第4章 §4.5 增长速度的比较（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦函数的平均变化率及指数、对数、线性函数模型的增长差异，先通过平均变化率的定义、计算及几何意义构建函数变化快慢的描述基础，再对比三种模型的增长特点，形成从概念到应用的学习支架。 以投资方案问题导入，引导学生用数学眼光观察现实世界。通过实例计算平均变化率培养数学思维，结合表格、图象比较函数增长体现数学语言。课中问题驱动提升教学效果，课后练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

学习目标　1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解线性增长、爆炸式增长、对数增长等增长的含义.3.能根据具体问题选择合适的函数模型. 导语 同学们，如果你现在手里有一笔资金可以用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报是这样的：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？为了解决这个问题，让我们一起开始今天的探究吧！ 一、平均变化率 问题1　如图，请分别计算两个函数在x=1和x=2处的函数值，你能判断两个函数在区间[1，2]上函数值增加的快慢吗？ 提示　第一个f(1)=1，f(2)=，第二个f(1)=1，f(2)=8，显然第二个f(2)- f(1)大，函数值增加的快. 知识梳理 函数y=f(x)从x1到x2(x1≠x2)的平均变化率 (1)定义式：=. (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x1>x2时)上变化的快慢. (4)平均变化率的几何意义 设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y=f(x)上的任意不同的两点， 函数y=f(x)的平均变化率==为直线AB的斜率，如图所示. 注意点： Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx=x2-x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负. 例1　(课本例1)已知函数y=2x，分别计算函数在区间[1，2]与[2，3]上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律. 解　设1≤x1<x2≤2，因为 ==， 所以y=2x在区间[1，2]上的平均变化率为=2； y=2x在区间[2，3]上的平均变化率为=4. 不难看出，当自变量每增加1个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快. 例1　(1)在x=1附近，取Δx=0.3，下列四个函数中，平均变化率最大的是(　　) A.y=x B.y=x2 C.y=x3 D.y= (2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速率分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系(由大到小)为　　　　.  答案　(1)C　(2)v3>v2>v1 解析　(1)Δx=0.3时，y=x在x=1附近的平均变化率k1=1；y=x2在x=1附近的平均变化率k2=2+Δx=2+0.3=2.3；y=x3在x=1附近的平均变化率k3=3+3Δx+(Δx)2=3+3×0.3+0.32=3.99；y=在x=1附近的平均变化率k4=-=-.所以k3>k2>k1>k4. (2)v1==kOA， v2==kAB， v3==kBC， 又因为kBC>kAB>kOA，所以v3>v2>v1. 反思感悟　求平均变化率的主要步骤 (1)求Δy=f(x2)-f(x1). (2)求Δx=x2-x1. (3)求平均变化率=. 跟踪训练1　(1)已知函数f(x)=x2在x0与x0+Δx之间的平均变化率为k1，在x0-Δx与x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是(　　) A.k1<k2 B.k1>k2 C.k1=k2 D.无法确定 答案　D 解析　k1==2x0+Δx， k2==2x0-Δx， 又Δx可正可负且不为零， 所以k1，k2的大小关系不确定. (2)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是(　　) A.在0到t0范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率 B.在0到t0范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率 C.在t0到t1范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率 D.在t0到t1范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率 答案　C 解析　由图象知，在0到t0范围内v甲=v乙=，所以A，B错误； 在t0到t1范围内，v甲=，v乙=. 因为s2-s0>s1-s0，t1-t0>0， 所以v甲>v乙.所以C正确，D错误. 二、几种常见函数模型的增长差异的比较 问题2　你能根据函数 y=2x，y=log2x，y=2x的图象，看出这三个函数图象的变化情况吗？函数的增长速度又如何？ 提示　(1)y=2x随x的增大逐渐变“陡峭”； (2)y=log2x随x的增大逐渐变 “平缓”； (3)y=2x随x的增大匀速上升. y=2x的增长速度快于y=2x，y=2x的增长速度快于y=log2x. 知识梳理　三种常见函数模型的增长差异 　　函数 性质　　 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0) 在(0，+∞)上 的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡峭” 随x的增大逐渐变“平缓” 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 注意点： 不同函数增长速度的比较方法 (1)计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率. (2)判断随着x的变化图象逐渐变“陡峭”还是变“平缓”. 例2　(课本例2)已知函数f(x)=2x，g(x)=x，h(x)=log2x，分别计算这三个函数在区间[a，a+1](a>1)上的平均变化率，并比较它们的大小. 解　因为==2a， ==1， ==log2， 又因为a>1时，有2a>21=2>1， log2<log2=1， 所以在区间[a，a+1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的最小. 例2　f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x，当x∈(4，+∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x) 答案　B 解析　由函数性质可知，在区间(4，+∞)上，指数函数g(x)=2x增长最快，对数函数h(x)=log2x增长最慢，所以g(x)>f(x)>h(x). 反思感悟　常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型：线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变. (2)指数函数模型：指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型：对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓. (4)幂函数模型：幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间. 跟踪训练2　(1)已知x∈(10，+∞)，下列函数中，函数值随x的增大而增大，且函数值增长速度最快的是(　　) A.y=10ex B.y=10ln x3 C.y=x10 D.y=10·2x 答案　A 解析　因为e>2，所以10ex比10·2x增长速度快. (2)四个变量y1，y2，y3，y4随自变量x变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于x呈指数增长的变量是　　　　.  答案　y2 解析　从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数增长. 三、指数函数、对数函数与一次、二次函数模型的比较 例3　函数f(x)=2x(x≥0)和g(x)=x2(x≥0)的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)求点A，B的坐标； (3)结合函数图象，判断f(3)，g(3)，f(2 025)，g(2 025)的大小. 解　(1)C1对应的函数为g(x)=x2(x≥0)，C2对应的函数为f(x)=2x(x≥0). (2)因为f(2)=4，g(2)=4，f(4)=16，g(4)=16， 所以A(2，4)，B(4，16). (3)由两函数图象和(2)可知， 当0<x<2时，f(x)>g(x)， 当2<x<4时，f(x)<g(x)， 当x>4时，f(x)>g(x)， 所以f(2 025)>g(2 025)，f(3)<g(3)， 又因为g(x)在[0，+∞)上为增函数， 所以g(2 025)>g(3)， 故f(2 025)>g(2 025)>g(3)>f(3). 反思感悟　指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法 (1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断. (2)根据图象判断指数函数、对数函数和二次函数的增长速度时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象变“陡峭”的函数是指数函数；图象趋于“平缓”的函数是对数函数. 跟踪训练3　函数f(x)=lg x，g(x)=0.3x-1的图象如图所示. (1)指出曲线C1，C2分别对应题中哪一个函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较). 解　(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1， C2对应的函数为f(x)=lg x. (2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)； 当x∈(x2，+∞)时，g(x)>f(x). 1.知识清单： (1)平均变化率. (2)三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型. 2.方法归纳：数学建模. 3.常见误区：不理解三种函数增长的差异. 1.函数y=2x在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率为(　　) A.x0+Δx B.1+Δx C.2+Δx D.2 答案　D 解析　由题意，可得平均变化率 ==2. 2.下列函数中，x∈(1，+∞)，增长速度最快的是(　　) A.y=2 025x B.y=x2 025 C.y=log2 025x D.y=2 025x 答案　A 解析　比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快. 3.y1=2x，y2=x2，y3=log2x，当2<x<4时，有(　　) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1 答案　B 解析　在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2，4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2=x2，y1=2x，y3=log2x，故y2>y1>y3. 4.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5~8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.下列几个模拟函数(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)，用来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系最合适的函数模型是(　　) A.y=ax2+bx B.y=kx+b C.y=logax+b D.y=ax+b 答案　A 解析　用A来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.而BCD表示的函数在区间上是单调函数，所以BCD都不合适，故用A来模拟比较合适. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.函数y=x2+1在[1，1+Δx]上的平均变化率是(　　) A.2 B.2x C.2+Δx D.2+(Δx)2 答案　C 解析　依题意，所求平均变化率为 =2+Δx. 2.下列函数中，y随x的增大增长速度最快的是(　　) A.y=×3x B.y=100 ln x C.y=x100 D.y=100·2x 答案　A 解析　指数函数y=ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，故选A. 3.如果函数y=ax+b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a的值为(　　) A.-3 B.2 C.3 D.-2 答案　C 解析　根据平均变化率的定义， 可知==a=3. 4.在某试验中，测得变量x和变量y之间的对应数据如表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y -1.01 0.01 0.98 2.00 则下列函数中，最能反映变量x和y之间的变化关系的是(　　) A.y=2x B.y=x2-1 C.y=2x-2 D.y=log2x 答案　D 解析　将x=0.50，y=-1.01代入计算，可以排除A； 将x=2.01，y=0.98代入计算，可以排除B，C； 将各数据代入函数y=log2x，可知满足题意. 5.函数f(x)=lox与g(x)=在区间(0，+∞)上的衰减情况为(　　) A.f(x)的衰减速度越来越慢， g(x)的衰减速度越来越快 B.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢 C.f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢 D.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快 答案　C 解析　在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象如图所示， 由图象可判断出衰减情况为在(0，+∞)上f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢. 6.(多选)A，B两公司开展节能活动，活动开始后两公司的用电量WA(t)，WB(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有(　　) A.两公司节能效果一样好 B.A公司比B公司节能效果好 C.A公司的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B公司的用电量在[0，t0]上的平均变化率大 D.A公司与B公司自节能以来平均变化率都小于0 答案　BD 解析　由题图可知，A公司所对应的图象比较陡峭，B公司所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A公司比B公司节能效果好. 7.(5分)已知函数f(x)=3x，g(x)=2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为　　　　.  答案　f(x)>g(x) 解析　在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=3x，g(x)=2x的图象，如图所示，由于函数f(x)=3x的图象始终在函数g(x)=2x图象的上方，则f(x)>g(x). 8.(5分)函数y=x2在x=1，2，3附近的平均变化率中，在x=　　　　附近的平均变化率最大.  答案　3 解析　在x=1附近的平均变化率为 ===2+Δx； 在x=2附近的平均变化率为 ===4+Δx； 在x=3附近的平均变化率为 ===6+Δx. 对任意Δx有，k1<k2<k3， ∴在x=3附近的平均变化率最大. 9.(10分)已知函数f(x)=2x2+3，g(x)=2x2+x，h(x)=2x2-x，分别计算这三个函数在区间[2，3]上的平均变化率，并比较它们的大小. 解　因为= ===10， ===11， ===9， 11>10>9，因此在区间[2，3]上，g(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小. 10.(11分)已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x+3. (1)计算函数f(x)及g(x)在区间[-3，-1]上的平均变化率，并比较它们的大小；(6分) (2)求使f(1+Δx)<g(1+Δx)的Δx的取值范围.(5分) 解　(1)函数f(x)在[-3，-1]上的平均变化率为 ==2， 函数g(x)在[-3，-1]上的平均变化率为=1， 因为2>1，所以函数f(x)在[-3，-1]上的平均变化率大于g(x)在[-3，-1]上的平均变化率. (2)f(1+Δx)=3+2Δx， g(1+Δx)=4+Δx， 由f(1+Δx)<g(1+Δx)，解得Δx<1， 即Δx的取值范围是. 11.下列函数中，在区间[2，4]上的平均变化率最大的是(　　) A.y= B.y=x3 C.y=2x D.y=x 答案　B 解析　对于函数y=x，其在区间[2，4]上的平均变化率为=1；对于函数y=x3，其在区间[2，4]上的平均变化率为=28；对于函数y=2x，其在区间[2，4]上的平均变化率为=6；对于函数y=，其在区间[2，4]上的平均变化率为=-. 12.如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是(　　) 答案　B 解析　开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后水槽中水面上升速度先快后慢，与B选项图象相吻合. 13.(多选)如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，两人走同一条线路，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的信息，其中正确的是(　　) A.骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h B.骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动 C.骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者 D.骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样 答案　ABC 解析　看时间轴易知A正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，故B正确；两函数图象的交点的横坐标对应于4.5，故C正确，D错误. 14.(5分)已知函数f(x)=x2，g(x)=3x，h(x)=ln x，这三个函数在区间[a，a+1](a>1)上的平均变化率由大到小的顺序为　　　　　　.  答案　f(x)>g(x)>h(x) 解析　因为==2a+1， ==3， ==ln， 又因为a>1，所以2a+1>2×1+1=3， ln<ln=ln 2<ln e=1<3， 因此，在区间[a，a+1]上，平均变化率由大到小的顺序为f(x)>g(x)>h(x). 15.已知函数y=x3-2的图象上一点(1，-1)及邻近一点(1+Δx，-1+Δy)，则等于(　　) A.3 B.3+(Δx)2 C.3+3Δx D.3+3Δx+(Δx)2 答案　D 解析　由题意，-1+Δy=(1+Δx)3-2， ∴Δy=(Δx)3+3(Δx)2+3Δx， ∴=(Δx)2+3Δx+3. 16.(12分)某公司对营销人员有如下规定： ①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)在[8，64]内时，奖金为y万元，且y=logax(a>0且a≠1)，y∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金. (1)求y关于x的函数解析式；(6分) (2)若某营销人员争取年奖金y∈[4，10](万元)，求年销售额x所在的范围.(6分) 解　(1)由题意知y=logax是增函数，∴a>1， 又当x∈[8，64]时，y∈[3，6]， ∴∴a=2， ∴y= (2)由题意得解得16≤x≤100， ∴年奖金y∈[4，10](万元)时，年销售额x的取值范围为[16，100]. 学科网（北京）股份有限公司 $