02-4.1.2 指数函数的性质与图象(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第二册（人教B版）

该高中数学课件聚焦指数函数的概念、图象、性质及应用，从指数运算基础导入，通过题组串联概念辨析、图象变换、性质应用及实际问题，构建从基础到提升的学习支架。 其亮点在于分层设计练习，含易错题标注和新定义题型，结合数学思维的逻辑推理与数学语言的符号表达，如通过疫苗保存时间问题培养应用意识，助力学生深化理解，为教师提供丰富教学资源。

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 4.1　指数与指数函数 4.1.2　指数函数的性质与图象 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　指数函数的概念 1.[2026重庆潼南中学校开学考试]下列函数是指数函数的是 (　　　 ) A.y=x2　　　    B.y=32x+1　　　    C.y=3×4x　　　    D.y=9x     D     第1讲　描述运动的基本概念 2.[易错题][2026陕西榆林期末]若函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数,则 (　　　 ) A.a=1或a=2　　　    B.a=1 C.a=2　　　     D.a>0且a≠1     C     解析　由题意得 解得a=2. 易错警示　指数函数是形如y=ax的函数,需满足两点:①系数为1;②底数a的范围是a>0且a≠1. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　指数(型)函数的图象 3.已知函数y= 的图象与指数函数y=ax的图象关于y轴对称,则实数a的值是 (　　　 ) A.1　　　    B.2　　　    C.4　　　    D.8     C     解析　由题意得 与a互为倒数,即 =1,解得a=4. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026河南信阳第十高级中学期中]要得到函数y= 的图象,只需将函数y=41-x的图象 (　　　 ) A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度     A     解析　因为y= =(2-2)x=4-x=41-(x+1),所以只需将函数y=41-x的图象向左平移1个单位长度,即可得到函数y = 的图象. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026辽宁沈阳五校协作体期中]已知0<c<1<b<a,则指数函数y=ax,y=bx,y=cx的图象分别对应图中的曲 线 (　　　 )   A.C3,C1,C2　　　    B.C1,C2,C3　　　     C.C3,C2,C1　　　    D.C1,C3,C2     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图所示,作直线x=1,   由0<c<1<b<a,可知y=ax的图象对应曲线C1,y=bx的图象对应曲线C2,y=cx的图象对应曲线C3. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026辽宁沈阳重点高中郊联体月考]已知函数f(x)=ax-1-2(a>0,a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x) =m+xn的图象不经过第______象限. 　四     解析　∵a0=1,∴f(x)=ax-1-2的图象恒过定点(1,-1), ∴m=1,n=-1,∴g(x)=1+ ,其图象不经过第四象限. 第1讲　描述运动的基本概念 7.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1),g(x)= (x>0),函数f(x)的图象经过点(2,16). (1)写出函数f(x)的解析式; (2)在同一坐标系中用描点法作出函数f(x),g(x)的图象,并求出当f(x)<g(16)时,自变量x的取值范围; (3)当x>0时,用N(x)表示f(x),g(x)中的最小者,记N(x)=min{f(x),g(x)}(例如,min{3,9}=3),求函数N(x)的值域. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵f(x)的图象经过点(2,16),∴f(2)=a2=16, 解得a=±4,又a>0,∴a=4,∴f(x)=4x,x∈R. (2)列表: x -  0   1 f(x)   1 2 4 x     1 2 g(x) 3 2 1   第1讲　描述运动的基本概念 描点作图:   令f(x)<g(16),得4x< ,即4x<4-2, 又y=4x在区间(-∞,+∞)上单调递增, ∴x<-2,故x的取值范围是(-∞,-2). (3)由(2)及题意可得N(x)的图象如下: 第1讲　描述运动的基本概念   由图可知,N(x)的值域为(0,2]. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　指数(型)函数的性质及其应用 8.[2024重庆西南大学附中期中]函数y= 的定义域是 (　　　 ) A.[-2,+∞)　　　    B.[-1,+∞) C.(-∞,-1]　　　     D.(-∞,-2]     C     解析　由题意得 -125≥0,即 ≥ ,所以2x-1≤-3,解得x≤-1,故所求函数的定义域为(-∞, -1]. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[教材习题改编]已知a=0.3-0.3,b=0.3-0.2,c=2-0.01,则 (　　　 ) A.c<b<a　 B.c<a<b　 C.b<a<c　 D.a<c<b     A     解析　因为y=0.3x在R上单调递减,且-0.3<-0.2<0,所以0.3-0.3>0.3-0.2>0.30=1,即a>b>1. 因为y=2x在R上单调递增,且-0.01<0, 所以c=2-0.01<20=1,所以c<b<a. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026黑龙江哈尔滨期中]若函数f(x)= (a>0且a≠1)满足对任意两个不相等的实数x1, x2,都有[f(x1)-f(x2)]·(x1-x2)>0,则实数a的取值范围是(　　　 ) A.[-4,8)　　　    B.[4,8)　　　    C.(4,8)　　　    D.(1,8)     B     解析　由题意得函数f(x)在R上单调递增, 则 解得4≤a<8,即实数a的取值范围是[4,8). 第1讲　描述运动的基本概念 11.[多选题][2024河南济源期中联考]已知函数f(x)=3-|x|-3|x|,则下列说法正确的是(　　　　) A.f(x)的图象关于原点对称　　　     B.f(x)的最大值为0 C.f(x)在(0,+∞)上单调递减　　　     D.f(-3)>f(2)     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析    f(x)=3-|x|-3|x|的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=3-|-x|-3|-x|=3-|x|-3|x|=f(x),所以f(x)是偶函数,其图象关于y轴 对称,A错误; f(x)=3-|x|-3|x|= -3|x|,当x>0时, f(x)= -3x,由y= ,y=-3x在(0,+∞)上单调递减可得f(x)在(0,+∞)上单调递减,C 正确; f(-3)=f(3)<f(2),D错误; 因为f(x)是偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以当x<0时, f(x)单调递增, 所以f(x)的最大值为f(0)=0,B正确. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[多选题][2026广东粤东四校期中联考]已知函数f(x)= ,则 ( ) A.当a=0时, f(x)为偶函数 B. f(x)既有最大值又有最小值 C. f(x)在(-∞,a]上单调递增 D. f(x)的图象恒过定点     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　选项A,当a=0时, f(x)= ,定义域为R, 因为f(-x)= = =f(x),所以f(x)为偶函数,因此A正确; 选项B,因为y=-x2+2ax=-(x-a)2+a2≤a2,所以0< ≤ ,则f(x)有最大值,没有最小值,因此B错误; 选项C,因为y=-x2+2ax在(-∞,a]上单调递增,在[a,+∞)上单调递减,且y=2x在R上单调递增, 所以f(x)在(-∞,a]上单调递增,在[a,+∞)上单调递减,因此C正确; 选项D,当x=0时, f(0)=20=1,所以f(x)的图象恒过定点(0,1),因此D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026内蒙古呼和浩特第一中学月考]已知函数f(x)=x2-2x,g(x)= -m,若对任意的x1∈[0,1],总存在x2 ∈[-1,4],使得g(x1)≤f(x2)成立,则m的取值范围是 (　　　 ) A. 　　　     B.  C.[-7,+∞)　　　    D.[2,+∞)     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　若对任意的x1∈[0,1],总存在x2∈[-1,4],使得g(x1)≤f(x2)成立,则g(x)在[0,1]上的最大值小于或等于 f(x)在[-1,4]上的最大值. 易知g(x)= -m在[0,1]上单调递减, 所以g(x)max=g(0)= -m=1-m. 易知f(x)=x2-2x在[-1,1]上单调递减,在[1,4]上单调递增,又f(-1)=(-1)2-2×(-1)=3, f(4)=42-2×4=8,所以f(x)max= 8,所以1-m≤8,解得m≥-7,即m的取值范围是[-7,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2025山东枣庄检测]已知f(x)= 是定义在R上的奇函数. (1)求b的值; (2)若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得f(0)=0,即 =0,解得b=1, 当b=1时, f(x)= = · ,定义域为R,关于原点对称,且f(-x)= · = · =- · =-f(x),∴f(x) 为奇函数,满足题意,故b=1. (2)由(1)可得f(x)= = - . 任取x1,x2∈R且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)= - = , ∵ > >0,∴f(x1)-f(x2)>0, ∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在R上单调递减. ∵f(x)是奇函数, ∴f(1-a)+f(1-a2)<0等价于f(1-a)<-f(1-a2)=f(a2-1),∴a2-1<1-a,解得-2<a<1. 故实数a的取值范围是(-2,1). 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2026福建厦门期中]已知函数f(x)=2x+a-2a-x的图象经过点P(2,15). (1)求a的值; (2)求不等式f(3x2)+f(-2x-1)>0的解集; (3)若∀x∈(0,+∞), f >6成立,求实数m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为函数f(x)的图象经过点P(2,15),所以22+a-2a-2=15,解得a=2. (2)由(1)得f(x)=2x+2-22-x,其定义域为R, f(-x)=2-x+2-22+x=-f(x),故f(x)为奇函数. 因为y=2x+2单调递增,y=22-x单调递减,所以f(x)单调递增, 故f(3x2)+f(-2x-1)>0等价于f(3x2)>-f(-2x-1),即f(3x2)>f(2x+1), 所以3x2>2x+1,解得x>1或x<- ,因此原不等式的解集为 ∪(1,+∞). (3)由f(x)=2x+2-22-x可得f(1)=6. 故f >6等价于f x+ +m >f(1),因为f(x)在R上单调递增,所以不等式等价于x+ +m>1在x∈(0, +∞)上恒成立, 因为x+ +m≥2 +m=4+m,当且仅当x=2时等号成立, 所以4+m>1,即m>-3,故实数m的取值范围是(-3,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　指数(型)函数的实际应用 16.[2025北京朝阳期中]某种灭活疫苗的有效保存时间T(单位:h)与储藏温度t(单位:℃)满足函数关系T= ekt+b(k,b为常数,e=2.718 28…).已知该疫苗在0 ℃时的有效保存时间是1 440 h,在5 ℃时的有效保存时间 是360 h,则该疫苗在10 ℃时的有效保存时间是__________h.     90     解析　由题意,得 解得 当t=10时,T=e10k+b=(e5k)2·eb= ×1 440=90,故该疫苗在10 ℃ 时的有效保存时间是90 h. 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2025江西南昌检测]科学家证实人体内某种病毒含量达到A0(A0>0,且A0为常数)时,人会得某种疾病, 一种药物对该病毒有抑制作用,服用这种药物后,人体内该病毒的含量y与服用的年数x之间满足关系式 y=A0ax(a>0且a≠1),2022年年初一位患者体内该种病毒的含量恰好为A0,该患者开始服用药物,到2024年 年初患者体内该病毒的含量为 A0,则y与x的函数关系式为___________________;在医学上,当人体内该病 毒的含量不超过 A0时,称作该病痊愈,则该患者需坚持服用药物到____________年年初该病可痊愈(填年 份).     y=  ·A0(x>0)         2026     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得 A0=A0a2,解得a= 或a=- (舍去),所以y= ·A0(x>0). 由题意得 ·A0≤ A0,即 ≤ ,因为y= 在R上是减函数,所以x≥4,故该患者需坚持服用药物 到2026年年初该病可痊愈. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 4.1　指数与指数函数 4.1.2　指数函数的性质与图象 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　指数(型)函数的图象 1.[2024浙江宁波期中]如图所示,函数y=|2x-2|的图象是 (　　　 )  A  B  C  D     B     解析　∵y=|2x-2|= ∴当x=1时,y=0, 当x>1时,函数y=2x-2单调递增,且y>0,当x<1时,函数y=2-2x单调递减,且y>0.故B满足题意. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025山东济宁嘉祥一中月考]已知函数y=a·e-|x|+b的图象过原点,且无限接近于直线y=2但又不与该直 线相交,则ab=_________.     4     解析　∵函数y=a·e-|x|+b的图象过原点,∴a+b=0①, 当x趋近于+∞时,|x|趋近于+∞,当x趋近于-∞时,|x|趋近于+∞,e-|x|= 趋近于0, f(x)趋近于b, 再结合题意,得b=2②, 由①②得a=-2,b=2,则ab=(-2)2=4. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026上海宝山期中]若指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象和函数g(x)=3x+5(x≥-1)的图象相交,则a的 取值范围是________________.      ∪(1,+∞)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当a>1时,指数函数f(x)=ax在R上单调递增,由图象知, f(x)的图象和g(x)的图象一定会相交.   当0<a<1时,指数函数f(x)=ax在R上单调递减,所以要使f(x)的图象与g(x)的图象相交,只需a-1≥g(-1)=3×(- 1)+5=2即可,可得0<a≤ .所以a的取值范围为 ∪(1,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　指数(型)函数的性质及其应用 4.[多选题][2026四川成都双流中学月考]已知函数f(x)= ,则下列结论正确的是 (　　　　) A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞) C. f(-x)+f(x)=0 D.函数f(x)为减函数     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于函数f(x)= ,由3x-1≠0,解得x≠0,所以函数的定义域为{x|x≠0},因此A错误; f(x)= = =1+ ,易知3x>0,当3x-1>0时, >0,则f(x)>1, 当-1<3x-1<0时, <-2,则f(x)<-1,所以函数f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞),因此B正确; f(-x)+f(x)= + = + = + =0,因此C正确; 当x>0时, f(x)>0,当x<0时, f(x)<0,所以f(x)不是减函数,因此D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026福建龙岩第二中学月考]已知定义在R上的偶函数f(x)对任意x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2)都有  >0,若a=20.3,b= ,c=3-0.5,则(　　　 ) A.f(-a)>f(b)>f(c)　　　    B.f(c)>f(-b)>f(a) C.f(b)>f(a)>f(-c)　　　    D.f(c)>f(-a)>f(-b)     D     解析　由题意可知,当x1<x2<0时,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在区间(-∞,0)上单调 递增,因为函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减. a=20.3>20=1,b= =20.5>20.3=a,0<c=3-0.5<30=1,所以b>a>c>0,所以f(b)<f(a)<f(c), 由函数f(x)是偶函数,可得f(c)>f(-a)>f(-b). 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2025吉林长春期中]若函数f(x)=1- (a>0且a≠1)为奇函数,则下列结论正确的是  (　　　　) A.a=2 B.f(x)在R上是减函数 C.f(x)的值域为(0,1) D.f(x)的值域为(-1,1) AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于函数f(x)=1- (a>0且a≠1),因为a>0且a≠1,所以2ax+a>0恒成立,所以f(x)的定义域为R, 又因为f(x)为奇函数,所以f(0)=1- =0,解得a=2, 此时f(x)=1- ,则f(-x)=1- =1- =1- =-1+ =-f(x), 故f(x)为奇函数,满足题意,所以a=2,A正确; 因为y=2x+1在R上是增函数,所以y= 在R上是减函数,所以y=- 在R上是增函数,所以f(x)=1-  在R上是增函数,B错误; 因为2x>0,所以2x+1>1,所以0< <1,所以0< <2,所以-2<- <0,所以-1<1- <1,所以f(x)的值 域为(-1,1),C错误,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026福建厦门期中]已知定义在R上的偶函数f(x)与奇函数g(x)满足f(x)-g(x)=2x.若∀x∈(0,1], f(2x)+ ag(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是_______________.     (-∞,2 ]     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由f(x)-g(x)=2x,可得f(-x)-g(-x)=2-x, 由已知得f(x)=f(-x),g(x)=-g(-x),故f(x)+g(x)=2-x, 联立  解得f(x)= ,g(x)= , 由不等式f(2x)+ag(x)≥0,可得 +a· ≥0, 即22x+2-2x+a(2-x-2x)≥0, (方法技巧:22x+2-2x与2-x-2x的关系是22x+2-2x=(2-x-2x)2+2,可采用换元法解决不等式问题) 转化为(2x-2-x)2-a(2x-2-x)+2≥0, 设t=2x-2-x,x∈(0,1],易知函数t=2x-2-x单调递增,故t∈ ,则t2-at+2≥0在t∈ 上恒成立, 第1讲　描述运动的基本概念 (方法技巧:变量分离解决不等式恒成立问题,分离后利用基本不等式求最小值) 即a≤ =t+ 在t∈ 上恒成立, 因为t+ ≥2 =2 ,当且仅当t= ,即t= 时,等号成立, 所以a≤2 ,所以实数a的取值范围为(-∞,2 ]. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025辽宁沈阳东北育才中学期中]已知函数f(x)=2x+k·2-x是定义在R上的奇函数. (1)已知f(x)在(-∞,0)上单调递增. ①判断f(x)在(0,+∞)上的单调性(直接写结果,无需证明); ②若对任意x∈R,不等式f(x2+mx)+f(4-x)>0恒成立,求m的取值范围; (2)设函数g(x)=4x+4-x-2f(x),求g(x)在[1,+∞)上的最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)①函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,理由如下: ∵函数f(x)=2x+k·2-x是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,即1+k=0,解得k=-1, 当k=-1时, f(x)=2x-2-x,则f(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,满足题意,∴k=-1. 又∵f(x)在(-∞,0)上单调递增, ∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②易知f(x)在R上单调递增,且为奇函数, ∴f(x2+mx)+f(4-x)>0等价于f(x2+mx)>-f(4-x), 即f(x2+mx)>f(x-4),即x2+mx>x-4, 即x2+(m-1)x+4>0对任意x∈R恒成立, ∴(m-1)2-16<0,解得-3<m<5, ∴m的取值范围是(-3,5). 第1讲　描述运动的基本概念 (2)由题意得g(x)=4x+4-x-2(2x-2-x),x∈[1,+∞), 令t=2x-2-x,则4x+4-x=(2x-2-x)2+2=t2+2,则4x+4-x-2(2x-2-x)=t2-2t+2, 当x∈[1,+∞)时,t∈ . 令h(t)=t2-2t+2,t∈ ,易知二次函数h(t)的图象开口向上,对称轴为直线t=1, ∴h(t)在区间 上单调递增, ∴h(t)min=h = -2× +2= , 即g(x)在[1,+∞)上的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026山东淄博期中]已知函数f(x)=4x+a·2x+1,g(x)= . (1)当a=1时,方程f(x)=k在x∈(-∞,0)上有解,求实数k的取值范围; (2)若存在常数M>0,使得对任意x∈A,A⊆R,均有|x|≤M,则称A为有界集合,同时称M为集合A的上界. (i)设A={y|y=f(x),x∈(-∞,0]}是以2为上界的有界集合,求实数a的取值范围; (ii)若m>0,则B={y|y=g(x),x∈[0,1]}是不是有界集合?若是,求出集合B的上界M(m)的最小值;若不是,请说 明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当a=1时, f(x)=4x+2x+1,易知f(x)在(-∞,0)上单调递增, ∴函数y=f(x)在(-∞,0)上的值域为(1,3),故k的取值范围为(1,3). (2)(i)令t=2x,x∈(-∞,0],则t∈(0,1], 由题意可得,|f(x)|≤2在x∈(-∞,0]上恒成立(关键点), 则|t2+at+1|≤2在t∈(0,1]上恒成立, ∴-2≤t2+at+1≤2,即-t- ≤a≤-t+ ,t∈(0,1]. 易知y=-t+ 在(0,1]上单调递减,则ymin=0, 根据对勾函数的性质可知y=-t- 在(0,1]上单调递增,则ymax=-4. 综上所述,-4≤a≤0,因此实数a的取值范围是[-4,0]. (ii)集合B是有界集合.g(x)= = -1, 第1讲　描述运动的基本概念 (方法技巧:分式型指数复合函数,将分子化为常数,有利于解决函数的单调性与值域问题) ∵m>0,∴g(x)在[0,1]上单调递减, ∴g(1)≤g(x)≤g(0),即 ≤g(x)≤ , (关键点:求出函数的值域,利用“有界集合”的“新定义”求出M(m)) 当 ≥ ,即0<m≤ 时,|g(x)|≤ , 当 < ,即m> 时,|g(x)|≤ , ∴M(m)=  第1讲　描述运动的基本概念 整理得M(m)=  当0<m≤ 时,易知函数M(m)单调递减,所以最小值为M = -1=3-2 . 当m> 时,易知函数M(m)单调递增,所以M(m)>1- =3-2 . 所以M(m)的最小值为3-2 . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　与指数函数性质有关的新定义问题 10.[2025福建福州期中]已知函数g(x)=ax2-2ax+b(a>0)在区间[2,3]上的最大值为5,最小值为2,记f(x)= g(|x|). (1)求实数a,b的值; (2)若不等式f(2k-2)>f(2)成立,求实数k的取值范围; (3)已知定义在[p,q]上的函数m(x),用分法T:p=x0<x1<…<xn=q(n∈N*)将区间[p,q]任意划分成n个小区间, 若存在一个常数M>0,使得 |m(xt)-m(xt-1)|≤M恒成立,则称函数m(x)是[p,q]上的有界变差函数.试判断函 数f(x)是不是[1,4]上的有界变差函数,若是,求出M的最小值;若不是,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易知g(x)的图象开口向上,对称轴方程为x=1,所以g(x)在[2,3]上单调递增,所以当x∈[2,3]时, g(x)max=g(3)=5,g(x)min=g(2)=2, 即 解得  (2)由(1)知,g(x)=x2-2x+2, 则f(x)=g(|x|)=x2-2|x|+2=  因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=x2-2|x|+2=f(x),所以f(x)为偶函数. 作出函数f(x)的图象,如图,   第1讲　描述运动的基本概念 由图可知,不等式f(2k-2)>f(2)等价于|2k-2|>2, 即2k-2>2或2k-2<-2,解得k>2, 所以实数k的取值范围是(2,+∞). (3)f(x)是[1,4]上的有界变差函数. 由(2)知函数f(x)在[1,4]上单调递增,所以当x∈[1,4]时, f(x)min=f(1)=1, f(x)max=f(4)=10, 所以对任意分法T:1=x0<x1<…<xn=4,有f(1)=f(x0)<f(x1)<…<f(xn)=f(4), 所以 |f(xt)-f(xt-1)|=f(x1)-f(x0)+f(x2)-f(x1)+…+f(xn)-f(xn-1)=f(xn)-f(x0)=f(4)-f(1)=9, 所以当M≥9时, |f(xt)-f(xt-1)|≤M恒成立, 所以f(x)是[1,4]上的有界变差函数,且M的最小值为9. 第1讲　描述运动的基本概念 $