的平均数，即为样本方差； 第五步：算出(4)中方差的算术平方根，即为样本标准差． 2．标准差(方差)的两个作用 (1)标准差(方差)较大，数据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小． (2)在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策．在平均值相等的情况下，比较方差或标准差来确定稳定性．　　 对点练3.(多选)为唤起学生爱护地球、保护家园的意识，加强对节能减排的宣传，进一步营造绿色和谐的校园环境，树人中学决定举办环保知识竞赛．现有甲、乙、丙、丁四个班级参加，每个班级各派10位同学参赛，每位同学需要回答10道题，每题回答正确得1分，回答错误得0分．若规定总得分达到70分且没有同学得分低于5分的班级为“优胜班级”，则根据以下甲、乙、丙、丁各班参赛同学的得分数据信息，能判断该班一定为“优胜班级”的是(　　) A．甲班同学平均数为8，众数为8 B．乙班同学平均数为8，方差为4 C．丙班同学平均数为7，极差为3 D．丁班同学平均数为7，标准差为0 答案：CD 解析：若甲班同学得分依次为：4、8、8、8、8、8、8、9、9、10，满足甲班同学平均数为8，众数为8，但此时甲班同学有低于5分的，所以不是“优胜班级”，故A不正确；若乙班同学得分依次为：4、6、6、8、8、8、10、10、10、10，满足乙班同学平均数为8，方差为4，但此时乙班同学有低于5分的，所以不是“优胜班级”，故B不正确；丙班同学平均数为7，则总得分为70分，假设有得4分的同学，则根据极差为3，则得分最高为7分，那么平均数肯定不为7，所以10位同学中没有低于5分的，符合“优胜班级”的定义，故C正确；丁班同学平均数为7，标准差为0，则丁班10位同学都得7分，总分是70分且没有同学得分低于5分的，符合“优胜班级”的定义，故D正确．故选CD. 1．(2024·九省适应性测试)样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为(　　) A．14　　　　　　　 B．16 C．18 D．20 答案：B 解析：将这些数据从小到大排列可得10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16.故选B. 2．(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．数据2，4，6，8的中位数是4，6 B．数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4 C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据 D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是 答案：BCD 解析：数据2，4，6，8的中位数为＝5，显然A错误，B、C、D正确．故选BCD. 3．在一次歌手大赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为(　　) A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016 答案：D 解析：＝＝9.5，s2＝×(0.12×4＋0.22)＝0.016.故选D. 4．900，920，920，930，930的20%分位数是________． 答案：910 解析：因为5×20%＝1，所以该组数据的20%分位数是＝910. 学科网（北京）股份有限公司 $