4.5 增长速度的比较 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教B版）

4.5　 增长速度的比较 [课时跟踪检测] 1.如果函数y=ax+b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a的值为 (　　) A.-3 B.2 C.3 D.-2 解析：选C　根据平均变化率的定义，可知==a=3. 2.下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是 (　　) A.y=50 B.y=1 000x C.y=50x2 D.y=ex 解析：选D　指数函数y=ax，在a>1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，故选D. 3.有一组实验数据如表： x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这组数据的最佳函数模型是 (　　) A.y= B.y=log2x C.y=·2x D.y=x2 解析：选C　通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，A、B中的函数增长速度越来越慢，不正确；对于C，当x=6时，y≈21.33；对于D，当x=6时，y=18误差偏大.故C正确. 4.下列函数图象中，估计有可能用函数y=a+blg x(b>0)来模拟的是 (　　) 解析：选C　由于函数y=lg x在定义域内单调递增，且是上凸的，又b>0，所以当x>0时，y=a+blg x(b>0)的图象是单调递增且上凸的. 5.下面对函数f(x)=lox，g(x)=与h(x)=在区间(0，+∞)上的衰减情况的叙述正确的是 (　　) A.f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变慢 B.f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变快 C.f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变慢 D.f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变快 解析：选C　由函数f(x)=lox，g(x)=与h(x)=在区间(0，+∞)上的图象以及性质知函数f(x)，g(x)，h(x)的衰减速度均逐渐变慢，故选C. 6.已知y1=2x，y2=x2，y3=log2x，当2<x<4时，有 (　　) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1 解析：选B　由题意可知，三个函数在区间(2，4)上都是单调递增的，所以4<y1<16，4<y2<16，1<y3<2.所以y3最小.由函数y1，y2的图象可知，在区间(2，4)上，函数y2的图象恒在函数y1的图象上方，所以y2>y1>y3. 7.C0表示生物体内碳14的初始质量，经过t年后碳14剩余质量C(t)=C0(t>0，h为碳14的半衰期).现测得一古墓内某生物体内碳14含量为0.4C0，据此推算该生物距今约(参考数据：lg 2≈0.301) (　　) A.1.36h年 B.1.34h年 C.1.32h年 D.1.30h年 解析：选C　由题意可知，C0=0.4C0. 所以lg=lg 0.4，即lg=lg 0.4. 所以==. 所以t=·h≈1.32h. 8.(5分)某人投资x元，获利y元，有以下三种方案.甲：y=0.2x，乙：y=log2x+100，丙：y=1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择　　　　方案.  解析：根据题意，列出当x=500，1 000，1 500时，对应的函数值如表所示： x 500 1 000 1 500 甲：y=0.2x 100 200 300 乙：y=log2x+100 约等于108.96 约等于109.96 约等于110.55 丙：y=1.005x 约等于12.1 约等于146.57 约等于1 774.57 根据表中数据可知， 当投资500，1 000，1 500时，应分别选择乙、甲、丙方案. 答案：乙、甲、丙 9.(5分)如图，函数y=f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是　　　　.  解析：由平均变化率的定义可知，函数y=f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为，结合题图可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]. 答案：[x3，x4] 10.(5分)函数y=x2在x=1，2，3附近的平均变化率中，在x=　　　　附近的平均变化率最大.  解析：在x=1附近的平均变化率为 ===2+Δx； 在x=2附近的平均变化率为 ===4+Δx； 在x=3附近的平均变化率为 ===6+Δx. 对任意Δx有2+Δx<4+Δx<6+Δx，所以在x=3附近的平均变化率最大. 答案：3 11.(5分)函数y=x3与函数y=x2ln x在区间(0，+∞)上增长速度较快的一个是　　　　　.  解析：∵=，∴比较y=x3与y=x2ln x的增长速度只需比较y=x与y=ln x增长速度即可.由图象可知y=x的增长速度快于y=ln x的增长速度，∴函数y=x3与函数y=x2ln x在区间(0，+∞)上增长速度较快的是y=x3. 答案：y=x3 12.(10分)某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示. 比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快? 解：当时间x从0 min变到20 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为 ==-0.025(℃/ min)； 当时间x从20 min变到30 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为 ==-0.05(℃/min). 这里负号表示体温下降，显然，绝对值越大，下降的越快.又因为|-0.025|<|-0.05|，故体温从20 min到30 min这段时间下降的比0 min到20 min这段时间要快. 13.(10分)已知函数f(x)=x+1，g(x)=2x-2， (1)比较f(2)与g(2)的大小；(5分) (2)若f(2+Δx)<g(2+Δx)，求Δx的取值范围.(5分) 解：(1)∵f(2)=2+1=3，g(2)=2×2-2=2， ∴f(2)>g(2). (2)∵f(2+Δx)<g(2+Δx)， ∴(2+Δx)+1<2(2+Δx)-2，∴Δx>1， 即Δx的取值范围为(1，+∞). 14.(15分)某公司每个仓库的收费标准如下表(x表示储存天数，y(万元)表示每个仓库收取的总费用). x 1 3 7 14 y 1 2 3 4 (1)给出两个函数y1=px-1+q(p>0且p≠1)，y2=loga(x+b)(a>0且a≠1)，要从这两个函数中选出一个来模拟表中x，y之间的关系，问：选择哪一个函数较好?请说明理由.(10分) (2)该公司旗下有10个这样的仓库，每个仓库储存货物时，每天需要2 000元的运营成本，不存货物时仅需500元的成本.一批货物需要存放7天，设该批货物存放在m个仓库内，其余仓库空闲.要使该公司这7天的仓库收益不少于43 000元，则m的最小值是多少?(5分) 注：收益=收入-成本. 解：(1)若选择函数y1=px-1+q(p>0且p≠1)， 将(1，1)，(3，2)代入函数得 解得∴y1=()x-1=. 当x=7时，y1=23=8；当x=14时，y1==64，可知当x=7或14时，与实际数据差距较大. 若选择函数y2=loga(x+b)(a>0且a≠1)，将(1，1)，(3，2)代入函数得 解得∴y2=log2(x+1).当x=7时，y2=log28=3；当x=14时，y2=log215，可知当x=7或14时，与实际数据比较接近.综上所述，选择y2=loga(x+b)(a>0且a≠1)较好. (2)设该公司这7天的仓库收益为f(m)元，由表格数据可知若货物存放7天，每个仓库收费30 000元，∴f(m)=30 000m-[2 000m+500×(10-m)]×7=19 500m-35 000.由f(m)≥43 000，得m≥4.∴m的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $