第4章 4.2.1 对数运算（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

4.2.1　对数运算

学习目标　1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.理解对数的底数和真数的取值范围.3.掌握对数的基本性质及对数恒等式.

导语

苏格兰数学家纳皮尔，在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.对数的出现是基于当时天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展的需要而出现的.经过不断发展，人们发现，对数与指数存在互逆的关系，然而更有意思的是“对数源自于指数”，而对数的发明却先于指数，对数是用来解决指数所不能解决的问题，让我们一起来发现对数与指数的关系吧！

一、对数的概念

问题1　我们知道若2x=4，则x=2；若3x=81，则x=4；若=128，则x=-7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x=3，1.11x=2，10x=5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？

提示　用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解.

知识梳理

1.对数的概念：在表达式ab=N(a>0且a≠1，N∈(0，+∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数.

2.两种特殊对数

常用对数：以10为底的对数称为常用对数，log10N可简写为lg N. 

自然对数：以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数，logeN通常简写为ln N. 

3.

对数式与指数式的互化关系：

若a>0且a≠1，则ax=N⇔logaN=x.

注意点：

(1)因为对数是由指数转化而来，所以底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变化.

(2)logaN的读法：以a为底N的对数.

　　　　　　　　　　　　　　　　

例1　若对数式log(t-2)3有意义，则实数t的取值范围是(　　)

A.[2，+∞) B.(2，3)∪(3，+∞)

C.(-∞，2) D.(2，+∞)

答案　B

解析　要使对数式log(t-2)3有意义，

需

解得t>2，且t≠3.

所以实数t的取值范围是(2，3)∪(3，+∞).

延伸探究　将例1的对数式改为“log(t-2)(t-3)”，求实数t的取值范围.

解　由题意可得

解得t>3.所以实数t的取值范围是(3，+∞).

反思感悟　关于对数式的范围

利用式子logab⇒求字母的范围.

二、指数式与对数式的互相转化

问题2　现在你能解指数方程2x=3，1.11x=2，10x=5了吗？

提示　x=log23；x=log1.112；x=log105.

例2　将下列指数式与对数式互化：

(1)2-2=；(2)102=100；

(3)ea=16；(4)6=；

(5)log39=2；(6)logxy=z(x>0且x≠1，y>0).

解　(1)log2=-2.

(2)log10100=2，即lg 100=2.

(3)loge16=a，即ln 16=a.

(4)log64=-.

(5)32=9.

(6)xz=y.

反思感悟　指数式与对数式互化的思路

(1)将指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.

(2)将对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.

跟踪训练1　将下列指数式与对数式互化：

(1)log216=4；(2)lox=6；

(3)43=64；(4)3-3=.

解　(1)因为log216=4，所以24=16.

(2)因为lox=6，所以()6=x.

(3)因为43=64，所以log464=3.

(4)因为3-3=，所以log3=-3.

　　　　　　　　　　　　　　　　

三、利用对数的定义计算

例3　(1)求下列各式中x的值：

①log64x=-；②logx8=6；

③lg 100=x；④-ln e2=x.

解　①x=6=(43=4-2=.

②因为x6=8，x>0，且x≠1，

所以x=(x6==(23==.

③因为10x=100=102，所以x=2.

④由-ln e2=x，得-x=ln e2，