专题4.2.3 对数函数的性质与图象（高效培优讲义）数学人教B版2019高一必修第二册

专题4.2.3 对数函数的性质与图象 教学目标 1．理解对数函数的概念，明确其定义域和底数限制且）； 2．掌握对数函数和时的图象特征及性质（定义域、值域、定点、单调性）； 3．能根据底数差异判断对数函数图象的位置规律（第一象限内底数自左向右递增） 教学重难点 重点：对数函数的概念及定义域；和时对数函数的图象和性质； 难点：理解对数函数与指数函数的反函数关系；根据底数大小判断对数函数图象的差异 知识点01 对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是______． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数______且______ 【即学即练】 1．下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 2．已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ． 知识点02 对数函数的图象及性质 1.对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 ______ 定点 过定点______ 单调性 是上的______函数 是上的______函数 2．当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐______，可得. 【即学即练】 1．函数（，且）恒过点（    ） A． B． C． D． 2．如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（    ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 题型01 对数函数的概念 【例1】下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【例2】若函数（，且）是对数函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-3】若函数为对数函数，则 ． 判断一个函数是对数函数必须是形如且)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量. 题型02 求对数函数的解析式或函数值 【例3】已知对数函数的图象过点，则 ． 【例4】已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 【变式2-1】若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为 ． 【变式2-2】若函数，，则 ． 【变式2-3】已知函数． (1)求函数的解析式； (2)解方程． 题型03 对数函数的定义域 【例5】函数的定义域是 . 【例6】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】函数的定义域是 ． 【变式3-2】已知集合，则P的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【变式3-3】“”是“函数的定义域为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 求对数函数定义域的注意事项：（1）真数大于零；（2）对数的底数大于零且不等于1. 题型04 对数函数的值域 【例7】函数的值域是 . 【例8】已知，函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】函数的定义域为，则值域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 对数型函数值域的求解技巧： （1）求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解． （2）形如型的函数值域求解常用换元法、配方法等解题技巧． 题型05 对数函数的图象 【例9】已知，，则函数的图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【例10】函数的图像是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】对，且的图象过定点，则点的坐标为 . 【变式5-2】已知对，且均有意义，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知函数（a，c为常数，其中，且）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是 ．（填序号） ①，；②，；③，；④，． 处理对数函数图象问题的3个注意点： （1）明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当趋近于0时，函数图象会越来越靠近轴，但永远不会与轴相交． （2）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数的取值范围是，还是 （3）牢记特殊点．对数函数且)的图象经过点： 题型06 对数（型）函数的单调性 【例11】函数的单调递增区间为 ． 【例12】已知函数在上单调递减，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】函数的单调递增区间是 ． 【变式6-2】已知函数，且在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知在R上是减函数．那么a的取值范围（   ） A． B． C． D． 求对数型函数单调区间的方法： (1)求形如的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由，先求定义域． (2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求解；②借助函数的性质，研究函数和在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定的单调性． 题型07 比较对数幂的大小 【例13】设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例14】函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】设，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】设，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】定义在上的函数满足，若在区间上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型08 解简单的对数不等式 【例15】不等式的解集为 . 【例16】已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】函数的定义域为 . 【变式8-2】已知函数，若，则的取值范围是 ． 【变式8-3】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 常见对数不等式的2种解法 （1）形如的不等式，借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分和两种情况讨论； （2）形如的不等式，应将化为以为底数的对数式的形式，再借助的单调性求解. 题型09 对数函数的分类讨论 【例17】已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【例18】已知（，且）． (1)判断的奇偶性； (2)若在区间内的最大值为2，求． 【变式9-1】函数在上的最大值与最小值的和为1，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【变式9-2】已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是 ． 【变式9-3】已知函数（，且）. (1)若，求实数的取值范围; (2)若函数在区间上最大值是最小值的2倍，求的值. 题型10 恒成立问题 【例19】已知函数. (1)当时，求的单调递减区间； (2)当在上恒成立，求的取值范围. 【例20】已知函数． (1)利用定义法判断的单调性； (2)若关于的不等式在恒成立，求正实数的取值范围． 【变式10-1】已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【变式10-2】已知函数，. (1)求实数a的值； (2)若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围. 【变式10-3】已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围. 一、单选题 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，且．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为6和11时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若函数的值域是，则实数取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．的图象关于对称 D．的值域为 8．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．不存在实数a，使的定义域为R B．时，函数为偶函数 C．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 D．函数一定有最小值 三、填空题 9．函数的定义域是 . 10．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 . 11．已知函数，若在上存在最小值，则a的取值范围是 . 四、解答题 12．函数，当时，求该函数的值域. 13．已知函数的图象过原点，且． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； 14．已知函数． (1)若的定义域为R，求m的取值范围； (2)若的值域为R，求m的取值范围． 15．已知函数是偶函数． (1)求的值； (2)若，，，不等式对任意恒成立，求的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2.3 对数函数的性质与图象 教学目标 1．理解对数函数的概念，明确其定义域和底数限制且）； 2．掌握对数函数和时的图象特征及性质（定义域、值域、定点、单调性）； 3．能根据底数差异判断对数函数图象的位置规律（第一象限内底数自左向右递增） 教学重难点 重点：对数函数的概念及定义域；和时对数函数的图象和性质； 难点：理解对数函数与指数函数的反函数关系；根据底数大小判断对数函数图象的差异 知识点01 对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 【即学即练】 1．下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 【答案】AC 【详解】形如（，且）的函数为对数函数， 对于A，由，且，可知，且，故A符合题意； 对于B，不符合题意； 对于C，符合题意； 对于D，不符合题意； 故选：AC. 2．已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ． 【答案】 【详解】由题可得，即， 因为，且，所以， 故函数解析式为． 故答案为：. 知识点02 对数函数的图象及性质 1.对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的增函数 2．当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 【即学即练】 1．函数（，且）恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，解得， 则函数（，且）恒过点． 故选：C. 2．如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（    ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 【答案】D 【详解】y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b. 故选：D． 题型01 对数函数的概念 【例1】下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 【例2】若函数（，且）是对数函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由对数函数的概念得，解得或， 由，得，即在单调递减， 则，所以． 故选：B. 【变式1-1】下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. 【变式1-2】函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由解得或，又，且，所以 故选：B. 【变式1-3】若函数为对数函数，则 ． 【答案】2 【详解】因为函数为对数函数， 所以，且，则（舍去）或． 故答案为：2 判断一个函数是对数函数必须是形如且)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量. 题型02 求对数函数的解析式或函数值 【例3】已知对数函数的图象过点，则 ． 【答案】 【详解】设且， 过点，，即，解得：，， . 故答案为：. 【例4】已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由条件可知，，得， 所以. 故选：B 【变式2-1】若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为 ． 【答案】 【详解】设函数解析式为，且， 由函数的图象过点，得，即，解得， 所以该对数函数的解析式为为. 故答案为： 【变式2-2】若函数，，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 故答案为： 【变式2-3】已知函数． (1)求函数的解析式； (2)解方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）由题意可知，函数的定义域为， 在等式中， 用替代可得， 所以，解得， （2）因为，由可得， 整理得，可得或，解得或. 题型03 对数函数的定义域 【例5】函数的定义域是 . 【答案】且 【详解】根据函数，可列出不等式组，得，解得且， 故函数的定义域为且. 故答案为：且. 【例6】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于函数，，则， 所以，函数的定义域， 对于函数，有，即，解得. 因此，函数的定义域为. 故选：D. 【变式3-1】函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】函数有意义等价于， 由 ① 得，或；由 ② 得， 故的定义域是． 故答案为：. 【变式3-2】已知集合，则P的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】A 【详解】由，解得或， 所以， 所以P的真子集个数为 故选：A. 【变式3-3】“”是“函数的定义域为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若函数的定义域为，则恒成立， 当时，恒成立，若，则，解得， 所以函数的定义域为时，， 即函数的定义域为可以推出， 但推不出函数的定义域为， 所以“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件， 故选：B. 求对数函数定义域的注意事项：（1）真数大于零；（2）对数的底数大于零且不等于1. 题型04 对数函数的值域 【例7】函数的值域是 . 【答案】 【详解】因，则， 又函数在上是增函数，故， 即函数的值域是. 故答案为：. 【例8】已知，函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 当时，，在上为减函数， 所以. 当时，， 因为，所以在上为增函数， 所以. 综上，的值域为. 故选：C. 【变式4-1】函数的定义域为，则值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为， 且在内单调递增，可知在内单调递增， 可知在内的最小值为，最大值为， 所以值域为. 故选：A. 【变式4-2】函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 【变式4-3】已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，易知， 当时，设在的值域为，由题意可得， 当时，，即，不符合题意； 当时，由不等式化简可得，解得 由不等式组，解得. 综上可得. 故选：C. 对数型函数值域的求解技巧： （1）求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解． （2）形如型的函数值域求解常用换元法、配方法等解题技巧． 题型05 对数函数的图象 【例9】已知，，则函数的图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】C 【详解】对于，当时，， 当时，，将的图象向左平移个单位，即得的图象， 此时的图象过第二、三、四象限； 当时，，将的图象向左平移个单位，即得的图象， 此时图象过第一、三、四象限； 综合可知函数的图象一定经过第三、四象限， 故选：C 【例10】函数的图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数，可得，解得， 即函数的定义域为，可得排除C、D选项； 又由，可排除A选项，所以B选项符合题意. 故选：B. 【变式5-1】对，且的图象过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】由题意，当时， ， 所以图象过定点， 故答案为： 【变式5-2】已知对，且均有意义，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，对恒成立，得， 则时，，则在上单调递增， 因，则为偶函数. 故选：B 【变式5-3】已知函数（a，c为常数，其中，且）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是 ．（填序号） ①，；②，；③，；④，． 【答案】④ 【详解】由图知，函数在定义域内为减函数，所以， 当时，，所以． 故答案为：④ 处理对数函数图象问题的3个注意点： （1）明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当趋近于0时，函数图象会越来越靠近轴，但永远不会与轴相交． （2）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数的取值范围是，还是 （3）牢记特殊点．对数函数且)的图象经过点： 题型06 对数（型）函数的单调性 【例11】函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【详解】因为，所以函数的定义域为或， 令，则， 因为在单调递减， 且在单调递减，在单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为． 故答案为：． 【例12】已知函数在上单调递减，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在上单调递减，而函数在上单调递减， 则函数上在上单调递增，且当时，， 因此，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：B 【变式6-1】函数的单调递增区间是 ． 【答案】(或) 【详解】函数的定义域为， 令在定义域上为增函数，则在上单调递增， 由复合函数单调性的同增异减原则可得，当1，即时，函数单调递增， 即函数单调递增区间为． 故答案为：(或) 【变式6-2】已知函数，且在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 得. 故选：C 【变式6-3】已知在R上是减函数．那么a的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在R上是减函数， 所以，解得，即. 故选：D. 求对数型函数单调区间的方法： (1)求形如的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由，先求定义域． (2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求解；②借助函数的性质，研究函数和在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定的单调性． 题型07 比较对数幂的大小 【例13】设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为单调递减，所以， 因为单调递减，所以， 则的大小关系为. 故选：A. 【例14】函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又当时，在上单调递增， 所以，即. 故选：D 【变式7-1】设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为指数函数是实数集上的减函数， 所以， 因为指数函数是实数集上的增函数， 所以， 因为对数函数是正实数集上减函数， 所以，因此， 故选：A 【变式7-2】设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，即. 故选：C 【变式7-3】定义在上的函数满足，若在区间上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上的函数满足，所以. 因为，又，，所以. 因为在上单调递增，所以，即，即. 故选：D. 题型08 解简单的对数不等式 【例15】不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由，得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【例16】已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由不等式，可得， 因为为偶函数，可得， 所以原不等式即为，即， 又因为在区间上单调递减且为偶函数，可得， 即或，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式8-1】函数的定义域为 . 【答案】 【详解】因为函数， 所以，可得， 解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 【变式8-2】已知函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，不等式为，即， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； 由于，则当时，函数在上单调递减， 所以，解得，所以； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 【变式8-3】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，解得， 所以， 所以， 所以，即， 从而，解得， 故不等式的解集为. 故选：A 常见对数不等式的2种解法 （1）形如的不等式，借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分和两种情况讨论； （2）形如的不等式，应将化为以为底数的对数式的形式，再借助的单调性求解. 题型09 对数函数的分类讨论 【例17】已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【详解】令，对称轴方程为：， 当时，要使函数在区间上是增函数， 得，解得，而，故， 当时，要使函数在区间上是增函数， 得，解得不存在， 综上知，的取值范围是：， 故选：D 【例18】已知（，且）． (1)判断的奇偶性； (2)若在区间内的最大值为2，求． 【答案】(1)是偶函数 (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得解得， 则的定义域为，关于原点对称， 且， 所以是偶函数． （2）， ①当时，函数在上单调递增， 则在区间内的最大值为2可转化为在区间内的最大值为， 因为在区间单调递减， 所以， 解得（负值舍会），与矛盾，舍去； ②时，函数在上单调递减， 则在区间内的最大值为2可转化为在区间内的最小值为， 因为在区间单调递减， 所以，解得（负值舍会），满足． 综上，． 【变式9-1】函数在上的最大值与最小值的和为1，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】若，则在上单调递增， 故，解得，满足要求； 若，则在上单调递减， 故，解得，不符合要求； 综上，. 故选：C 【变式9-2】已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设（且），， 因为在上是减函数， 所以或. 解得：或. 所以实数的取值范围为：. 故答案为： 【变式9-3】已知函数（，且）. (1)若，求实数的取值范围; (2)若函数在区间上最大值是最小值的2倍，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）①当时，则在区间上是增函数， 所以，解得， ②当，则在区间上是减函数， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. （2）①当时，，则，解得， ②当时，，则，解得， 综上所述，实数的取值为或. 题型10 恒成立问题 【例19】已知函数. (1)当时，求的单调递减区间； (2)当在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）函数有意义，则，解得， 此时，令， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而当时，函数在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. （2）由（1）得，当时，函数在上单调递减，， 依题意，，解得； 当时，函数在上单调递增，， 依题意，，解得， 所以的取值范围是. 【例20】已知函数． (1)利用定义法判断的单调性； (2)若关于的不等式在恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增 (2) 【分析】 【详解】（1）令，解得，故函数的定义域为． 任取，则， 因为指数函数在上单调递增，且， 所以，则， 则， 所以，即， 故函数在上单调递增． （2）由题知． 由（1）知函数在上单调递增， 则， 即，解得， 又，故正实数的取值范围为． 【变式10-1】已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，得，所以的定义域为， ， 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又，为减函数， 所以的单调递增区间为． （2）由题意得当，， 当时，由（1）得在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意， 当时，为增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以， 即，解得，综上所述，． 【变式10-2】已知函数，. (1)求实数a的值； (2)若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】 【详解】（1），解得； （2），即， ∴， 设， 由于在上单调递减， 又在上单调递增，且， 故在上，单调递减， 所以， 故. 【变式10-3】已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）令， 则原不等式可化为， 解得，即， 所以， 不等式的解集为. （2）当时，令，可得， 原不等式可化为对于恒成立， 即可得对于恒成立， 由基本不等式知可知，当且仅当时取得等号， ，因此只需， 即的取值范围是. 一、单选题 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得，所以函数的定义域是. 故选：D. 2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知，而单调递增，所以， 又，所以. 故选：A 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由得：， ，， ，， “”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．已知，且．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C. 5．马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为6和11时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于：由题意得，可得， 所以，所以， ，可得， 所以，所以， 所以，故错误； 对于：，故正确、错误. 故选：C. 6．若函数的值域是，则实数取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 要使得函数的值域为，只需的值域包含于， 所以，结合，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题 7．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．的图象关于对称 D．的值域为 【答案】BCD 【详解】对于A，由题可得，解得，所以函数定义域为，故A错误； 对于B，因为，设， 因函数在定义域内为增函数，函数在上单调递增且大于零， 根据复合函数单调性可得在上单调递增，故B正确； 对于C，因为该函数的定义域关于对称， 且， 故函数的图象关于对称，故C正确； 对于D，因为在上的值域为， 所以的值域为，即，故D正确. 故选：BCD. 8．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．不存在实数a，使的定义域为R B．时，函数为偶函数 C．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 D．函数一定有最小值 【答案】AB 【详解】列表解析|直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 要使函数的定义域为R，则对恒成立，即存在实数a，使得．又因为，所以不存在实数a，使得，故不存在实数a，使的定义域为R． B √ 时，，定义域为，又恒大于0，所以的定义域为，关于坐标原点对称（判定函数奇偶性，一定要遵循定义域优先原则）．设，则，故函数为偶函数． C × 因为是增函数，函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增且在上恒成立，所以解得． D × 当的值域为R时不存在最小值，要使的值域为R，函数的值域M满足，所以，解得，故对任意实数a，的值域为R，即不存在最小值． 故选：AB. 三、填空题 9．函数的定义域是 . 【答案】 【详解】由，解得， 则函数的定义域是. 故答案为：. 10．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，则， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减，且， 所以，解得， 故答案为：. 11．已知函数，若在上存在最小值，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，单调递减，没有最小值； 当时，单调递增，其最小值为. 由在上存在最小值，得，即. 因为是的单调增函数，又， 所以. 故答案为： 四、解答题 12．函数，当时，求该函数的值域. 【答案】 【详解】由， 令，则有， 因为，所以，因此， 所以函数的值域为. 13．已知函数的图象过原点，且． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）∵函数的图象过原点， 又 即，解得， 所以的值为2，的值为﹣2． （2）由（1）可知，， 所以不等式为，即， 即不等式的解集为 14．已知函数． (1)若的定义域为R，求m的取值范围； (2)若的值域为R，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为R，则在R上恒成立． 当时，在R上不恒成立，不符合题意； 当时，有，解得． 综上，m的取值范围为． （2）函数的值域为R， 则的值域必须包含． 当时，则的值域包含，符合题意； 当时，有，解得． 综上，m的取值范围为． 15．已知函数是偶函数． (1)求的值； (2)若，，，不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】 【详解】（1）是偶函数，，即， 即，而， ． （2），， ，又，， 而对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 当，，， ，， ，令，， 而在上单调递增，在上单调递减， 的取值范围是． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $