4.2.2 对数运算法则-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)

4.2.2对数运算法则 知识梳理 1.对数运算法则 积运算：， 商运算：， 幂运算：. (其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，n∈R) 2.换底公式 .(其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1) 推式： （1）（2） 注意： 对数的这三条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立. 常见考点 考点一 积商幂公式 典例1． 用，，之表示下列各式： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】 利用对数的运算性质即可求解. 【详解】 （1）. （2） 变式1-1． 不用计算器，求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）2 【分析】 根据对数的基本公式与求解即可 【详解】 （1）； （2） 变式1-2． 不用计算器，求下列各式的值： （1）；（2）；（3）. 【答案】（1）2；（2）1；（3）1. 【分析】 （1）根据换底公式的应用求值即可； （2）利用对数的运算性质计算即可； （3）提出，根据可得解. 【详解】 （1）； （2）； （3）； 变式1-3． 计算下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】 (1)根据对数的运算法则和性质即可求解； (2) 根据对数的运算法则和性质即可求解. 【详解】 （1）原式=； （2）原式= . 考点二 换底公式 典例2． 的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】 根据换底公式运算求解即可. 【详解】 解：． 故选：C 变式2-1．（2020·山西·太原市第五十三中学校高一月考）计算（ ）． A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】 利用换底公式及对数恒等式计算可得； 【详解】 解： 故选：D 变式2-2．（2020·上海市南洋模范中学高一期中）设，则值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据对数的运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】 由对数的运算公式，可得. 故选：D. 变式2-3．（2020·江西安福·高一期中）设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用换底公式将化为，然后运用对数运算法则即可求得结果. 【详解】 解：. 故选：A. 考点三 对数运算的应用 典例3． 计算： （1）； （2）． 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）由换底公式化简可求出； （2）根据对数的运算性质化简可求出. （1） 原式 ． （2） 原式 ． 变式3-1．计算： （1）； （2）． 【答案】 （1）3 （2）1 【分析】 （1）先对提取公因式，结合进行化简求值；（2）化简为，结合，利用完全平方公式求出答案. （1） ． （2） ． 变式3-2．（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）1；（2）0. 【分析】 （1）根据对数运算性质运算求解即可； （2）根据指数运算与对数运算性质运算求解即可. 【详解】 （1）原式 ． （2）原式 ． 变式3-3． 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】 （1）0 （2） （3） 【分析】 （1）（3）结合指数恒等式、对数运算性质化简；（2）只需结合对数运算性质化简. （1） 原式； （2） 解法一：； 解法二： ； （3） 原式． 巩固练习 练习一 积商幂公式 1． 求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】 （1）7 （2）1 （3）0 （4）-1 【分析】 利用对数的运算求解. （1） 解：； （2） ； （3） ； （4） . 2． 用，，表示下列式子： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】 利用对数运算求解. 【详解】 （1）； （2）； （3）； （4）. 3． 计算： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用对数的运算性质化简计算可得结果； （2）利用对数恒等式与指数的运算性质化简可得结果. 【详解】 （1）原式 ； （2）原式. 4． 用lg x，lg y，lg z表示下列各式： （1）lg(xyz)； （2）lg； （3）lg． 【答案】（1）lg x＋lg y＋lg z ；（2）lg x＋2lg y－lg z；（3） lg x＋3lg y－lg z． 【分析】 （1）由对数的运算法则求解即可； （2）由对数的运算法则求解即可； （3）由对数的运算法则求解即可； 【详解】 （1）lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z． （2）lg＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z． （3）lg＝lg(xy3)－lg＝lg x＋3lg y－lg z． 练习二