第4章 4.2.1 对数运算（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学对数运算核心知识点，从指数方程求解困境切入对数概念，系统梳理指数式与对数式互化关系，进而讲解利用定义计算及对数性质、恒等式，构建从问题到概念再到应用的学习支架。 该资料以纳皮尔发明对数的历史背景激发兴趣，通过问题链引导学生推理，培养数学思维与创新意识。例题、跟踪训练及课时对点练设计强化运算能力，课中助力教师构建知识体系，课后便于学生巩固练习、查漏补缺。

4.2.1　对数运算 学习目标　1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.理解对数的底数和真数的取值范围.3.掌握对数的基本性质及对数恒等式. 导语 苏格兰数学家纳皮尔，在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.对数的出现是基于当时天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展的需要而出现的.经过不断发展，人们发现，对数与指数存在互逆的关系，然而更有意思的是“对数源自于指数”，而对数的发明却先于指数，对数是用来解决指数所不能解决的问题，让我们一起来发现对数与指数的关系吧！ 一、对数的概念 问题1　我们知道若2x=4，则x=2；若3x=81，则x=4；若=128，则x=-7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x=3，1.11x=2，10x=5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？ 提示　用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解. 知识梳理 1.对数的概念：在表达式ab=N(a>0且a≠1，N∈(0，+∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数. 2.两种特殊对数 常用对数：以10为底的对数称为常用对数，log10N可简写为lg N.  自然对数：以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数，logeN通常简写为ln N.  3. 对数式与指数式的互化关系： 若a>0且a≠1，则ax=N⇔logaN=x. 注意点： (1)因为对数是由指数转化而来，所以底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变化. (2)logaN的读法：以a为底N的对数. 　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　若对数式log(t-2)3有意义，则实数t的取值范围是(　　) A.[2，+∞) B.(2，3)∪(3，+∞) C.(-∞，2) D.(2，+∞) 答案　B 解析　要使对数式log(t-2)3有意义， 需 解得t>2，且t≠3. 所以实数t的取值范围是(2，3)∪(3，+∞). 延伸探究　将例1的对数式改为“log(t-2)(t-3)”，求实数t的取值范围. 解　由题意可得 解得t>3.所以实数t的取值范围是(3，+∞). 反思感悟　关于对数式的范围 利用式子logab⇒求字母的范围. 二、指数式与对数式的互相转化 问题2　现在你能解指数方程2x=3，1.11x=2，10x=5了吗？ 提示　x=log23；x=log1.112；x=log105. 例2　将下列指数式与对数式互化： (1)2-2=；(2)102=100； (3)ea=16；(4)6=； (5)log39=2；(6)logxy=z(x>0且x≠1，y>0). 解　(1)log2=-2. (2)log10100=2，即lg 100=2. (3)loge16=a，即ln 16=a. (4)log64=-. (5)32=9. (6)xz=y. 反思感悟　指数式与对数式互化的思路 (1)将指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)将对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 跟踪训练1　将下列指数式与对数式互化： (1)log216=4；(2)lox=6； (3)43=64；(4)3-3=. 解　(1)因为log216=4，所以24=16. (2)因为lox=6，所以()6=x. (3)因为43=64，所以log464=3. (4)因为3-3=，所以log3=-3. 　　　　　　　　　　　　　　　　 三、利用对数的定义计算 例3　(1)求下列各式中x的值： ①log64x=-；②logx8=6； ③lg 100=x；④-ln e2=x. 解　①x=6=(43=4-2=. ②因为x6=8，x>0，且x≠1， 所以x=(x6==(23==. ③因为10x=100=102，所以x=2. ④由-ln e2=x，得-x=ln e2， 即e-x=e2. 所以x=-2. (2)设a=log310，b=log37，求3a-b的值. 解　因为a=log310，b=log37， 所以3a=10，3b=7. 则3a-b==. 反思感悟　对数式中求值的基本方法 (1)将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题. (2)利用指数幂的运算性质求解. 跟踪训练2　求下列各式中x的值. (1)log3x=-3；(2)logx49=4； (3)lg 0.000 01=x；(4)ln =-x. 解　(1)由题意得x=3-3=. (2)由x4=49，x>0且x≠1，得x=. (3)由10x=0.000 01=10-5，得x=-5. (4)由e-x==，得x=-. 四、对数的性质及对数恒等式 1.对数恒等式：=N(a>0且a≠1)；logaab=b(a>0且a≠1). 2.对数的性质 (1)loga1=0(a>0且a≠1). (2)logaa=1(a>0且a≠1). (3)0和负数没有对数. 注意点： 对数恒等式中logaN前系数为1. 例4　求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)=0；(2)log3(lg x)=1； (3)x=. 解　(1)∵log2(log5x)=0， ∴log5x=20=1，∴x=51=5. (2)∵log3(lg x)=1，∴lg x=31=3， ∴x=103=1 000. (3)x===. 反思感悟　(1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题.logaN=0⇒N=1；logaN=1⇒N=a可频繁使用，应在理解的基础上灵活运用. (2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：=N，logaaN=N. 跟踪训练3　(1)若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0，则x+y+z的值为(　　) A.9 B.8 C.7 D.6 答案　A 解析　∵log2(log3x)=0，∴log3x=1.∴x=3. 同理y=4，z=2.∴x+y+z=9. (2)设=27，则x=　　　　.  答案　13 解析　∵=27， ∴2x+1=27，解得x=13. 1.知识清单： (1)对数的概念. (2)指数式与对数式的互相转化. (3)利用对数的定义计算. (4)对数的性质及对数恒等式. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围. 1.(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是(　　) A.e0=1与ln 1=0 B.=与log8=- C.log39=2与=3 D.log77=1与71=7 答案　ABD 解析　由指对互化的关系ax=N⇔x=logaN可知A，B，D都正确；C中，log39=2⇔9=32. 2.对数log(a+3)(5-a)中实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，5) B.(-3，5) C.(-3，-2)∪(-2，5) D.(-3，+∞) 答案　C 解析　要使对数log(a+3)(5-a)有意义， 则解得-3<a<5，且a≠-2， 故实数a的取值范围是(-3，-2)∪(-2，5). 3.若log2(logx3)=-1，则x的值为(　　) A.3 B. C. D.9 答案　D 解析　∵log2(logx3)=-1，∴logx3=2-1=， ∴==3，解得x=9. 4.计算：+2log31-3lg 10+3ln 1=　　　　.  答案　0 解析　+2log31-3lg 10+3ln 1 =3+2×0-3×1+3×0=0. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.(多选)下列说法正确的有(　　) A.零和负数没有对数 B.任何一个指数式都可以化成对数式 C.以10为底的对数称为常用对数 D.以e为底的对数称为自然对数 答案　ACD 解析　A，C，D正确，B不正确，只有当a>0且a≠1时，ax=N才能化为对数式. 2.log3等于(　　) A.4 B.-4 C. D.- 答案　B 解析　∵3-4=，∴log3=-4. 3.方程=的解是(　　) A.x= B.x= C.x= D.x=9 答案　A 解析　因为=2-2，所以log3x=-2， 所以x=3-2=. 4.化简-2-lg 0.01+ln e3等于(　　) A.14 B.0 C.1 D.6 答案　B 解析　原式=4-(33-lg+3=4-32-(-2)+3=0. 5.若loga3=m，loga5=n(a>0且a≠1)，则a2m+n的值是(　　) A.15 B.75 C.45 D.225 答案　C 解析　由loga3=m，得am=3， 由loga5=n，得an=5， ∴a2m+n=(am)2·an=32×5=45. 6.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是(　　) A.54=625与log4625=5 B.10-2=0.01与lg 0.01=-2 C.=16与log-416= D.=与log27=- 答案　BD 解析　54=625可化为log5625=4，故A不正确； 10-2=0.01可化为lg 0.01=-2，故B正确； =16可化为lo16=-4，故C不正确； =可化为log27=-，故D正确. 7.(5分)ln(lg 10)+=　　　　.  答案　4-π 解析　ln(lg 10)+=ln 1+4-π =0+4-π=4-π. 8.(5分)对数式log2(1-3x)中x的取值范围为　　　　.  答案　 解析　由题意可得，1-3x>0，解得x<， 所以x的取值范围为. 9.(10分)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值. (1)log2x=-；(5分)(2)logx3=-.(5分) 解　(1)因为log2x=-， 所以x====. (2)因为logx3=-，所以=3， 即x=3-3=. 10.(11分)(1)已知log189=a，log1854=b，求182a-b的值；(5分) (2)已知logx27=，求x的值.(6分) 解　(1)∵log189=a，log1854=b， ∴18a=9，18b=54，∴182a-b===. (2)logx27==3×=3×2=6. ∴x6=27，∴x6=33， 又x>0且x≠1，∴x=. 11.“2a=2b”是“ln a=ln b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为2a=2b⇔a=b，ln a=ln b⇔ 所以“2a=2b”是“ln a=ln b”的必要不充分条件. 12.若a>0，=，则loa等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　B 解析　因为=，a>0，所以a==， 所以loa=3. 13.(5分)若log(1-x)(1+x)2=1，则x=　　　　.  答案　-3 解析　由log(1-x)(1+x)2=1， 得(1+x)2=1-x， ∴x2+3x=0，∴x=0或x=-3. 又∴x=-3. 14.(5分)已知log5(log3(log2 a))=0，则3的值为　　　　.  答案　64 解析　因为log5(log3(log2a))=0，所以log3(log2a)=1，所以log2a=3，解得a=8，所以3=3=(62==()2=82=64. 15.已知正实数a，b满足ba=4，且a+log2b=3，则a+2b的值为(　　) A.6或9 B.7或8 C.6 D.8 答案　A 解析　因为a+log2b=3，所以log2b=3-a， 所以b=23-a， 所以ba=(23-a)a==4=22， 所以-a2+3a=2，即a2-3a+2=0，解得a=1或a=2， 当a=1时，b=4，则a+2b=9；当a=2时，b=2，则a+2b=6. 16.(12分)若lox=m，loy=m+2，求的值. 解　因为lox=m，所以=x，x2=. 因为loy=m+2， 所以=y，y=. 所以====16. 学科网（北京）股份有限公司 $