第4章 §4.3 指数函数与对数函数的关系（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦反函数概念这一核心知识点，从指数函数与对数函数的图象关系切入，系统梳理反函数的定义、存在条件、求法及图象性质，通过例题与跟踪训练构建从具体到抽象的学习支架，衔接函数单调性等前置知识。 资料以问题驱动引导学生用数学眼光观察函数图象对称关系，通过定义辨析和推理判断反函数存在性培养数学思维，规范解题步骤强化数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后通过课时对点练帮助学生巩固知识，查漏补缺。

学习目标　1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系.2.会求简单函数的反函数.3.利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题. 导语 在研究函数问题的过程中，我们经常遇到同底数的指数函数和对数函数，例如函数y=2x与y=log2x，它们究竟有着怎样的关系呢？今天我们从它们的图象、性质等方面一起去探讨这一类函数. 一、反函数的概念 问题1　在同一平面直角坐标系内，画出函数y=2x与y=log2x的图象，观察两函数图象的关系. 提示　 知识梳理　反函数的概念 (1)一般地，如果在函数y=f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y=f(x)的反函数.此时，称y=f(x)存在反函数. (2)反函数的记法：函数y=f(x)的反函数记作y=f -1(x). 注意点： 同底的指数函数与对数函数互为反函数. 例1　(课本例1)分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数. (1) x 1 2 3 4 5 f(x) 0 0 1 3 5 (2) x 1 2 3 4 5 g(x) -1 0 1 -2 5 解　(1)因为f(x)=0时，x=1或x=2，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在. (2)因为对g(x)的值域{-1，0，1，-2，5}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，所以g(x)的反函数g-1(x)存在，而且反函数可以表示如下. x -2 -1 0 1 5 g-1(x) 4 1 2 3 5 例1　判定下列函数是否存在反函数. (1) x 1 2 3 4 5 f(x) 2 3 4 5 6 (2)函数y=f(x)的图象是如图所示的三点A，B，C. 解　(1)因为对f(x)的值域{2，3，4，5，6}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此f(x)的反函数 f -1(x)存在. (2)由图可知函数y=f(x)的定义域为{-1，1，2}，值域为{-1，1，-2}，且对值域中的任意一个值，在定义域中都有唯一的x值与之对应，所以y=f(x)存在反函数. 反思感悟　判定存在反函数的方法 (1)用定义：若函数y=f(x)值域中任意一个y的值，在定义域中有唯一的x与之对应，则此函数的反函数存在，否则，反函数不存在. (2)用单调性：若函数y=f(x)在定义域上单调，则它的反函数存在. 二、求反函数 问题2　函数y=2x+1，你能用y表示x吗？你能把函数解析式y=中的x和y互换吗？ 提示　x+1=log2y，x=-1+log2y；x=. 例2　(课本例2)判断f(x)=2x+2的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数f -1(x)的解析式，并在同一平面直角坐标系中作出f(x)与f -1(x)的函数图象. 解　因为f(x)=2x+2是增函数，所以任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数. 令y=2x+2，对调其中的x和y得x=2y+2，解得y=x-1，因此f -1(x)=x-1. f(x)与f -1(x)的函数图象如图所示. 例2　求下列函数的反函数： (1)f(x)=log2x； (2)f(x)=； (3)f(x)=5x+1. 解　(1)令y=log2x，得x=2y且y∈R， ∴f -1(x)=2x，x∈R. (2)令y=，得x=loy且y>0， ∴f -1(x)=lox，x>0. (3)令y=5x+1，得x=且y∈R， ∴f -1(x)=，x∈R. 反思感悟　(1)求反函数时，要先确定原函数的值域. (2)求反函数解析式的两种方法： ①可以通过对调y=f(x)中的x与y，然后从x=f(y)中求出y，得到反函数y= f -1(x). ②从y=f(x)反解得到x= f -1(y)，然后把x= f -1(y)中的x，y对调得到y= f -1(x). (3)最后要注明反函数的定义域. 跟踪训练1　求下列函数的反函数： (1)f(x)=+1(x≥0)； (2)f(x)=(x≠1). 解　(1)令y=+1，x≥0， ∴y≥1且x=(y-1)2. ∴f(x)=+1(x≥0)的反函数为 f -1(x)=(x-1)2， x∈[1，+∞). (2)令y==， ∴y=2+. ∴y≠2且x=. ∴f(x)=(x≠1)的反函数为f -1(x)=，x∈(-∞，2)∪(2，+∞). 三、互为反函数的图象与性质的应用 问题3　函数y=2x的定义域和值域与y=log2x的定义域和值域关系如何？ 提示　y=2x的定义域与y=log2x的值域相同，y=2x的值域与y=log2x的定义域相同. 知识梳理 1.反函数的性质 (1)y=f(x)的定义域与y= f -1(x)的值域相同，y=f(x)的值域与y= f -1(x)的定义域相同，y=f(x)与y=f -1(x)的图象关于直线y=x对称. (2)如果y=f(x)是单调函数，那么它的反函数y= f -1(x)一定存在，此时，如果y=f(x)是增函数，则y=f -1(x)也是增函数；如果y=f(x)是减函数，则y= f -1(x)也是减函数. 2.指数函数与对数函数的关系 (1)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数. (2)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称. 注意点： (1)原函数与反函数定义域与值域的关系. (2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致. (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数. 例3　(1)若函数y=f(x)的图象位于第一、二象限，则它的反函数y= f -1(x)的图象位于(　　) A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第二、三象限 D.第一、四象限 答案　D 解析　结合函数与反函数关于直线y=x对称， 即可得出反函数位于第一、四象限. (2)若函数g(x)是函数f(x)=2x，x∈[-2，1]的反函数，则函数g(x)的定义域为　　　　.  答案　 解析　函数f(x)=2x，x∈[-2，1]的值域为， 因为函数g(x)是其反函数， 所以函数g(x)的定义域为. 反思感悟　互为反函数的函数图象关于直线y=x对称，所以若点(a，b)在函数y=f(x)的图象上，则点(b，a)必在其反函数y= f -1(x)的图象上. 跟踪训练2　(1)已知函数f(x)=ax+b的图象过点(1，7)，其反函数f -1(x)的图象过点(4，0)，则f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=4x+3 B.f(x)=3x+4 C.f(x)=5x+2 D.f(x)=2x+5 答案　A 解析　∵f(x)的反函数图象过点(4，0)， ∴f(x)的图象过点(0，4)， 又f(x)=ax+b的图象过点(1，7)， ∴联立方程组解得 故f(x)=4x+3. (2)若函数y=的图象关于直线y=x对称，则a的值为　　　　.  答案　-1 解析　由y=可得x=， 则原函数的反函数是y=， ∴=，得a=-1. 1.知识清单： (1)反函数的图象与原函数图象之间的关系. (2)求函数的反函数. (3)互为反函数的图象与性质的应用. 2.方法归纳：数形结合、转化与化归. 3.常见误区：不是所有函数都有反函数；y=f(x)与y= f -1(x)互为反函数. 1.函数y=lox(x>0)的反函数是(　　) A.y=，x>0 B.y=，x∈R C.y=x2，x∈R D.y=2x，x∈R 答案　B 解析　互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同. 2.已知函数f(x)=3x-1，则它的反函数y= f -1(x)的大致图象是(　　) 答案　C 解析　由f(x)=3x-1可得f -1(x)=log3x+1， ∴图象为C. 3.(多选)已知函数f(x)在其定义域内单调递增，且f(1)=-1，若f(x)的反函数为f -1(x)，则(　　) A.f -1(-1)=1 B.f -1(x)在定义域内单调递增 C.f -1(1)=1 D.f -1(x)在定义域内单调递减 答案　AB 解析　由反函数的性质可知，f- 1(-1)=1且f- 1(x)在定义域内单调递增. 4.已知f(x)=2x+b的反函数为 f -1(x)，若y=f -1(x)的图象过点Q(5，2)，则b=　　　　.  答案　1 解析　因为f -1(x)的图象过Q(5，2)， 所以f(x)的图象过点(2，5)， 则f(2)=5， 即22+b=5，解得b=1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.已知y=的反函数为y=f(x)，若f(x0)=-，则x0等于(　　) A.-2 B.-1 C.2 D. 答案　C 解析　∵y=的反函数是f(x)=lox， ∴f(x0)=lox0=-. ∴x0===2. 2.已知函数f(x)=1+2lg x，则f(1)+f -1(1)等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　根据题意，f(1)=1+2lg 1=1， 若f(x)=1+2lg x=1，解得x=1， 则f -1(1)=1， 故f(1)+f -1(1)=1+1=2. 3.(多选)函数y=1+ax(a>0且a≠1)的反函数的图象可能是(　　) 答案　AC 解析　方法一　先画出y=1+ax的图象，由反函数的图象与原函数的图象关于直线y=x对称可画出反函数的图象. 方法二　因为函数y=1+ax(a>0且a≠1)过(0，2)，所以它的反函数必过(2，0)点. 4.设f(x)=3x+9，则其反函数的定义域是(　　) A.(0，+∞) B.(9，+∞) C.(10，+∞) D.(-∞，+∞) 答案　B 解析　∵3x>0，∴f(x)=3x+9>9， 因此其反函数的定义域为(9，+∞). 5.函数y=2x+1的图象与函数y=log2x-1的图象(　　) A.关于直线y=x对称 B.关于y轴对称 C.关于x轴对称 D.关于原点对称 答案　A 解析　y=2x+1的反函数满足x=2y+1，x>0，化简可得log2x=log22y+1=y+1， 所以y=log2x-1，因为互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称， 即y=2x+1的图象与y=log2x-1的图象关于直线y=x对称. 6.设函数f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图象过点(2，8)，则a+b等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　B 解析　f(x)=loga(x+b)的反函数为f -1(x)=ax-b，又f(x)的图象过点(2，1)， ∴f -1(x)的图象过点(1，2)， ∴解得或 又a>0，∴∴a+b=4. 7.(5分)已知f(x)的图象经过点(2，3)，f(x)的反函数为f -1(x)，则 f -1(x-2)的图象必经过点　　　　.  答案　(5，2) 解析　由题意可得f(2)=3，则f -1(3)=2， 即f -1(5-2)=2， 故函数f -1(x-2)的图象必过点(5，2). 8.(5分)若点既在f(x)=2ax+b的图象上，又在其反函数的图象上，则a+b=　　　　.  答案　 解析　由题意知均在函数f(x)=2ax+b的图象上，故有 ∴∴a+b=-+=. 9.(10分)求下列函数的反函数： (1)y=3x-1(x∈R)；(3分) (2)y=1+ln(x-1)(x>1)；(3分) (3)y=(x∈R且x≠-1).(4分) 解　(1)函数y=3x-1，当x∈R时，y>0. 方法一　∵x-1=log3y， ∴x=1+log3y，x，y互换得反函数为 y=1+log3x(x>0). 方法二　对y=3x-1中的x，y互换得x=3y-1， ∴y-1=log3x， 即反函数为y=1+log3x(x>0). (2)由y=1+ln(x-1)，得x=ey-1+1， 又由x>1，知y∈R， ∴反函数为y=ex-1+1(x∈R). (3)y==1+(x∈R，且x≠-1)， ∴y∈R且y≠1. ∵y=，x，y互换得x=， ∴反函数为y=(x∈R，且x≠1). 10.(11分)已知函数f(x)=loga(2-x)(a>1). (1)求函数f(x)的定义域、值域；(3分) (2)求函数f(x)的反函数f -1(x)；(4分) (3)判断并证明f -1(x)的单调性.(4分) 解　(1)要使函数f(x)有意义，需满足2-x>0，即x<2， 故函数f(x)的定义域为(-∞，2)，值域为R. (2)由y=loga(2-x) ，得2-x=ay， 即x=2-ay. ∴f -1(x)=2-ax(x∈R). (3)f- 1(x)在R上是减函数. 证明如下：任取x1，x2∈R且x1<x2. ∵f -1(x2)-f- 1(x1)=2--2+ =-， ∵a>1，x1<x2， ∴<， 即-<0， ∴f- 1(x2)<f -1(x1)， ∴y=f- 1(x)在R上是减函数. 11.若函数y=x+在x∈(0，a)上存在反函数，则实数a的取值范围为(　　) A.(1，4) B.(0，2] C.(2，4] D.[2，+∞) 答案　B 解析　若函数y=x+在x∈(0，a)上存在反函数， 则函数y=x+在x∈(0，a)上单调即可， 又因为函数y=x+在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， 所以(0，a)⊆(0，2)，所以实数a的取值范围为(0，2]. 12.已知函数y=f(x)的定义域是[-1，1]，其图象如图所示，则不等式-1≤f -1(x)≤的解集是(　　) A. B. C.[-2，0)∪ D.[-1，0]∪ 答案　C 解析　由题意，可得-1≤f -1(x)≤的解集即为f(x)在上的值域. 当-1≤x<0时，由题图可知f(x)∈[-2，0)， 当0≤x≤时，由题图可知f(x)∈， 故不等式-1≤f- 1(x)≤的解集为[-2，0)∪. 13.(多选)已知函数f(x)=ax(a>1)，其反函数为y=f -1(x)，实数t满足f- 1(t)<1-t<f(t)，则t的值可以是(　　) A.-1 B. C. D. 答案　BC 解析　∵函数f(x)=ax(a>1)， ∴反函数为y=f -1(x)=logax， 又实数t满足f -1(t)<1-t<f(t)， ∴logat<1-t<at，a>1， 当t≤0时，显然不符合题意； 当0<t<1时，logat<0，0<1-t<1，at>1， logat<1-t<at， ∴0<t<1符合题意； 当t=1时，logat=0，1-t=0，at=a，不符合题意； 当t>1时，logat>0，1-t<0，at>a，不符合题意， 故t的取值范围为(0，1). 14.(5分)若函数f(x)=x-(x>0)的反函数为y=f- 1(x)，则关于x的不等式f -1(x)≤3的解集为　　　　.  答案　 解析　易得f(x)=x-在(0，+∞)上单调递增，值域为R.则其反函数在R上也单调递增， 又f(3)=3-=，则f -1=3， ∴f -1(x)≤3，即f -1(x)≤f -1， ∴x≤， 即关于x的不等式f -1(x)≤3的解集为. 15.已知函数f(x)=的反函数为y=f -1(x)，那么g(x)=f- 1(x-2)+2在[-2，6]上的最大值与最小值之和为(　　) A.4 B.2 C.1 D.0 答案　A 解析　因为f(-x)==- =-f(x)， 且函数f(x)的定义域为R，则f(x)为奇函数， 因为y=4x，y=-4-x均为R上的增函数， 则f(x)=也为R上的增函数， 由于互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称， 则函数f(x)=的反函数y=f -1(x)也为定义域上的奇函数、增函数， 故g(x)=f -1(x-2)+2在[-2，6]上单调递增，且g(x)的图象关于点(2，2)对称， 因为-2+6=2×2，则g(-2)+g(6)=2×2=4， 即g(x)在[-2，6]上的最大值与最小值之和为4. 16.(12分)已知函数f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1). (1)求定义域；(4分) (2)若函数f(x)的反函数是其本身，求a的值；(4分) (3)求函数y=f(x)+f(-x)的值域.(4分) 解　(1)由8-2x>0，得2x<8， 解得x<3， ∴f(x)的定义域为(-∞，3). (2)令y=f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1)， 解得x=log2(8-ay)， 对调x，y，得y=log2(8-ax). 由于函数f(x)的反函数是其本身， ∴a=2. (3)y=f(x)+f(-x)=loga(8-2x)+loga(8-2-x)=loga[65-8(2x+2-x)]. 令65-8(2x+2-x)>0，得8·(2x)2-65·2x+8<0，解得-3<x<3， ∴函数y=loga[65-8(2x+2-x)]的定义域为(-3，3). ∵2x+2-x=2x+≥2，当且仅当x=0时取等号， ∴0<65-8(2x+2-x)≤49， 故65-8(2x+2-x)的取值范围为(0，49]. 故当a>1时，函数y=f(x)+f(-x)的值域为(-∞，loga49]；当0<a<1时，函数y=f(x)+f(-x)的值域为[loga49，+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $