第4章 §4.5 增长速度的比较（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

学习目标　1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解线性增长、爆炸式增长、对数增长等增长的含义.3.能根据具体问题选择合适的函数模型.

导语

同学们，如果你现在手里有一笔资金可以用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报是这样的：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？为了解决这个问题，让我们一起开始今天的探究吧！

一、平均变化率

问题1　如图，请分别计算两个函数在x=1和x=2处的函数值，你能判断两个函数在区间[1，2]上函数值增加的快慢吗？

提示　第一个f(1)=1，f(2)=，第二个f(1)=1，f(2)=8，显然第二个f(2)- f(1)大，函数值增加的快.

知识梳理

函数y=f(x)从x1到x2(x1≠x2)的平均变化率

(1)定义式：=.

(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.

(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x1>x2时)上变化的快慢.

(4)平均变化率的几何意义

设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y=f(x)上的任意不同的两点，

函数y=f(x)的平均变化率==为直线AB的斜率，如图所示.

注意点：

Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx=x2-x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负.

例1　(课本例1)已知函数y=2x，分别计算函数在区间[1，2]与[2，3]上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律.

解　设1≤x1<x2≤2，因为

==，

所以y=2x在区间[1，2]上的平均变化率为=2；

y=2x在区间[2，3]上的平均变化率为=4.

不难看出，当自变量每增加1个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快.

 

例1　(1)在x=1附近，取Δx=0.3，下列四个函数中，平均变化率最大的是(　　)

A.y=x B.y=x2 C.y=x3 D.y=

(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速率分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系(由大到小)为　　　　. 

答案　(1)C　(2)v3>v2>v1

解析　(1)Δx=0.3时，y=x在x=1附近的平均变化率k1=1；y=x2在x=1附近的平均变化率k2=2+Δx=2+0.3=2.3；y=x3在x=1附近的平均变化率k3=3+3Δx+(Δx)2=3+3×0.3+0.32=3.99；y=在x=1附近的平均变化率k4=-=-.所以k3>k2>k1>k4.

(2)v1==kOA，

v2==kAB，

v3==kBC，

又因为kBC>kAB>kOA，所以v3>v2>v1.

反思感悟　求平均变化率的主要步骤

(1)求Δy=f(x2)-f(x1).

(2)求Δx=x2-x1.

(3)求平均变化率=.

跟踪训练1　(1)已知函数f(x)=x2在x0与x0+Δx之间的平均变化率为k1，在x0-Δx与x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是(　　)

A.k1<k2 B.k1>k2

C.k1=k2 D.无法确定

答案　D

解析　k1==2x0+Δx，

k2==2x0-Δx，

又Δx可正可负且不为零，

所以k1，k2的大小关系不确定.

(2)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是(　　)

A.在0到t0范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率

B.在0到t0范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率

C.在t0到t1范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率

D.在t0到t1范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率

答案　C

解析　由图象知，在0到t0范围内v甲=v乙=，所以A，B错误；