第4章 §4.3 指数函数与对数函数的关系（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

学习目标　1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系.2.会求简单函数的反函数.3.利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题.

导语

在研究函数问题的过程中，我们经常遇到同底数的指数函数和对数函数，例如函数y=2x与y=log2x，它们究竟有着怎样的关系呢？今天我们从它们的图象、性质等方面一起去探讨这一类函数.

一、反函数的概念

问题1　在同一平面直角坐标系内，画出函数y=2x与y=log2x的图象，观察两函数图象的关系.

提示　

知识梳理　反函数的概念

(1)一般地，如果在函数y=f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y=f(x)的反函数.此时，称y=f(x)存在反函数.

(2)反函数的记法：函数y=f(x)的反函数记作y=f -1(x).

注意点：

同底的指数函数与对数函数互为反函数.

例1　(课本例1)分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数.

(1)

 

(2)

 

解　(1)因为f(x)=0时，x=1或x=2，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在.

(2)因为对g(x)的值域{-1，0，1，-2，5}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，所以g(x)的反函数g-1(x)存在，而且反函数可以表示如下.

 

例1　判定下列函数是否存在反函数.

(1)

 

(2)函数y=f(x)的图象是如图所示的三点A，B，C.

解　(1)因为对f(x)的值域{2，3，4，5，6}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此f(x)的反函数

f -1(x)存在.

(2)由图可知函数y=f(x)的定义域为{-1，1，2}，值域为{-1，1，-2}，且对值域中的任意一个值，在定义域中都有唯一的x值与之对应，所以y=f(x)存在反函数.

反思感悟　判定存在反函数的方法

(1)用定义：若函数y=f(x)值域中任意一个y的值，在定义域中有唯一的x与之对应，则此函数的反函数存在，否则，反函数不存在.

(2)用单调性：若函数y=f(x)在定义域上单调，则它的反函数存在.

二、求反函数

问题2　函数y=2x+1，你能用y表示x吗？你能把函数解析式y=中的x和y互换吗？

提示　x+1=log2y，x=-1+log2y；x=.

例2　(课本例2)判断f(x)=2x+2的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数f -1(x)的解析式，并在同一平面直角坐标系中作出f(x)与f -1(x)的函数图象.

解　因为f(x)=2x+2是增函数，所以任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数.

令y=2x+2，对调其中的x和y得x=2y+2，解得y=x-1，因此f -1(x)=x-1.

f(x)与f -1(x)的函数图象如图所示.

例2　求下列函数的反函数：

(1)f(x)=log2x；

(2)f(x)=；

(3)f(x)=5x+1.

解　(1)令y=log2x，得x=2y且y∈R，

∴f -1(x)=2x，x∈R.

(2)令y=，得x=loy且y>0，

∴f -1(x)=lox，x>0.

(3)令y=5x+1，得x=且y∈R，

∴f -1(x)=，x∈R.

反思感悟　(1)求反函数时，要先确定原函数的值域.

(2)求反函数解析式的两种方法：

①可以通过对调y=f(x)中的x与y，然后从x=f(y)中求出y，得到反函数y= f -1(x).

②从y=f(x)反解得到x= f -1(y)，然后把x= f -1(y)中的x，y对调得到y= f -1(x).