第4章 习题课 指数型函数、对数型函数的性质的综合（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

习题课　指数型函数、对数型函数的性质的综合

学习目标　1.会求指数型函数、对数型函数的单调性、值域等问题.(重难点)2.掌握判断指数型函数、对数型函数单调性的方法.(重点)

一、指数型函数的单调性问题

例1　判断函数f(x)=的单调性.

解　令u=x2-2x，

易知u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，

又∵y=在R上单调递减，

∴f(x)=在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减.

延伸探究1　把本例的函数改为“f(x)=”，求其单调区间.

解　方法一　函数f(x)=的定义域是R.

令u=-x2+2x，则y=2u.

当x∈(-∞，1)时，函数u=-x2+2x单调递增，

当x∈(1，+∞)时，函数u=-x2+2x单调递减，

又函数y=2u在R上是增函数，

所以函数f(x)=在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，

综上，函数f(x)=的单调递减区间是(1，+∞)，单调递增区间是(-∞，1).

方法二　f(x)==，本题转化为例1的做法.

延伸探究2　若本例不变，求f(x)的值域.

解　因为u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，

所以y=，u∈[-1，+∞)，

所以0<≤=2，

所以函数f(x)的值域为(0，2].

反思感悟　(1)求指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y=f(u)，u=φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y=f(φ(x))的单调性.

(2)关于指数型函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y=au，u=f(x)复合而成.

二、对数型函数的单调性问题

例2　(1)求函数y=lo(x2-3x+2)的单调区间.

解　由x2-3x+2>0得x<1或x>2，即函数的定义域为(-∞，1)∪(2，+∞).

令t=x2-3x+2，

则t=x2-3x+2=-，当x∈(2，+∞)时，t=x2-3x+2单调递增，当x∈(-∞，1)时，t=x2-3x+2单调递减.

又y=lot为减函数，

∴当x∈(2，+∞)时，原函数单调递减；当x∈(-∞，1)时，原函数单调递增.

故函数y=lo(x2-3x+2)的单调递增区间为(-∞，1)，单调递减区间为(2，+∞).

(2)求函数y=(log0.4x)2-2log0.4x+2的单调区间.

解　令t=log0.4x，则它在(0，+∞)上单调递减.

y=t2-2t+2=(t-1)2+1在(1，+∞)上单调递增，在(-∞，1)上单调递减.

由t=log0.4x>1得0<x<0.4；

由t=log0.4x<1得x>0.4，

故所求函数的单调递增区间为(0.4，+∞)，单调递减区间为(0，0.4).

反思感悟　函数单调性的判定方法与策略

(1)定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论.

(2)图象法：如果函数f(x)是以图象形式给出或函数f(x)的图象易作出，结合图象可求得函数的单调区间.

(3)y=f(g(x))型函数：先将函数y=f(g(x))分解为y=f(t)和t=g(x)，再讨论这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判定.

跟踪训练1　求函数y=lo(1-x2)的单调区间.

解　由题意知1-x2>0，∴-1<x<1.

令t=1-x2，x∈(-1，1)，

则当x∈(-1，0)时，函数t=1-x2单调递增，

又y=lot为减函数，

∴当x∈(-1，0)时，y=lo(1-x2)单调递减.

同理，当x∈(0，1)时，y=lo(1-x2)单调递增.

故y=lo(1-x2)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(-1，0).

三、函数的综合应用

例3　求函数f(x)=log2(4x)·lo，x∈的值域.

解　f(x)=log2(4x)·lo

=(log2x+2)·

=-[(log2x)2+log2x-2].

设log2x=t.

∵x∈，∴t∈[-1，2]，

则有y=-(t2+t-2)，t∈[-1，2]，

易得二次函数图象的对称轴为t=-，

∴函数y=-(t2+t-2)在上单调递增，在上单调递减，

∴当t=-时，ymax=.当t=2时，ymin=-2.

∴f(x)的值域为.

反思感悟　解决指数型和对数型函数的值域问题时，一般先根据指数或对数的运算性质对原函数进行化简，再利用换元法转化为二次函数求值域，这里需注意换元后新元的范围.

跟踪训练2　求函数y=4x-2x+1-3的值域和单调区间.

解　函数y=4x-2x+1-3=(2x)2-2×2x-3，设t=2x，因为函数的定义域为R，所以t∈(0，+∞).

则有y=t2-2t-3=(t-1)2-4≥-4，

所以函数y=4x-2x+1-3的值域为[-4，+∞).

因为y=t2-2t-3在(0，1]上单调递减，此时由0<t=2x≤1得x≤0.

又指数函数t=2x在(-∞，0]上单调递增，

所以函数y=4x-2x+1-3的单调递减区间为(-∞，0].

同理，因为y=t2-2t-3在[1，+∞)上单调递增，此时由t≥1得x≥0.

又指数函数t=2x在[0，+∞)上单调递增，

所以函数y=4x-2x+1-3的单调递增区间为[0，+∞).

1.知识清单：