第4章 习题课 指数型函数、对数型函数的性质的综合（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学指数型函数、对数型函数性质的综合应用，系统梳理单调性判断、值域求解的核心知识点，通过基础例题（如指数型函数单调性分析）、延伸探究（如换元法分解复合函数）及综合应用（如对数型函数与二次函数结合求值域），搭建递进式学习支架。 该资料以换元法为核心方法，将复合函数分解为基本函数，结合“同增异减”原则培养学生数学思维中的推理能力与抽象能力。反思感悟环节提炼方法规律，变式练习（如延伸探究2求值域）强化知识迁移，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固提升、查漏补缺。

习题课　指数型函数、对数型函数的性质的综合 学习目标　1.会求指数型函数、对数型函数的单调性、值域等问题.(重难点)2.掌握判断指数型函数、对数型函数单调性的方法.(重点) 一、指数型函数的单调性问题 例1　判断函数f(x)=的单调性. 解　令u=x2-2x， 易知u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 又∵y=在R上单调递减， ∴f(x)=在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减. 延伸探究1　把本例的函数改为“f(x)=”，求其单调区间. 解　方法一　函数f(x)=的定义域是R. 令u=-x2+2x，则y=2u. 当x∈(-∞，1)时，函数u=-x2+2x单调递增， 当x∈(1，+∞)时，函数u=-x2+2x单调递减， 又函数y=2u在R上是增函数， 所以函数f(x)=在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 综上，函数f(x)=的单调递减区间是(1，+∞)，单调递增区间是(-∞，1). 方法二　f(x)==，本题转化为例1的做法. 延伸探究2　若本例不变，求f(x)的值域. 解　因为u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1， 所以y=，u∈[-1，+∞)， 所以0<≤=2， 所以函数f(x)的值域为(0，2]. 反思感悟　(1)求指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y=f(u)，u=φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y=f(φ(x))的单调性. (2)关于指数型函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y=au，u=f(x)复合而成. 二、对数型函数的单调性问题 例2　(1)求函数y=lo(x2-3x+2)的单调区间. 解　由x2-3x+2>0得x<1或x>2，即函数的定义域为(-∞，1)∪(2，+∞). 令t=x2-3x+2， 则t=x2-3x+2=-，当x∈(2，+∞)时，t=x2-3x+2单调递增，当x∈(-∞，1)时，t=x2-3x+2单调递减. 又y=lot为减函数， ∴当x∈(2，+∞)时，原函数单调递减；当x∈(-∞，1)时，原函数单调递增. 故函数y=lo(x2-3x+2)的单调递增区间为(-∞，1)，单调递减区间为(2，+∞). (2)求函数y=(log0.4x)2-2log0.4x+2的单调区间. 解　令t=log0.4x，则它在(0，+∞)上单调递减. y=t2-2t+2=(t-1)2+1在(1，+∞)上单调递增，在(-∞，1)上单调递减. 由t=log0.4x>1得0<x<0.4； 由t=log0.4x<1得x>0.4， 故所求函数的单调递增区间为(0.4，+∞)，单调递减区间为(0，0.4). 反思感悟　函数单调性的判定方法与策略 (1)定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论. (2)图象法：如果函数f(x)是以图象形式给出或函数f(x)的图象易作出，结合图象可求得函数的单调区间. (3)y=f(g(x))型函数：先将函数y=f(g(x))分解为y=f(t)和t=g(x)，再讨论这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判定. 跟踪训练1　求函数y=lo(1-x2)的单调区间. 解　由题意知1-x2>0，∴-1<x<1. 令t=1-x2，x∈(-1，1)， 则当x∈(-1，0)时，函数t=1-x2单调递增， 又y=lot为减函数， ∴当x∈(-1，0)时，y=lo(1-x2)单调递减. 同理，当x∈(0，1)时，y=lo(1-x2)单调递增. 故y=lo(1-x2)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(-1，0). 三、函数的综合应用 例3　求函数f(x)=log2(4x)·lo，x∈的值域. 解　f(x)=log2(4x)·lo =(log2x+2)· =-[(log2x)2+log2x-2]. 设log2x=t. ∵x∈，∴t∈[-1，2]， 则有y=-(t2+t-2)，t∈[-1，2]， 易得二次函数图象的对称轴为t=-， ∴函数y=-(t2+t-2)在上单调递增，在上单调递减， ∴当t=-时，ymax=.当t=2时，ymin=-2. ∴f(x)的值域为. 反思感悟　解决指数型和对数型函数的值域问题时，一般先根据指数或对数的运算性质对原函数进行化简，再利用换元法转化为二次函数求值域，这里需注意换元后新元的范围. 跟踪训练2　求函数y=4x-2x+1-3的值域和单调区间. 解　函数y=4x-2x+1-3=(2x)2-2×2x-3，设t=2x，因为函数的定义域为R，所以t∈(0，+∞). 则有y=t2-2t-3=(t-1)2-4≥-4， 所以函数y=4x-2x+1-3的值域为[-4，+∞). 因为y=t2-2t-3在(0，1]上单调递减，此时由0<t=2x≤1得x≤0. 又指数函数t=2x在(-∞，0]上单调递增， 所以函数y=4x-2x+1-3的单调递减区间为(-∞，0]. 同理，因为y=t2-2t-3在[1，+∞)上单调递增，此时由t≥1得x≥0. 又指数函数t=2x在[0，+∞)上单调递增， 所以函数y=4x-2x+1-3的单调递增区间为[0，+∞). 1.知识清单： (1)指数型函数的单调性. (2)对数型函数的单调性. (3)函数的综合应用. 2.方法归纳：换元法. 3.常见误区：求对数型函数的单调性易忽视定义域. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知函数f(x)=是增函数，那么实数a的取值范围是(　　) A.(1，+∞) B.(3，+∞) C.(1，3) D.(1，3] 答案　D 解析　∵函数f(x)=是增函数， ∴a>1且a0≥3a-8， 解得1<a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]. 2.函数y=lo(-x2-2x+3)的单调递增区间是(　　) A.[-1，1) B.(-∞，-1) C.(-3，-1] D.(-1，+∞) 答案　A 解析　由题意，得要使函数y=lo(-x2-2x+3)有意义，则满足-x2-2x+3>0， 即x2+2x-3=(x+3)(x-1)<0， 解得-3<x<1， 即函数的定义域为(-3，1)， 令g(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4， 所以函数g(x)在区间(-3，-1]上单调递增，在区间[-1，1)上单调递减， 又函数y=lox在定义域上是减函数， 所以y=lo(-x2-2x+3)的单调递增区间为[-1，1). 3.若函数f(x)=loga(2-ax)(a>0且a≠1)在区间(1，3)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　 ) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为y=2-ax为减函数， 又f(x)=loga(2-ax)(a>0且a≠1)在区间(1，3)上单调递增，则0<a<1， 且当x∈(1，3)时，y=2-ax>0恒成立，所以2-3a≥0，解得a≤， 所以实数a的取值范围为. 4.设函数f(x)=，则f(x)的单调递增区间为　　　　.  答案　(-∞，1] 解析　设u=|x-1|，则y=. ∵y=是减函数，u=|x-1|在[1，+∞)上单调递增，在(-∞，1]上单调递减， ∴y=在(-∞，1]上单调递增. 因此y=的单调递增区间是(-∞，1]. 课时对点练 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共35分) 1.函数f(x)=loga[(a-1)x+1]在定义域上(　　) A.是增函数 B.是减函数 C.先增后减 D.先减后增 答案　A 解析　令t=(a-1)x+1，则y=logat，当a>1时，y=logat和t=(a-1)x+1都是增函数，所以f(x)是增函数； 当0<a<1时，y=logat和t=(a-1)x+1都是减函数，所以f(x)是增函数. 综上，函数f(x)在定义域上是增函数. 2.函数f(x)=lg(x2+2x-3)的单调递减区间为(　　) A.(-∞，-1) B.(-∞，-3) C.(-1，1) D.(-3，-1) 答案　B 解析　由x2+2x-3>0，解得x>1或x<-3，即f(x)的定义域为(-∞，-3)∪(1，+∞). 令t=x2+2x-3，易知当x<-3时，t=x2+2x-3单调递减；当x>1时，t=x2+2x-3单调递增， 又y=lg t为增函数，所以f(x)=lg(x2+2x-3)的单调递减区间为(-∞，-3). 3.函数y=3|x+1|的单调递增区间是(　　) A.(-∞，-1) B.(-∞，1) C.(-1，+∞) D.(1，+∞) 答案　C 解析　设u=|x+1|，则y=3u，因为函数y=3u在R上单调递增，所以y=3|x+1|的单调递增区间为函数u=|x+1|的单调递增区间，而函数u=|x+1|的单调递增区间为(-1，+∞)，所以y=3|x+1|的单调递增区间为(-1，+∞). 4.函数f(x)=-+1在[-1，2]上的最小值是(　　) A.1 B. C. D.3 答案　C 解析　由题意，得函数f(x)=-+1=-+1，设t=，因为x∈[-1，2]， 所以t=∈， 则函数y=t2-t+1=+， 当t=时，ymin=. 5.函数f(x)=(log2x)2-log2x3+4，x∈(1，4]的值域为(　　) A.[2，4) B. C. D. 答案　C 解析　令t=log2x，x∈(1，4]， 则t∈(0，2]， ∴原函数化为y=t2-3t+4，t∈(0，2]， ∴当t=时， y有最小值为-3×+4=； 当t=0时，y有最大值为4，但取不到. ∴f(x)的值域为. 6.函数f(x)=的单调递增区间为(　　) A.(-∞，2) B.[1，2] C.(2，3) D.(2，+∞) 答案　B 解析　由-x2+4x-3≥0得1≤x≤3， 即函数f(x)的定义域为[1，3]， 令u=， 因为y=2u为增函数， 且u==的单调递增区间为[1，2]， 所以f(x)=的单调递增区间为[1，2]. 7.若函数f(x)=lo(-x2+4x+5)在区间(3m-2，m+2)上单调递增，则实数m的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由-x2+4x+5>0，得-1<x<5，所以函数f(x)的定义域为(-1，5). 令u=-x2+4x+5=-(x-2)2+9，故u在(2，5)上单调递减. 且f(u)=lou为减函数， ∴f(x)=lo(-x2+4x+5)的单调递增区间为(2，5). 由题意得解得≤m<2. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 8.设函数f(x)=loga|x+1|在区间(-1，0)上有f(x)>0，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　　) A.在区间(-∞，0)上单调递增 B.在区间(-∞，-1)上单调递增 C.在区间(-∞，0)上单调递减 D.在区间(-∞，-1)上单调递减 答案　ACD 解析　当-1<x<0，即0<x+1<1时， f(x)=loga|x+1|>0， ∴0<a<1，令u=|x+1|>0，x≠-1， 则u=|x+1|在(-∞，-1)上单调递减， 在(-1，+∞)上单调递增， 又函数y=logau为减函数， ∴f(x)在(-∞，-1)上单调递增，在(-1，+∞)上单调递减. 9.关于函数f(x)=lg(x≠0)，有下列结论，其中正确的是(　　) A.其图象关于y轴对称 B.f(x)的最小值是lg 2 C.当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数 D.f(x)的单调递增区间是(-1，0)，(1，+∞) 答案　ABD 解析　因为f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， f(-x)=lg=f(x)， 所以f(x)是偶函数，故A正确； 令t==|x|+≥2，又y=lg t是增函数， 则y=lg t≥lg 2，所以f(x)的最小值为lg 2，故B正确； 当x>0时，t==x+，根据对勾函数可得 t=x+的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，+∞)，又y=lg t是增函数， 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故C错误； 根据偶函数的对称性，f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，0)上单调递增， 所以f(x)的单调递增区间是(-1，0)，(1，+∞)，故D正确. 10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2.已知函数f(x)=-，则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是(　　) A.g(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在R上是增函数 D.g(x)的值域是{-1，0，1} 答案　BC 解析　∵g(1)=[f(1)]===0， g(-1)=[f(-1)]= ==-1， ∴g(-1)≠g(1)，则g(x)不是偶函数，故A错误； ∵f(x)=-的定义域为R， f(-x)+f(x)=+-1 =-1=0， ∴f(x)为奇函数，故B正确； ∵f(x)=-=-=-， 又y=2x在R上单调递增， ∴f(x)=-在R上是增函数，故C正确； ∵2x>0，∴1+2x>1，则0<<1， 可得-<-<. 即-<f(x)<， ∴g(x)=[f(x)]的值域为{-1，0}，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共10分) 11.已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数)，若f(x)在区间(-∞，1]上单调递减，则a的取值范围是　　　　.  答案　[1，+∞) 解析　因为函数f(x)=e|x-a|(a为常数)，若f(x)在区间(-∞，1]上单调递减， 则t=|x-a|在区间(-∞，1]上单调递减， 又函数t=|x-a|在区间(-∞，a]上单调递减， 所以(-∞，1]⊆(-∞，a]，故a≥1. 则a的取值范围是[1，+∞). 12.若y=loga(ax+3)(a>0，且a≠1)在区间(-1，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(1，3] 解析　因为y=loga(ax+3)(a>0，且a≠1)在区间(-1，+∞)上单调递增，知u=ax+3在区间(-1，+∞)上单调递增，且u>0，故y=logau关于u在(0，+∞)上单调递增， 所以解得1<a≤3. 故实数a的取值范围是(1，3]. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知函数f(x)=(a>0，且a≠1)是定义在R上的奇函数. (1)求a的值；(5分) (2)求函数f(x)的值域.(8分) 解　(1)∵f(x)是R上的奇函数， ∴f(0)=0，即=0， 解得a=2，经检验a=2符合题意. (2)由(1)知，f(x)===1-在R上单调递增， ∵2x+1>1，∴0<<2， ∴-2<-<0， ∴-1<1-<1， ∴函数f(x)的值域为(-1，1). 14.(14分)已知f(x)=log2是一个奇函数. (1)求f(x)的解析式和定义域；(7分) (2)试判断f(x)的单调性并求出f(x)的值域.(7分) 解　(1)因为函数f(x)=log2为奇函数， 则f(-x)=-f(x)，即log2=-log2=log2，可得=， 即(2+x)(2-x)=(a-x)(a+x)，即4-x2=a2-x2，所以a2=4，解得a=±2， 当a=-2时，因为=-1(x≠2)，此时函数f(x)无意义，故a=-2不符合题意； 当a=2时，f(x)=log2，符合题意， 所以f(x)=log2 ， 由>0得(2-x)(x+2)>0，解得-2<x<2，即函数f(x)的定义域为(-2，2). (2)f(x)=log2=log2=log2，令u=-1，x∈(-2，2)， 易知函数u=-1在(-2，2)上单调递减，又函数y=log2u为增函数， 故函数f(x)在(-2，2)上单调递减， 当-2<x<2时，0<x+2<4，则u=-1>0， 所以函数f(x)的值域为R. 学科网（北京）股份有限公司 $