专题4.1.2 指数函数的性质与图象（高效培优讲义）数学人教B版2019高一必修第二册

专题4.1.2 指数函数的性质与图象 教学目标 1．理解指数函数定义及解析式特征 2．掌握指数函数的图象和性质（定义域、值域等） 3．能根据底数判断指数函数单调性及图象位置 教学重难点 重点：指数函数定义；图象与性质（单调性、定点） 难点：底数对指数函数图象和单调性的影响 知识点01 指数函数的定义 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1. （3）的系数是1. 【即学即练】 1．下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】只有符合指数函数的定义，A，B，D中函数都不符合（且）的形式． 故选：C 2．若指数函数的图象经过点，则的值为 . 【答案】3 【详解】因为指数函数的图象经过点， 所以，解得. 故答案为：3 知识点02 指数函数的图象和性质 1.指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 2．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 【即学即练】 1．已知函数（，）的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知函数（，）的图象经过点， ，解得， ∴， 依次代入各选项坐标： 当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：C. 2．已知集合，则A的子集的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【详解】集合，则的子集的个数有个. 故选：D． 题型01 指数函数的概念 【例1】下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 【例2】函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 【变式1-1】判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【详解】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件. 故选：D 【变式1-2】（多选）函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为函数是指数函数， 则，解得. 故选：ACD. 【变式1-3】若函数是指数函数，则 ． 【答案】4 【详解】因为指数函数，则， 由，可得或， 综上，. 故答案为：4 指数函数解析式的3个特征：（1）底数为大于0且不等于1的常数；（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1；（3）的系数是1. 题型02 求指数函数的解析式或函数值 【例3】已知指数函数的图象经过点，则 ． 【答案】4 【详解】由题意得，，解得. 故答案为：4. 【例4】（多选）已知指数函数满足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】设指数函数（且），于是，即，因此， 函数，A正确，B错误； 显然，C正确； 又，因此D正确. 故选：ACD 【变式2-1】已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为 ． 【答案】 【详解】设（且），将代入得，解得，负值舍去， 故该指数函数的解析式为. 故答案为： 【变式2-2】已知定义域为R的函数满足：①；②.则满足条件的的一个解析式为 . 【答案】 【详解】由，可知符合该性质的函数可以为指数函数（且），又因为，解得，所以满足条件的的一个解析式为. 故答案为：. 【变式2-3】设函数，其中且，且，，则的解析式为 . 【答案】 【详解】因为，， 所以， 因为且，所以解得， 所以， 故答案为： 题型03 指数函数的值域 【例5】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，则. 故选：C 【例6】若，其中，则的值域为 ． 【答案】 【详解】因，且在上单调递增，则， 因在上单调递增，则， 故的值域为. 故答案为： 【变式3-1】已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则函数的值域为 . 【答案】 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 又当时，，所以， 当时，由奇函数的对称性可知， 所以函数的值域为. 故答案为： 【变式3-2】已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A．-4 B．0 C．32 D．60 【答案】B 【详解】令，解得，故函数的定义域是， 令，由于，故， 则即为函数， 而， 当时，取最大值， 即函数的最大值是0， 故选：B 【变式3-3】已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为函数为增函数，所以当时，， 即函数在上的值域为， 又因为函数的值域为， 设函数在上的值域为A，则， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 题型04 指数函数的图象 【例7】当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于函数，令，解得， 则， 所以的图象恒过点． 故选：C. 【例8】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出函数的图象，如下图所示， 将的图象向左平移个单位得到图象. 故选：B 【变式4-1】已知函数（且）的图象经过定点，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】令，得，此时， 所以定点P的坐标为，即，，所以. 故选：C 【变式4-2】函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】由图象可知：，， 又由函数为减函数，可得． 故选：C． 【变式4-3】已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由二次函数（其中）的图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 处理指数函数图象问题的3个策略： （1）抓住指数函数的特殊点——定点； （2）巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)； （3）利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势． 题型05 指数（型）函数的单调性 【例9】设，，那么是（   ） A．奇函数且在上是增函数 B．偶函数且在上是减函数 C．奇函数且在上是减函数 D．偶函数且在上是增函数 【答案】D 【详解】因为， 所以该函数是偶函数， 当时，，此时函数单调递增， 故选：D 【例10】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数可看作由和复合而成， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为在上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”可知： 若要在上单调递增， 则需在上单调递增， 即，解得， 故选：A. 【变式5-1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，根据二次函数的单调性可知， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，根据“同增异减”可得， 函数的单调递减区间是. 故选：A. 【变式5-2】函数且是上的单调递减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-3】若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，又在R上单调递减， 所以要使在区间单调递增， 则在区间单调递减， 所以由的开口向上且对称轴为得，解得. 故选：D 关于指数型函数且的单调性由两点决定，一是底数还是；二是的单调性．它由两个函数复合而成，然后利用复合函数单调的性质解题 题型06 比较指数幂的大小 【例11】已知为大于1的正数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】C 【详解】， 在上是单调增函数， ，，充分性成立； ，，必要性成立. “”是“”的充要条件. 故选：C. 【例12】已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，，， 所以. 故选：A. 【变式6-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 函数是减函数， 所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B 【变式6-2】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 因为在上单调递减，且， 所以． 故选：C. 【变式6-3】若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是增函数， 所以，即， 又函数是减函数， 所以，所以， 故选：C. 题型07 解简单的指数不等式 【例13】函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】函数有意义，则， 解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 【例14】若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 【变式7-1】设集合，则集合（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得，则，而， 所以. 故选：C 【变式7-2】不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】不等式可化为，因为函数为增函数， 所以，移项整理为， 解得或． 所以原不等式的解集为． 故答案为：． 【变式7-3】解不等式：． 【答案】或 【详解】令，原不等式可化为：． 即，即， 解得或，所以或． 所以或， 由此得原不等式的解集为或． 题型08 指数函数的分类讨论 【例15】已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 由复合函数的单调性可知当时，在区间上单调递增， 所以只需，则，与矛盾； 当时，在区间上单调递减， 所以，即． 故的取值范围是． 故选：B 【例16】已知函数（且）． (1)当时，解不等式； (2)已知函数在上的最大值与最小值之差为，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1），，，即， 解得，故原不等式解集是； （2）①当时，在上单调递增， 则，， 所以，解得或（舍去）； ②当时，在上单调递减， 则，， 所以，解得或（舍去）； 综上所述；或. 【变式8-1】已知函数在区间上的最大值是7，则 . 【答案】或 【详解】设，又， 若，则， 函数， 对称轴为， 则，即时，， 解得或（舍）； 若时，， 函数， 对称轴为， 则，即时，， 解得或（舍）； 故答案为：或. 【变式8-2】已知且，解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【详解】当时，函数单调递增， 由得，即，解得或； 当时，函数单调递减， 由得，即，解得； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【变式8-3】已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的最值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，，设， 函数在上递减，在上递增，函数在上递减， 则函数在上递增，在上递减，，，， 所以当，时，，. （2）函数在上递减，在上递增 当时，函数在上递增，所以函数在上递减，在上递增， 又，则函数在区间上递增，故满足题意； 当时，函数在上递减，所以函数在上递增，在上递减， 又，若需满足题意，则，得. 综上，的取值范围是. 关于指数函数且中的值是不确定的，则需分和两种情况进行讨论 题型09 恒成立问题 【例17】已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【详解】（1）当时，， 令，易知其单调递增区间为，单调递减区间为. 又为增函数， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）恒成立，即恒成立， 所以，即恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【例18】已知函数，. (1)当时，求函数的值域； (2)如果对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题设，若，∴， 则对称轴为且开口向下，∴上单调递减，即， ∴的值域为； （2）由（1）知：在上恒成立，∴当时，， 即对任意都成立，当，即时， 恒成立， ∴， 当且仅当等号成立，∴仅需，即即可. ∴实数的取值范围. 【变式9-1】已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【答案】D 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，得， 从而由复合函数单调性可知在上单调递增， 又， 所以是定义在上的奇函数， 所以不等式等价于， 即等价于，亦即， 该不等式对任意恒成立，则不大于的最小值. 因为由对勾函数和复合函数单调性可知在区间上单调递增， 所以当时，的最小值为 所以，等号成立当且仅当.所以有最大值 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是先结合已知得到在上单调递增，从而将不等式等价变形为对任意恒成立，进而即可求解. 【变式9-2】已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为函数是奇函数， 的定义域关于原点对称， 由，则， 所以. （2）对任意实数，不等式恒成立，即恒成立， 设， 对任意实数且， ， 因为，所以，所以 所以函数在上单调递减； ，所以 . 【变式9-3】已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若在恒成立，求实数的范围 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，， 由，得，则，因此， 所以函数的值域是. （2），， 由（1）知，， ，当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的范围是. 一、单选题 1．下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由指数函数的定义可知，带有常数项，A错误； 与的系数都不为1，B错误，D错误； ，符合题意，C正确. 故选：C 2．设函数，是奇函数，则的值是（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【详解】因为是奇函数， 所以， 所以. 故选：A 3．已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【详解】解：函数 因为已知图象连续，且不恒等于1，所以且 当时,,其图象大致为： 当时，,其图象大致为： 因为函数的图象在第一象限单调递增，所以. 当时，其图象大致为： 当时，其图象为： 当时，其图象大致为： 对照已知图象，可得：且 故选：B. 4．已知函数，则“”是“为奇函数”的（   ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】若为奇函数，则， 所以，即恒成立， 所以. 综上，“”是“为奇函数”的充要条件. 故选：C 5．已知函数若，则实数a等于（    ） A． B． C．2 D．9 【答案】C 【详解】因为，所以， ，所以，得． 故选：C． 6．已知不等式成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 即 ，即 ，故不等式的解集为 ， 故选：D. 7．已知函数，则图象上关于原点对称的点有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】B 【详解】 如图所示，当时，，其关于原点对称后的图像为， 易知与有两个交点，即上有两个点，中心对称后在上； 故选：B. 8．已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 二、多选题 9．（多选）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于AD，， 而，故A正确，D错误； 对于B，∵，又， ∴，故B正确； 对于C，∵， 又， ∴，故C正确． 故选：ABC. 10．已知函数且在区间上单调递增，则实数的取值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】当且时，函数单调递减， 则要使在区间上单调递增，则函数为减函数， 所以，，解得， 故选：ABC. 11．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，则（   ）    A． B．第4个月时，浮萍面积超过 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．浮萍每月的增长率为2 【答案】ABD 【详解】由图可知，函数过点，将其代入解析式，可得，A正确； 所以，可得第4个月的浮萍面积为，超过了，B正确； 前3个月的浮萍面积，分别为，，， 从前3个月浮萍面积可看出，每月增加的面积不相等，C不正确； 每月增长率为，故每月增长率为2，，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．已知函数，则 . 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为： 13．已知函数的最大值为2025，则的值为 . 【答案】/ 【详解】令， 因为单调递减，又因为函数的最大值为2025， 则的最小值为， 所以，且当时，，即， 解得或（舍去），所以. 故答案为：. 14．（1）函数的单调递增区间是 ． （2）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】（1）函数的定义域满足，即． 设， 则根据幂函数和二次函数的单调性可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 又∵指数函数在其定义域内为减函数， ∴由复合函数的单调性可知的单调递增区间为． （2）将原函数拆解为外层函数和内层函数， 其中内层函数为二次函数，其图象开口向上，且对称轴为 外层函数是增函数， ∵是上的增函数， ∴，即， ∴实数的取值范围为． 故答案为：；． 四、解答题 15．已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点，则， 解得，因此，． （2），令，因为，则， 令， 当时，函数单调递减，此时，， 当时，函数单调递增，此时，， 故当时，， 又因为，故， 所以，函数在上的值域为． 16．已知函数的图象过点，且无限接近直线但又不与该直线相交． (1)求的解析式； (2)设函数，在平面直角坐标系中画出的图象，并根据图象写出该函数的单调递增区间． 【答案】(1)； (2)作图见解析，递增区间为. 【详解】（1）当x无限减小时，无限接近0，但不会等于0， 由题设，因为的图象无限接近直线但又不与该直线相交，所以． 由，得，解得，故； （2）由（1）知，图象如下：    由图知，该函数的单调递增区间为. 17．已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 令，， 由二次函数的图象和性质，当时，取得最小值， 当时，，则， 所以，即在上的值域为. （2）令，其图象的对称轴为直线，开口向上， 当时，为减函数， 要使函数在上单调递增， 则需满足在上单调递减，即， 解得，则； 当时，为增函数， 要使函数在上单调递增， 则需满足在上单调递增，即， 解得，则. 综上，实数的取值范围是. 18．已知定义在上的函数是奇函数. (1)求，的值，并判断函数的单调性； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，在上是减函数 (2) 【详解】（1）是定义在上的奇函数，，解得； ，， ，即对一切实数都成立，，故. ，，在上是减函数. 证明：任取，且，则， ，，，，， 即，在上是减函数； （2）不等式，，， 是上的减函数，恒成立， 由对恒成立，. 即实数的取值范围为. 19．已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数、的解析式； (2)设，，对于，都有，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）因为①，所以， 是偶函数，是奇函数，故， 故②， 故①+②得，则， （2）对于，都有，使得， 则在R上的值域为在上的值域的子集， 其中， 因为，，， 所以在R上的值域为， ， 令，显然在上单调递增， 所以， 故， 当时，取得最小值，最小值为， 故在上的值域为， 所以，故，解得. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1.2 指数函数的性质与图象 教学目标 1．理解指数函数定义及解析式特征 2．掌握指数函数的图象和性质（定义域、值域等） 3．能根据底数判断指数函数单调性及图象位置 教学重难点 重点：指数函数定义；图象与性质（单调性、定点） 难点：底数对指数函数图象和单调性的影响 知识点01 指数函数的定义 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为______ 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于______的常数．（2）自变量的位置在______上，且的系数是______. （3）的系数是1. 【即学即练】 1．下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若指数函数的图象经过点，则的值为 . 知识点02 指数函数的图象和性质 1.指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 ______ 定点 过定点 单调性 是R上的______函数 是R上的______函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点______，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 2．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由______变______，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 【即学即练】 1．已知函数（，）的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则A的子集的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 题型01 指数函数的概念 【例1】下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【例2】函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【变式1-2】（多选）函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】若函数是指数函数，则 ． 指数函数解析式的3个特征：（1）底数为大于0且不等于1的常数；（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1；（3）的系数是1. 题型02 求指数函数的解析式或函数值 【例3】已知指数函数的图象经过点，则 ． 【例4】（多选）已知指数函数满足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为 ． 【变式2-2】已知定义域为R的函数满足：①；②.则满足条件的的一个解析式为 . 【变式2-3】设函数，其中且，且，，则的解析式为 . 题型03 指数函数的值域 【例5】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例6】若，其中，则的值域为 ． 【变式3-1】已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则函数的值域为 . 【变式3-2】已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A．-4 B．0 C．32 D．60 【变式3-3】已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 题型04 指数函数的图象 【例7】当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 【例8】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知函数（且）的图象经过定点，则（    ） A． B． C． D．3 【变式4-2】函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-3】已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 处理指数函数图象问题的3个策略： （1）抓住指数函数的特殊点——定点； （2）巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)； （3）利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势． 题型05 指数（型）函数的单调性 【例9】设，，那么是（   ） A．奇函数且在上是增函数 B．偶函数且在上是减函数 C．奇函数且在上是减函数 D．偶函数且在上是增函数 【例10】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】函数且是上的单调递减函数，则的取值范围是 . 【变式5-3】若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 关于指数型函数且的单调性由两点决定，一是底数还是；二是的单调性．它由两个函数复合而成，然后利用复合函数单调的性质解题 题型06 比较指数幂的大小 【例11】已知为大于1的正数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【例12】已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】若，，，则（    ） A． B． C． D． 题型07 解简单的指数不等式 【例13】函数的定义域为 ． 【例14】若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】设集合，则集合（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】不等式的解集为 ． 【变式7-3】解不等式：． 题型08 指数函数的分类讨论 【例15】已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例16】已知函数（且）． (1)当时，解不等式； (2)已知函数在上的最大值与最小值之差为，求实数的值． 【变式8-1】已知函数在区间上的最大值是7，则 . 【变式8-2】已知且，解关于的不等式：． 【变式8-3】已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的最值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 关于指数函数且中的值是不确定的，则需分和两种情况进行讨论 题型09 恒成立问题 【例17】已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 【例18】已知函数，. (1)当时，求函数的值域； (2)如果对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式9-1】已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【变式9-2】已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式9-3】已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若在恒成立，求实数的范围 一、单选题 1．下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．设函数，是奇函数，则的值是（   ） A． B． C． D．8 3．已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 4．已知函数，则“”是“为奇函数”的（   ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 5．已知函数若，则实数a等于（    ） A． B． C．2 D．9 6．已知不等式成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，则图象上关于原点对称的点有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 8．已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数且在区间上单调递增，则实数的取值可能是（   ） A． B． C． D． 11．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，则（   ）    A． B．第4个月时，浮萍面积超过 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．浮萍每月的增长率为2 三、填空题 12．已知函数，则 . 13．已知函数的最大值为2025，则的值为 . 14．（1）函数的单调递增区间是 ． （2）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域 16．已知函数的图象过点，且无限接近直线但又不与该直线相交． (1)求的解析式； (2)设函数，在平面直角坐标系中画出的图象，并根据图象写出该函数的单调递增区间． 17．已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 18．已知定义在上的函数是奇函数. (1)求，的值，并判断函数的单调性； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数、的解析式； (2)设，，对于，都有，使得，求实数的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $